2023-2024学年（下）梅雁中学高二年级月考试卷
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B．-2024 C． D．2024
2．已知，则的值为（ ）
A．－2a B．2a
C．a D．
3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．若在处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递减区间
B．为函数的单调递增区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为上的单调函数，则
B．若时，在上有最小值，无最大值
C．若为奇函数，则
D．当时，在处的切线方程为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．函数在区间上的平均变化率为 ．
13．已知直线为曲线在过点的切线. 则直线的方程为 .
14．函数的极小值点为 ，极大值为 ．
四、解答题
15．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求.
17．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知函数．（注：是自然对数的底数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，函数在区间内有唯一的极值点．
①求实数a的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且．
19．已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．
(1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；
(3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据求导公式计算即可.
【详解】，则.
故选：A.
2．B
【分析】由导数的定义变形即可求解.
【详解】.
故选：B．
3．C
【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围.
【详解】由题意知在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递琙，
所以，所以，解得，
即的取值范围是.
故选：C.
4．C
【分析】利用导数分析函数的单调性，求解最值即可.
【详解】，令，得，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
又，则.
故选：C.
5．A
【分析】取特殊值，结合单调区间即可判断.
【详解】由，排除BD，
，
由，可得，解得，
由，可得，解得或，
所以函数的单调递减区间为，，
单调递增区间为，故排除C.
故选：A
6．A
【分析】由求得，结合导数正负可求的单调递增区间.
【详解】由得，，解得，
故，
当时，，单减；当时，，单增，
故函数的单调递增区间是.
故选：A
7．B
【分析】求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求.
【详解】，令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有两个零点，
故选：B.
8．D
【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.
【详解】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.
9．BC
【分析】直接利用导数的四则运算即可判断.
【详解】因为，故A不正确；
因为，故B正确；
因为，故C正确；
因为，故D不正确；
故选：BC.
10．AC
【分析】对于AB选项，利用函数的单调性和导数的正负关系进行判断；对于CD选项，利用函数的极值点的定义判断.
【详解】由图象可知，时，，
所以为函数的单调递减区间，故A正确；
由图象可知，时，，
所以为函数的单调递减区间，故B错误；
由图象可知，，
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极大值，故C正确；
由图象可知，，故不是函数的极值点，
故D错误，
故选：AC.
11．BCD
【分析】A选项利用导数恒正或恒负可解得；B选项求导，判断单调区间和单调性得出极值；C选项利用奇函数的性质求出；D选项利用导数的意义结合点斜式求出.
【详解】A：若为上的单调函数，则，，则，故A错；
B：当时，，令，得，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，无最大值，故B对；
C：由于，则为奇函数时，，故C对；
D：当时，，，则，切点为，切线方程为，故D对；
故选：BCD．
12．
【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为.
故答案为：.
13．或
【分析】设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程．
【详解】∵，∴.
设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，
∴过点的切线方程为，
即，又点在切线上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切线方程为或.
故答案为：或.
14． 18
【分析】求导，即可得函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.
【详解】由得，
令，解得或，
令，解得，
故在和上单调递增，在单调递减，
故在处取极小值，在处取极大值，
故，，
故答案为：，18，
15．(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）求导得，由此即可求解；
（2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴极大值为，极小值为.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的结构对分和讨论得解；
（2）对分类讨论求出的最大值，建立关于的不等关系，解得的范围.
【详解】（1），
当时，在上单调递增；
当时，令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，不合题意.
当时，由（1）可知，.
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以.
所以当且时，，不合题意，
当时，，符合题意.
综上，.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由给定条件求出的导数，进而求得切线斜率即可得解；
（2）分离参数得，设，利用导数得，可得a的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），由，得，
设，则，
令，得，
则时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
故，故,
即实数a的取值范围为.
18．(1)
(2)；证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）①利用导数研究函数的极值，分离参数计算函数的单调性计算即可求实数a的取值范围；②结合①的结论先判定的单调性与最值，根据零点存在性定理即可判定零点个数，再根据函数的单调性结合构造函数来证明即可证明结论.
【详解】（1）当时，，
所以，即切点，
故曲线在点处的切线方程为：；
（2）①.函数，，
（ⅰ）当时，当时，，，，
则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上递增，
又，，所以在上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是．
②由①知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以时，，则，
又因为，所以在上有唯一零点，
即在上有唯一零点．
因为，
由①知，所以，
则
，
设，，
则，
，，所以
在为单调递增，又，所以，
又时，，所以．
所以．
由前面讨论知，，在单调递增，
所以．
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19．(1)不是的“正向数组”；
(2)证明见解析；
(3)的取值范围是.
【分析】（1）代入有，根据函数性质得到的正负时不同取值情况即可；
（2）假设存在,使得,通过正向数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用函数的性质即可证明假设不成立；
（3）代入有恒成立或恒成立，设，求出是的最大值或最小值时的取值范围即可.
【详解】（1）若，，
对，即，
而当，时，
，，
即，不满足题意.
所以不是的“正向数组”.
（2）反证法:假设存在,使得,
为的“正向数组”，
对任意,都有.
对任意恒成立.
令，则在上恒成立，
，
设，
，
则当时，在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，当，，当，，
即存在，使在上为正，在上为负，在上为正，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又当，，当，，则的值域为；
若，，在上单调递增，
又当，，当，，则的值域为.
当时，，在上单调递增，
又当，，当，，
必存在，使在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又当，，当，，则的值域为.
由值域可看出，与在上恒成立矛盾.
对任意，都有.
（3）都是的“正向数组”，
对任意，，都有
，
则恒成立或恒成立，
即恒成立或恒成立，
设，
则，
即是的最大值或最小值.
，
且.
当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值；
当时，在上单调递增，
又，则在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则是的最小值，满足，
此时对任意，，都有
.
的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第2问的关键是运用反证法，通过函数的图象与性质推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明；本题第3问的关键是理解“正向数组”的变形推理得到恒成立或恒成立，并构造函数，得到是的最大值或最小值，最后结合前面的证明得到结果.
