冲刺2024年中考数学真题（上海）
（本试卷共25题，150分）
试题难度分析
试题难易度程度 题量 题号 题量占比
易 5 1,7,8,10,19 20%
较易 4 2,3,4,11 16%
中档 15 5,6,9,12,13,14,15,16,17,18,20,21,22,23,25 60%
较难 1 24 4%
知识点分析 共计：24个知识点
知识点 题量 占比
二次根式的性质与化简 1 4%
根的判别式 1 4%
折线统计图 1 4%
换元法解分式方程 1 4%
二次函数图象与几何变换 1 4%
矩形的判定 1 4%
因式分解-运用公式法 1 4%
分式的加减法 1 4%
无理方程 1 4%
相似三角形的判定与性质 2 8%
反比例函数的性质 1 4%
待定系数法求二次函数解析式 1 4%
*平面向量 1 4%
正多边形和圆 1 4%
反比例函数与一次函数的交点问题 1 4%
二次函数的性质 1 4%
直线与圆的位置关系 1 4%
解直角三角形 1 4%
高次方程 1 4%
实数的运算 1 4%
一次函数的应用 1 4%
解直角三角形的应用 1 4%
二次函数综合题 1 4%
圆的综合题 1 4%
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（2023 泰州）计算等于
A． B．2 C．4 D．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2023 滨州）一元二次方程根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【解答】解：由题意得，△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若△，则方程有两个不相等的实数根，若△，则方程有两个相等的实数根，若△，则方程没有实数根．
3．（2023 烟台）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
【分析】根据平均数、中位数、极差及方差的定义列式计算即可．
【解答】解：．甲班视力值的平均数为：，
乙班视力值的平均数为：，
所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项说法错误，不符合题意；
．甲班视力值的中位数为，乙班视力值的中位数为，
所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项说法错误，不符合题意；
．甲班视力值的极差为，乙班视力值的极差为，
所以甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差，故选项说法错误，不符合题意；
．甲班视力值的方差为，
乙班视力值的方差为，
所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项说法正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，也考查了中位数、平均数，极差及方差的定义．
4．（2023 上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为
A． B． C． D．
【分析】设，则，原方程可变为：，再去分母得，即可得出结论．
【解答】解：设，则，
分式方程可变为：，
去分母得：，
整理得：，
故选：．
【点评】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
5．（2023 徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即．
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
6．（2022 陕西）在下列条件中，能够判定为矩形的是
A． B． C． D．
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：．中，，
是菱形，故选项不符合题意；
．中，，
是菱形，故选项不符合题意；
．中，，不能判定是矩形，故选项不符合题意；
．中，，
是矩形，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（2023 内江）分解因式： ．
【分析】提公因式再运用平方差公式即可解答．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8．（2023 上海）化简：的结果为 2 ．
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2017 上海）方程的解是 ．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出的值，然后，验根解答出即可．
【解答】解：，
两边平方得，，
解得，；
经检验，是方程的根；
故答案为．
【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
10．（2023 南通）如图，中，，分别是，的中点，连接，则 ．
【分析】根据已知易证，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：，分别是，的中点，
，
又，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
11．（2023 镇江）点、在反比例函数的图象上，则 （用“”、“ ”或“”填空）．
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得与的大小．
【解答】解：反比例函数中，，
函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
，
，
故答案为．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，随的增大而减小．
12．（2023 上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得：，，，
这个二次函数的解析式可以是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．（2020 上海）如图，、是平行四边形的对角线，设，，那么向量用向量、表示为 ．
【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2023 杭州）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 2 ．
【分析】连接，，，首先证明出 是的内接正三角形，然后证明出，得到，进而求解即可．
【解答】解：如图所示，连接，，．
六边形是的内接正六边形，
，
是的内接正三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，，
又，
，
，
圆和正六边形的性质可得，，
由圆和正三角形的性质可得，，
，
，
故答案为：2
【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．（2023 阜新）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为点，连接，则的面积是 5 ．
【分析】先求出，两点的坐标，进而得出点的坐标，以为底，则高为，两点间的水平距离，可求得的面积．
【解答】解：由题知，
，解得或，
即，，，．
又轴，垂足为点，
所以，．
则，
故．
所以．
故答案为：5．
【点评】本题是一道一次函数和反比例函数的综合题，正确的表示出的面积是解题的关键．
16．（2023 内蒙古）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 2 ．
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
【解答】解：点在二次函数的图象上，
，
，
解得或（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
17．（2022 上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图，圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
圆心就是三角形的内心，
当过点时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，
过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接、、，
，
，
，，，
，
由，
，
设，则，
，
解得，
即，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
18．（2020 上海）如图，在中，，，，点在边上，，连接．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为 ．
【分析】如图，过点作于．首先证明是等边三角形，解直角三角形求出即可．
【解答】解：如图，过点作于．
，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
到直线的距离为，
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，10+10+10+10+12+12+14，共78分）
19．（2021 上海）解方程组：．
【分析】解方程组的中心思想是消元，在本题中，只能用代入消元法解题．
【解答】解：，
由①得：，
把代入②，得：，
化简得：，
解得：，．
把，依次代入得：
，，
原方程组的解为．
【点评】本题以解高次方程组为背景，旨在考查学生对消元法的灵活应用能力．
20．（2023 金华）计算：．
【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、绝对值的意义，二次根式的性质及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
21．（2023 湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台种品牌小电器和3台种品牌小电器，共需要90元；采购3台种品牌小电器和1台种品牌小电器，共需要65元．销售一台种品牌小电器获利3元，销售一台种品牌小电器获利4元．
（1）求购买1台种品牌小电器和1台种品牌小电器各需要多少元？
