2024年高考数学专题汇编：指数函数与对数函数
一、选择题
1．已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在上奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程有两个不等实数根，，则（ ）
A． B． C． D．
6．日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）
A．0.12 B．0.11 C．0.07 D．0.01
7．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6 B．-2 C．2 D．-6
二、多项选择题
9．若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（ ）
A．闻阈的声强级为
B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加，则声强变为原来的10倍
11．已知，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知函数为奇函数，且当时，．则的解集为 ．
13．已知函数，则方程有 个不相等的实数解．
14．在财务审计中， 我们可以用 “本 福特定律” 来检验数据是否造假. 本 福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中， 首位非零的数字是 这九个事件不是等可能的. 具体来说， 随机变量 是一组没有人为编造的首位非零数字，
则 . 则根据本 福特定律， 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).
四、解答题
15．已知，存在，使得．
（1）求实数a的取值范围；
（2）试探究与3的大小关系，并证明你的结论．
16．已知函数，，.
（1）若函数存在极值点，且，其中，求证：；
（2）用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
17．已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18．已知函数（）．
（1）求的单调区间；
（2）若，求证：函数只有一个零点，且；
（3）当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值．
19．已知函数，.
（1）若直线是的切线，函数总存在，使得，求的取值范围；
（2）设，若恰有三个不等实根，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,B,C
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B
12．【答案】
13．【答案】6
14．【答案】6
15．【答案】（1）解：由题意得有三个零点，
所以方程有三个根，即方程有三个根.
所以函数与函数的图象有三个公共点，
设，则，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
因为当时，，当时，，
且，，
所以，即实数a的取值范围为．
（2）解：因为，由（1）得，
由，得，
设，则，
求导得，
令，解得，令，解得，
所以h（x）在上单调递增，在上单调递减，
设，，
则，，
求导得恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
因为，所以，
又因为，，h（x）在上单调递减，
所以，即，
设且，则，
因为在上单调递减，所以，
因为，所以，
所以，
因为在上单调递减，所以，
所以，
所以．
16．【答案】（1）解：由题意，，，
当时，恒成立，没有极值.
当时，令，即，解之得，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，， 单调递增.
∴时，有极大值为，
时，有极小值为，
当时，要证，即证，
代入计算有，，，
则有符合题意，即得证；
当时，要证，即证，
代入计算有，，，
则有符合题意，即得证.
综上，当为极大值点和极小值点时，均成立.
（2）解：①当时，，∴，
故函数在时无零点；
②当时，，，若，则，
，故是函数的一个零点；
若，则，∴，故时函数无零点.
③当时，，因此只需要考虑，
由题意，，，
㈠当时，恒成立，
∴在上单调递增，，∴在恒成立，
即在内无零点，也即在内无零点；
㈡当时，，恒成立，
∴在上单调递减，
即在内有1个零点，也即在内有1个零点；
㈢时，函数在上单调递减，
∴，
若，即时，
在内无零点，也即在内无零点；
若，即时，在内有唯一的一个零点，
也即在内有唯一的零点；
若，即时，由，，
∴时，在内有两个零点.
综上所述，当时，函数有3个零点.
17．【答案】（1）解：当时，，则，
所以，函数在上单调递增，所以，.
（2）解：函数的定义域为，由可得，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，且，
当时，，则，所以，函数在上单调递增，
当时，，则，所以，函数在上单调递减，
所以，，
令，其中，则，则函数在上为增函数，
因为，，则存在，使得，
当时，；当时，.
由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
令，则或，
当，即时，，
所以函数在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为
（2）证明：当时，
由（1）知，的极小值为，极大值为，
因为，，
且在上是减函数，
所以至多有一个零点．
又因为，
所以函数只有一个零点，且；
（3）解：因为，
所以任意且，
由（2）可知且，
因为函数在上是增函数，在上是减函数，
所以，，
所以，
当时，，
所以，
所以的最小值为，
所以使得恒成立的的最大值为．
19．【答案】（1）解：由直线是的切线，可设切点为，则，解得，于是.
若，则，不符题意；
若，则，不符题意；
有一个取时均不成立，故只有才可以让成立.
于是，下设，则，故在上单调递增，故，于是，也即，
所以的取值范围为
（2）解：，在上单调递增，
当时，，，
下令，则，故为增函数，
于是，即，.
根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，即，此时不可能有三个根；
当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，此时不可能有三个根；
当时，，在上递增，注意到，，，递减，当，，递增，故为极小值点，而，故不可能有三个根；
当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，
而，故. 由.
由有三个根，则，
即，由，结合对勾函数性质推出，故，即
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