模块七 圆锥曲线（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（ ）
A． B． C．0 D．2
3．若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则（ ）
A． B． C．14 D．15
8．椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线
C．离心率为 D．渐近线方程为
10．已知圆，，则（ ）
A．直线的方程为
B．过点作圆的切线有且仅有条
C．两圆相交，且公共弦长为
D．圆上到直线的距离为的点共有个
11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．
C．若直线的倾斜角分别为，则
D．若点关于轴的对称点为点，则直线必恒过定点
12．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．平面上点的最小值为
B．直线的方程为
C．过点作，垂足为，则（为坐标原点）
D．四边形面积的最小值为4
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ．
14．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A，B，直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为 .
15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .
16．已知双曲线：的焦距为，过双曲线上任意一点作直线，分别平行于两条渐近线，且与两条渐近线分别交于点，．若四边形的面积为，则双曲线的方程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
17．已知点,直线及圆．
(1)若直线与圆相切,求的值．
(2)求过点的圆的切线方程．
18．设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
19．已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值．
20．在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直.
(1)求的标准方程；
(2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.
22．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据渐近线方程得到，再代入离心率公式即可.
【详解】由题意可知，所以.
故选：D.
2．A
【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据焦半径公式得到方程，求出答案.
【详解】化为标准形式为，故焦点坐标为，准线方程为，
由焦半径可得，解得.
故选：A
3．A
【分析】设PQ的中点为，根据中点坐标公式可得，表示出点P的坐标，代入曲线方程即可求解.
【详解】设PQ的中点为，
则，解得，
即，又点P在曲线上，
所以，即，
所以PQ的中点的轨迹方程为.
故选：A
4．D
【分析】设，由题意可得为的中点，然后利用中点坐标公式和斜率公式可求得结果.
【详解】设，则，
因为，所以为的中点，
所以，
故直线的斜率.
故选：D
5．A
【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求，根据双曲线离心率的定义可得结果.
【详解】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，，
由，
解得，而，所以双曲线的离心率．
故选：A．
6．C
【分析】利用直线与直线、直线与圆的位置关系即得答案.
【详解】因为以为直径的圆的方程为，
又圆：，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为，
由，可得，即得直线AB的方程为.
故选：C.
7．C
【分析】根据双曲线的定义、余弦定理、向量数量积计算即得.
【详解】依题意，双曲线实半轴长，虚半轴长，半焦距，则，
在中，，
即有，解得，则，即是等腰三角形，
.
故选：C
8．C
【分析】根据蒙日圆的定义结合两圆的位置关系计算即可.
【详解】根据题意可知椭圆的蒙日圆方程为，圆心为原点，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则圆与必有交点才符合题意，
即两圆圆心距，
则.
故选：C
9．ABD
【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.
【详解】设该双曲线标准方程为，则.
对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，
可解得，符合题意；
对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，
故选：ABD.
10．AB
【分析】根据圆的标准方程，结合圆的切线性质、两圆相交公共弦所在的直线方程性质逐一判断即可.
【详解】由题知，，
则直线的方程为，所以A正确；
因为，圆半径为，
过点作圆的切线有两条，所以B正确；
又，
公共弦所在直线为，
圆心到的距离为，
所以公共弦长为，所以C错误；
圆心到直线的距离为，
所以圆上到直线距离为的点有个，所以D错误．
故选：AB
11．ACD
【分析】联立方程组，利用韦达定理及抛物线的定义可判断选项A；通过反例，取验证可判断选项B；联立方程组，利用韦达定理、斜率公式及两直线斜率和为零等价于倾斜角互补即可判断选项C；利用三点共线的判断方法即可判断选项D.
【详解】设，.
对于选项A：当时，抛物线方程为，准线方程为：，点.
当时，过点的直线方程为.
联立方程组，整理得：，
则.
所以由抛物线的定义可得：，故选项A正确；
对于选项B：当时，直线为轴，此时直线和抛物线只有一个交点，故选项B不正确；
对于选项C：由可得：点，准线方程为，点.
则直线.
联立方程组，整理得：，
则.
因为，
所以
所以，故选项C正确；
对于选项D：因为点关于轴的对称点为点，
，
所以直线与的倾斜角相同，即三点共线.
