模块三 三角函数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若关于 x 的方程 在内有两个不同的解，， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，是函数的一条对称轴，，则下列说法中正确的是（ ）
A．是的一条对称轴 B．为的一个对称中心
C．与y轴的交点为 D．在上单调递增
6．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数给出下列结论：
①的周期为；
②时取最大值；
③的最小值是；
④在区间内单调递增；
⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号题（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
8．已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．是函数的一个对称中心
C．将曲线向左平移个单位可得到曲线
D．函数在的值域为
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．的一条对称轴方程为
D．的单调递增区间为
11．已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．是的一个单调递增区间
C．
D．当时，
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．存在，使得对任意的都成立
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数的图象如图，若到轴的距离均为，且点的横坐标为，，则 ．
14．已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 .
15．函数的最小值为 .
16．已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．已知
(1)求 的值；
(2)若，求的值
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和值域；
(2)若，求函数的单调递增区间.
19．函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
20．已知向量，，其中，，且函数的对称轴间的距离最小值为.
(1)求的解析式；
(2)方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
21．已知向量，向量，．
(1)求函数的单调增区间；
(2)若在上有唯一的零点，求的取值范围．
22．已知函数．
(1)求的最大值及相应的取值集合：
(2)设函数，若在区间上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得.
【详解】因为，
即，两边平方可得，
解得.
故选：A
2．A
【分析】利用辅助角公式得，再结合正弦函数的图象与性质求出，代入计算即可.
【详解】关于的方程，则，
当，所以或，则或.
设，所以，则，
故选：A.
3．D
【分析】由题意和同角三角函数的关系以及正弦的二倍角公式可得，结合计算即可求解.
【详解】由，得，
又，所以，
所以，
所以.
故选：D
4．B
【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
5．B
【分析】由题得，根据正弦函数的性质可得，进而求得，根据余弦函数的性质可计算判断各选项.
【详解】由题意，，
令，，解得的对称轴为，，
又是的一条对称轴，可得，
所以，
，故A错误，B正确；
又，所以与轴交点为，故C错误；
当时，则，由余弦函数性质，在上单调递减，故D错误.
故选：B.
6．A
【分析】由题意可得相邻对称轴间距离求出周期得出排除BD，再由区分AC即可得解.
【详解】因为，，
所以相邻两对称轴间的距离，即周期，所以，
排除BD，
当时，代入，可得，满足题意，
代入，可得，不符合题意，
故A正确C错误.
故选：A
7．B
【分析】先由降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式、最值性质、单调性，结合正弦型函数图象变换性质逐一判断即可.
【详解】因为
.
①因为，所以①正确；
②因为，所以②错误；
③当，即时，
取最小值，且最小值是，所以③正确；
④当时，由
知在区间内并不单调，故④错误；
⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，
可得到函数，故⑤错误.
故正确的是①③.
故选：B.
8．B
【分析】由余弦型函数的性质列出不等式组，进而得出的取值范围.
【详解】因为：，所以：，
令：，则得：.
因为：在上有个零点，
所以：，解得：.
故的取值范围为：，故B项正确.
故选：B.
9．ABD
【分析】化简函数解析式，整体代入法或验证法求函数对称轴和对称中心判断选项AB，利用图象平移的规则判断选项C，结合函数解析式求解区间内函数的值域判断选项D.
【详解】依题意，因为
令，，当时，，
所以是函数的一条对称轴，所以选项正确；
（另解：因为，即当时，函数取得最大值，所以是函数的一条对称轴）；
令，，当，
所以是函数的一个对称中心，所以选项正确；
（另解：因为，即是函数的零点，所以是函数的一个对称中心）．
因为，
又将曲线向左平移个单位可得到曲线，所以选项不正确；
因为，
当， 有，则，
得函数的值域为，所以选项正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】由函数图像求出函数解析式，逐项判断对错即可.
【详解】由图像知函数的最小值为-2，最大值为2，
所以，
又函数半个周期为，所以A正确；
又，
因为，所以，则B错误；
所以，
则对称轴为，
所以不为其对称轴，即C错误；
因为，
所以其单调递增区间为，所以D正确；
故选：AD
11．ACD
【分析】根据正弦函数、正切函数奇偶性判断A，取特值判断B，根据诱导公式判断C，分类讨论判断D.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，故A正确；
因为，所以，
且，所以不是函数的递增区间，故B不正确；
，故C正确；
因为当时，，所以，
同理，当时，，即时，，故D正确.
故选：ACD.
12．ABC
【分析】根据不等式的性质、三角恒等变换、对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，且，A正确；
B选项：
，
因为，所以的图象关于点对称，B正确；
C选项：当时，，
，
在区间上单调递增，C正确；
D选项：若存在，使得对任意的都成立，
取得，即，
取得，即，所以，
由，得，所以，由B选项知，
得，不符合题意，所以不存在，
使得对任意的都成立，D错误．
故选：ABC
13．
【分析】由可求得横坐标之差，由此可得，求得；代入可求得的值；将代入解析式即可求得结果.
【详解】设，，，
，，解得：，
，，
解得：，，
.
故答案为：.
14．
【分析】由题意可知为函数的最大值或最小值，所以，由，得到或，即可得的表达式，根据，即可验证值，代入正弦函数单调递增区间，化简整理，即可得答案.
【详解】由对恒成立知，，
得到或，
因为，所以或，
当时，，
此时，，
，不合题意，舍，
当 时，，
此时，，
，符合题意，
所以，
所以由
得，
所以的单调递增区间是.
故答案为：
15．
【分析】将函数解析式变形为，且有，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最小值.
【详解】因为，
且有，当时，函数的最小值为.
故答案为：
16．或
【分析】根据增函数和对称中心特征，求出范围，进而得到答案.
【详解】因为，则，函数()在区间上是严格增函数，
所以，即；
又因为的图像关于点对称，则（），则（），
所以（），解得（），
结合，所以或.
故答案为：或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）将平方后结合即可得；
（2）由确定三角函数正负符号后，可计算出、后，结合诱导公式即可得.
【详解】（1），
则，
又，则有；
（2），
则，由，故、，
即，
则有、，
则.
18．(1)最小正周期为，值域为
(2)，
【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，
故的最小正周期为，值域为.
（2）令，解得.
又，则的单调递增区间为，.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，
即，由，得，
即，，
而，则，
所以函数的解析式是.
（2）将的图象向左平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，则，
当时，，则，
所以，
因此在上的值域为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积运算得到，再根据周期求出即可；
（2）先求出的取值范围，再根据条件得出的取值范围.
【详解】（1）
，
由于函数的对称轴间的距离最小值为，
从而函数的最小正周期为，所以.，
综上，.
（2），，，
当时，单调递增，此时，
当时，单调递减，此时，
所以满足条件的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求出函数单调区间；
（2）求出，由得到，从而根据零点个数得到不等式，求出答案.
【详解】（1）
，
令，解得，
故的单调增区间为；
（2），
当，，
因为在上有唯一的零点，
所以，解得.
22．(1)，的取值集合为
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即得.
（2）求出函数解析式，确定相位的范围，再结合极值的意义列式求解即得.
【详解】（1）依题意，，
当，即时，，
此时，的取值集合为．
（2）由（1）知，，
当时，，由在区间上有且仅有1个极值点，
得，解得，
所以的取值范围是．
答案第1页，共2页
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