2023-2024学年第二学期高一阶段性教学质量监测
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题前，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，其定义域和值域与函数相同的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A. B.或
C. D.或
4.如图，在平行四边形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.-1
6.已知，则（ ）
A.0 B. C. D.
7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：）
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.1.5
8.如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ）
A.2 B. C.4 D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.函数为偶函数
B.在区间单调递增
C.的最小值为-2
D.曲线的对称轴为
11.已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，有，则（ ）
A. B. C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则的最小值是__________.
13.若函数是偶函数，则实数的值为__________.
14.函数的最小值为__________.（其中表示中较大者）
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（共13分）
（1）计算：；
（2）已知，求及的值.
16.（共15分）
已知平面向量.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.
17.（共15分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）在中，，求的最大值.
18.（共17分）
设函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）求证：函数在上有且只有一个零点，并求
（表示不超过的最大整数，如）.
参考数据：.
19.（共17分）
将所有平面向量组成的集合记作是从到的映射，记作或，其中，都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.
（1）若，求；
（2）如果，计算的特征值，并求相应的；
（3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：
①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件.
2023-2024学年第二学期教学质量统测
高一年级数学试题卷答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C B A C B C
1.答案：D
解：由，
由，所以，
2.答案：D
解：本题主要主要考察学生对对数恒等式的了解，对指数函数和对数函数的定义域 值域的理解.
3.答案：C
解：由不等式的解集为或，
得是方程的两个根，且，
因此，且，解得，
不等式化为：，解得，
所以不等式为.故选：C
4.答案：B
解：因为，所以
则.
5.答案：A
解：因为，且，所以，即，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
6.答案：C
解：，
所以，
则.
7.答案：B
解：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，两边同时取自然对数并整理，
得，
则，则给氧时间至少还需要0.5小时.
8.答案：C
解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设扇形的半径为，则，
设点，
因为，
所以，，所以，，
所以，，
因为，则，
当且时，取得最大值4.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ACD AB ACD
9.答案：ACD
解：对于A，，均有唯一确定，符合函数定义，正确；
对于，取，不符合函数定义，错误；
对于C，，均有唯一确定，符合函数定义，C正确；
对于D，，均有唯一确定，符合函数定义，正确.
10.答案：AB
解：
，
即，
对于A，，易知为偶函数，所以正确；
对于单调递减，则单调递增，故B正确；
对于C，，则，所以，故C错误；
对于对称轴为，故错误.
11.答案：ACD
解：令，则由，
可得，所以，故正确；
因为，所以，可得，故错误；
因为，所以，故正确；
又因为当时，都有，且，
所以当时，，
因为，又，进而，
因此，所以.故正确.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案：
解：因为，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
13.答案：
解：的定义域为，
，
因为函数是偶函数，
所以，
所以恒成立，故，即.
14.答案：1
解：令，则，
所以，所以，
即函数的最小值为1.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.解：（1）
.
（2）由于，
所以，
.
16.解：（1）设，
因为，所以，因为，所以，
解得或，所以或；
（2），
因为与的夹角为锐角，所以，解得且，即.
17.解：因为
（1）.
（2），因为，所以.由，得.
所以.
当时，的最大值为.
18.解：（1）令，解得，
又，得的单调增区间是和；
令，解得，
又，得的单调减区间是和.
函数在上的单调增区间是[3，6]和[9，10），单调减区间是和；
（2）由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数，
所以在上是减函数，，
又，
根据零点存在性定理知在上有唯一零点，
当时，，
所以，即在上无零点，
综上，在上有且只有一个零点.
，
，
.
19.解：
由于此时，又因为是在的条件下，
有（时取最大值），所以此时有.
（2）由，
可得：，即
两式相比可得：，从而，
当时，解方程，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且，
当时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中且.
（3）解方程组，即，
从而向量与平行，
则有应满足：，
当时，有唯一的特征值，且.具体证明为：
由的定义可知：对任意的有：，
所以为特征值.此时，
满足：，所以有唯一的特征值.
在的条件下，从而有.
