中牟县2023-2024学年高一下学期3月月考
数学试题
一、单项选择题（每题5分，共40分）
题目ID：844218310332522496
1.复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
题目ID：844218313813794816
2.在 中， ， 是 的中线，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题目ID：844218316485566464
3.下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题目ID：844218322001076224
4.已知复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
题目ID：844218327910846464
5.已知 为虚数单位， 为实数，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题目ID：844218331194990592
6.已知点 是边长为2的正三角形 的重心，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
题目ID：844218337725517824
7.已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
题目ID：844218340766388224
8.已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每题6分，共18分）
题目ID：844218346026049536
9.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是
题目ID：844218375059017728
10.在边长为1的正六边形 中， 为边 上的动点， 为边 上的一个动点，则 的值可以为（ ）
A． B．1 C． D．2
题目ID：844218379114909696
11.已知向量 ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 的最大值为6
D．若 ，则
三、填空题（每题5分，共15分）
题目ID：844218385469280256
12.
已知复数x满足方程 ，那么 .
题目ID：844218389009272832
13.
已知向量 ， ，若 与 所成的角为钝角，则实数 的取值范围： .
题目ID：844218394407342080
14.
如图所示，在 中，点 为 边上一点，且 ，过点 的直线 与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ ， 交两点不重合）.若 ， ，则 的最小值为 .
四、问答题
题目ID：844218399578923008
15.（13分）求实数m的值或取值范围，使得复数 分别满足：
（1）z 是实数；
（2）z 是纯虚数；
（3）z 在复平面中对应的点位于第三象限 .
题目ID：844218403488014336
16.（15分）向量 ， 如图所示，求：
（1） ；
（2） ．
题目ID：844218414175096832
17.（15分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：
（1）AD 的长；
（2）∠ DAC 的大小．
题目ID：844218417102725120
18.（17分） 已知向量，，且与的夹角为．
（1）求及；
（2）求在上的投影向量的坐标；
（3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
题目ID：844218423264157696
19.（17分）如图，在等腰梯形 中， ， ，M为线段 中点， 与 交于点N，P为线段 上的一个动点．
（1）用 和 表示 ；
（2）求 ；
（3）设 ，求 的取值范围．
数学答案
题目ID：844218310332522496
【答案】
1.D
【解析】
1.由 可得： ，故 的虚部为 .
故选:D．
题目ID：844218313813794816
【答案】
2.B
【解析】
2.如下图所示：
因为 ，则 ，可得 ，
因为 为 的中线，即点 为 的中点，
所以， .
故选：B.
题目ID：844218316485566464
【答案】
3.D
【解析】
3. ，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
由向量加法的运算法则，有 ，D选项正确.
故选：D.
题目ID：844218322001076224
【答案】
4.D
【解析】
4.由题意可得： 且 ，则 .
故选：D.
题目ID：844218327910846464
【答案】
5.D
【解析】
5.由题意 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：D.
题目ID：844218331194990592
【答案】
6.C
【解析】
6.如图所示，以线段 的中点 为坐标原点，以线段 所在的直线为 轴，线段 的垂直的平分线为 轴，建立平面直角坐标系，
因为 的边长为 ，可得 ，
又因为 为 的重心，可得 ，所以 ，
则 .
故选：C.
题目ID：844218337725517824
【答案】
7.C
【解析】
7.无
题目ID：844218340766388224
【答案】
8.A
【解析】
8.无
题目ID：844218346026049536
【答案】
9.AC
【解析】
9.无
题目ID：844218375059017728
【答案】
10.ABC
【解析】
10.正六边形 中，每个内角都是 ， ，有 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
因为 ， ， ，则有 ，
所以 ， ， ， ，
设 ， ， ，
， ，
由平面向量数量积的运算可得 ，
因为 ，可得 ，有 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：ABC．
题目ID：844218379114909696
【答案】
11.ACD
【解析】
11.若 ，则 ，解得 ，A正确；
若 ，则 ，解得 ， 所以 ，B错误；
因为 ， ，而 ，
当且仅当 ， 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量 ， 的起点为
坐标原点，向量 的终点在以坐标原点为圆心，半径为 的圆上，向量
终点在第二象限，当 ， 反向，则向量 的终点应在第四象限，
此时 ， ，所以C正确；
若 ，则 ，
即 ，所以 ，
，
所以 ，D正确.
故选：ACD
题目ID：844218385469280256
12.【答案】
12.【解析】
因为 ，则 .
故答案为： .
题目ID：844218389009272832
13.【答案】
13.【解析】
与 所成的角为钝角即 且 与 不平行，
即 ，
所以 .
故答案为： .
题目ID：844218394407342080
14.【答案】
14.【解析】
在 中， ， ，则 ，
故
，
故 ；
又 ，而 ， ，
所以 ，则 ，
又 三点共线，所以 ，结合已知可知 ，
故 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时，取等号；
即 的最小值为 ，
故答案为：
题目ID：844218399578923008
15.【答案】
（1）
（2）
（3）
15.【解析】
（1）因为复数 是实数，所以 ，所以 ；
（2）因为复数 是纯虚数，所以 ，
所以 ；
（3）复数 在复平面中对应的点为 ，
因为该点位于第三象限，所以 ，所以 .
题目ID：844218403488014336
16.【答案】
（1）
（2）16
16.【解析】
（1）由题图知， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ．
（2）结合（1）可得 ， ，
所以 ．
题目ID：844218414175096832
17.【答案】
（1）AD＝
（2）∠DAC＝90°
17.【解析】
（1）（1）设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋ （－）＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3，
∴AD＝.
（2）设∠DAC＝θ（0°<θ<120°），则θ为与的夹角．
∴cos θ＝＝＝＝＝0.
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
（2）无
题目ID：844218417102725120
18.【答案】
（1）由于与的夹角为，
所以，，解得，
则，，，
所以．
（2）．
（3），，
由于与所成的角是锐角，
所以
解得且．
18.【解析】
（1）无
（2）无
（3）无
题目ID：844218423264157696
19.【答案】
（1）
（2）
（3）
19.【解析】
（1）由向量的线性运算法则，可得 ，①
，②
因为M为线段 中点，则 ，
联立①②得： ，
整理得： ．
（2）由AM与BD交于点N，得 ，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知， ，解得： ．
所以 ，即 ．
（3）由题意，可设 ，
代入 中并整理可得
．
又 ，故 ，可得： ， ．
因为 ，所以， ．
在 单调递增，
则当 时， ，当 时， ，
所以， 的取值范围为 ．