所以直线必恒过定点，故选项D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】对A，利用双曲线定义将转化为可得解；对B，设出直线的方程为与双曲线联立，根据化简运算得解；对C，由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点，则垂直平分，即，为的中点，进而得得解；对D，求出点坐标，根据，结合基本不等式可求解.
【详解】对于A，由双曲线定义得，且，
则，
所以的最小值为.故A正确；
对于B，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，，
，化简整理得，解得，
可得直线的方程为，即，故B正确；
对于C，由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点，
则垂直平分，即，为的中点，
又是中点，所以，故C错误；
对于D，由直线的方程为，令，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ABD.
.
【点睛】关键点睛：C项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出垂直平分，.
13．（或写为）
【分析】分析可知，点在圆上，根据圆的几何性质可知，求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角.
【详解】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，则，故.
即直线的倾斜角为（或）.
故答案为：（或写为）.
14．##
【分析】根据椭圆顶点的坐标，结合直线交点，利用椭圆离心率公式，可得答案.
【详解】设直线与x轴的交点为E，如下图所示：
则，，，即,，
易知，则，所以，
即，所以.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.
【详解】
设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得，
又，，设的中点为，
在中，，，，
则，，根据，
可知，.
故答案为：.
16．
【分析】根据焦距可得，再由双曲线渐近线方程为，可得双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为，结合诱导公式，表示出，然后表示出面积即可，进而求出双曲线标准方程.
【详解】因为双曲线的焦距为，所以．
双曲线渐近线方程为，即，
设，分别为点到和的距离，
则到两条渐近线的距离之积
，
又，
，
所以，
又
所以．
所以．
所以．
因为，所以，．
所以双曲线的方程为．
故答案为：
17．(1)或
(2)或
【分析】（1）根据圆心到切线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,解之即可得到的值；
（2）当直线的斜率不存在时,方程为,符合题意．而直线的斜率存在时,利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算,得到切线方程为,即可得到答案．
【详解】（1）圆心坐标,半径,
若直线与圆相切,
则圆心到直线的距离,解得或.
所以或.
（2）圆心坐标,半径,
当直线的斜率不存在时,直线方程为,
由圆心到直线的距离知,直线与圆相切．
当直线的斜率存在时,设方程,即.
由题意知,解得,
即直线方程为,即.
综上所述,过点的圆的切线方程为或．
18．(1)
(2).
【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案.
【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，
所以右焦点坐标为.
又椭圆经过点，
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，.
②当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程，
由，得，
则，
.
设直线的方程为，同理得，
所以，
设，则，
则，
所以时，有最小值.
综上，的最小值是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直可求的坐标，利用对称可得抛物线的方程；
（2）先求出的坐标，利用数量积得的表达式，结合二次函数可得最值.
【详解】（1）∵，点N与点F不重合，∴，∴．
∵点F关于点M的对称点为P，
∴，（中点坐标公式）．
∴，得，
∴抛物线E的标准方程为．
（2）由（1）知，
易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入，整理得，，
，
设，则．
∵，
∴，
当时，取得最大值，为．
20．(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）总有，即直线与直线的倾斜角互补，即恒有，联立直线与抛物线方程，得到韦达定理代入运算，判断得解.
【详解】（1）由已知，得，因为，所以，斜率，
因此，切线方程为，即．
（2）存在符合题意的点，理由如下：
设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为．
联立方程，得，
因为，则，可得，
从而
，
因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，
则直线与直线的倾斜角互补，故，
所以点符合题意．
21．(1)
(2)存在，，理由见解析.
【分析】（1）利用焦距求c，利用渐近线与直线垂直求出a、b关系，再利用求解；
（2）设直线的方程与双曲线联立，得到韦达定理，利用点M在曲线上满足消元，分别得到，，将韦达定理代入求定值.
【详解】（1）因为，所以，
因为双曲线的渐近线与直线：垂直，
所以，②
又，③
解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，则，，
设，，
所以，，
因为，所以，所以，
同理可得，所以，
直线的方程为，
联立双曲线的方程可得，
所以，所以，所以，
因为，即，所以
同理，
，
所以是定值，定值为.
【点睛】点斜式设直线方程为形式，与双曲线联立消x，得到y的二次方程，计算方便，再利用向量关系得到，同理求，利用韦达定理求定值.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；
（2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点.
【详解】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线也不与轴重合，
设、，设直线的方程为，
联立得，，
因此，.
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，则，同理可得.
所以.
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