（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进、两种品牌小电器共150台，求购进种品牌小电器数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，所购进的、两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【解答】解：（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，
解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进型品牌小电器台，
由题意得：，
解得，
答：购进种品牌小电器数量的取值范围．
（3）设获利为元，由题意得：，
所购进的、两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当台时获利最大，最大元，
答：型30台，型120台，最大利润是570元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
22．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．．
（1）求的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长，交于点，根据垂直定义可得，从而利用平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，比较即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
的度数为；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
（米，
米米，
该运动员能挂上篮网．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（2020 上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【分析】（1）由菱形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论．
（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（2023 鞍山）如图1，抛物线经过点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交于点，连接，当时，求点的横坐标．
（3）如图2，点为轴正半轴上一点，与交于点，若，，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；
（2）分别过、向轴作垂线，垂足为、，易得，从而，设点坐标，分别表示出、坐标，再列方程求解即可；
（3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设，由可得，，，再求出点坐标，代入到抛物线解析式中，即可求得或，从而可得的坐标．
【解答】解：（1）把和代入到解析式中可得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）直线中，令可得，
直线中，令，可得，
①分别过、向轴作垂线，垂足为、，根据题意可得，如图：
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中：
，
，
，
设，则，
，，
从而，，
则有，解得（舍去）或，
②如图：
同理可得，
解得（舍去）或，
故点的横坐标为：或1；
（3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，
过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，如图：
设，则，，，
轴，
，
，
，
，，
设，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，则，
，
，
，代入抛物线解析式中有：
，
解得：或，
当时，；
当时，．
【点评】此题考查了待定系数法求解析式、坐标系中利用等线段构造全等进行计算，同时还考查了三角函数在代几综合中的综合应用，巧妙的把二次函数、三角函数、全等三角形、相似三角形等有机地结合在一起．
25．（2022 上海）如图，在中，是线段中点，联结交于点，联结．
（1）如果．
ⅰ．求证：为菱形；
ⅱ．若，，求线段的长；
（2）分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值．
【分析】（1）．证明：如图，连接交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证出，由菱形的判定可得出结论；
．由重心的性质得出，设，则，由勾股定理得出，求出的值，则可得出答案；
（2）方法一：由相交两圆的性质得出，由（1）②知点是的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．
方法二：设，则，，证出，延长交的延长线于点，则，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）．证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
为菱形；
．解：，
是的中线，
为的中点，
是的中线，
点是的重心，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
，
解得（负值舍去），
，
；
（2）解：方法一：如图，
与相交于，，
，
由（1）②知点是的重心，
又在直线上，
是的中线，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
方法二：设，则，，
，，
垂直平分，，
，
延长交的延长线于点，则，
，由勾股定理得，，
由可得，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
冲刺2024年中考数学真题（上海）
（本试卷共25题，150分）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（2023 泰州）计算等于
A． B．2 C．4 D．
2．（2023 滨州）一元二次方程根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
3．（2023 烟台）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
4．（2023 上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为
A． B． C． D．
5．（2023 徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为
A． B． C． D．
6．（2022 陕西）在下列条件中，能够判定为矩形的是
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（2023 内江）分解因式： ．
8．（2023 上海）化简：的结果为 ．
9．（2017 上海）方程的解是 ．
10．（2023 南通）如图，中，，分别是，的中点，连接，则 ．
11．（2023 镇江）点、在反比例函数的图象上，则 （用“”、“ ”或“”填空）．
12．（2023 上海）一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
13．（2020 上海）如图，、是平行四边形的对角线，设，，那么向量用向量、表示为 ．
14．（2023 杭州）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
15．（2023 阜新）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为点，连接，则的面积是 ．
16．（2023 内蒙古）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 ．
17．（2022 上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
18．（2020 上海）如图，在中，，，，点在边上，，连接．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为 ．
三、解答题：（本大题共7题，10+10+10+10+12+12+14，共78分）
19．（2021 上海）解方程组：．
20．（2023 金华）计算：．
21．（2023 湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台种品牌小电器和3台种品牌小电器，共需要90元；采购3台种品牌小电器和1台种品牌小电器，共需要65元．销售一台种品牌小电器获利3元，销售一台种品牌小电器获利4元．
（1）求购买1台种品牌小电器和1台种品牌小电器各需要多少元？
（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进、两种品牌小电器共150台，求购进种品牌小电器数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，所购进的、两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
22．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．．
（1）求的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，
23．（2020 上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
24．（2023 鞍山）如图1，抛物线经过点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交于点，连接，当时，求点的横坐标．
（3）如图2，点为轴正半轴上一点，与交于点，若，，求点的坐标．
25．（2022 上海）如图，在中，是线段中点，联结交于点，联结．
（1）如果．
ⅰ．求证：为菱形；
ⅱ．若，，求线段的长；
（2）分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值．
