2023-2024学年甘肃省定西市临洮县高三（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.在正项等比数列中，，是，的等差中项，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则取得最小值时的值为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 或
8.已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数是奇函数，则( )
A.
B. 是上的减函数
C. 的值域是
D. 的图象与函数的图象没有交点
10.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则( )
A. 四点，，，共面
B.
C. 与平面相交
D. 若，则正方体外接球的表面积为
11.设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为虚数单位，复数满足，则 ______．
13.已知向量，若，则 ．
14.若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和
16.本小题分
年月，因为新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能在网上在线学习，为了研究学生在线学习情况，市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取名学生对线上教学情况进行调查其中，男生与女生的人数之比为：，结果发现：男生中有名对于线上教学满意，女生中有名表示对于线上教学不满意．
请完成如表列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别 满意 不满意 合计
男生
女生
合计
采用分层抽样的方法，从被调查的对线上教学满意的学生中，抽取名学生，再从这名学生中抽取名学生，作线上学习的经验介绍，求所选取的名学生性别不同的概率．
附：参考公式及临界值表，．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
18.本小题分
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸如图
步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆若取半径为的圆形纸片，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．
以点、所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若，求函数的极值和单调区间；
若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由中，得到，即，
，
由中，得到，
则，
故选：．
求出中的范围确定出，求出中的范围确定出，找出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，是基础题．
对函数求导，再求出处的切线方程，即可求得，的值．
【解答】
解：因为函数，
所以，
又函数的图象在点处的切线方程为，
所以
解得，
则．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为命题“，”为真命题，
所以命题“，”为真命题，
所以时，，
因为，
所以当时，，当且仅当时取得等号，
所以时，，
即实数的取值范围是．
故选：．
由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案．
本题主要考查存在量词和特称命题，不等式能成立问题，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
是，的等差中项，，
，即，
或舍去，
．
故选：．
设等比数列的公比为，由题意可得，即，从而可求出值，进一步利用即可求解．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
则，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
由已知结合基本不等式的应用条件即可求解．
本题主要考查了基本不等式应用条件的检验，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，
则对应函数为，
的图象关于轴对称，，，
即，，
则令，可得的最小值是．
故选：．
利用函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得的最小值．
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及直线相互垂直的性质，属于基础题．
由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由渐近线与垂直可得，的关系，再结合，，之间的关系求出离心率的值．
【解答】
解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，
因为一条渐近线与直线垂直，所以，
可得，所以，即，
解得，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题．
求得圆心，可得抛物线方程，与圆的交点，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．
【解答】
解：圆：的圆心为焦点的抛物线方程为，
由，解得，
抛物线：的焦点为，准线方程为，
即有，
当且仅当，，在，之间三点共线，可得最大值，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：选项，的定义域为，又为奇函数，
故，即，
即，解得，A正确；
选项，，
任取，，且，
故，
因为在上单调递增，，故，
所以，即，
所以是上的增函数，B错误；
选项，因为，所以，，
所以的值域是，C正确；
选项，令，即，，无解，
故的图象与函数的图象没有交点，D正确．
故选：．
选项，根据得到方程，求出；选项，化简得到，利用定义法判断出函数的单调性；选项，根据，所以，从而求出值域；选项，联立得到，无解，故D正确．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性在函数值域及零点个数判断中的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，连接和，由此可知点，，在平面中，
点平面，则四点，，，不共面，即选项A不正确；
对于选项B，由正方体的性质结合条件可知，分别是，的中点，所以，
又因为，所以，即选项B正确；
对于选项C，点，，都在平面内，所以与平面相交，即选项C正确；
对于选项D，因为为的中位线，且，所以正方体的棱长为，
设正方体外接球的半径为，则，
即，则外接球的表面积为，即选项D正确；
故选：．
连接和，由此可知点，，在平面中，而点不在平面中，即可判断选项A；由已知得为的中位线，利用中位线的性质即可判断选项B；由已知得点，，都在平面中，与平面相交，即可判断选项C；由即可求得正方体的棱长为，则可以求出正方体外接球的半径，即可判断选项D．
本题考查球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：作出函数的图象，如图所示：
由题意，直线与的图象有个交点，
由图象可知，且，关于对称，
所以，，
，所以，即，
则．
当时，
，
又，所以．
故选：．
作出函数的图象，结合图象可得，，，的范围，结合范围逐一判断即可．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的坐标表示与向量垂直的判定，属于基础题．
根据平面向量的坐标表示与运算，由条件利用两个向量垂直的性质，求得的值．
【解答】
解：因为，所以；
因为，所以；
解得：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和函数的周期性，属于中档题；
因为是上的奇函数，为偶函数，可得的周期，再进行求解可得结果．
【解答】
解：因为是上的奇函数，为偶函数
所以
所以，
即的周期，
因为时，，
所以．
故答案为．
15.【答案】解：设等比数列的公比为，由，得，解得，
又，，成等差数列，得，即，
所以；
由可知，
所以．
【解析】设等比数列的公比为，根据与即可求出与，从而可得数列的通项公式；
由可知，从而分别求出与的前项和即可得到数列的前项和．
本题考查等比数列的通项公式，分组求和法，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
16.【答案】解：填写列联表如下，
态度
性别 满意 不满意 合计
男生
女生
合计
由表中数据，计算，
所以有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
采用分层抽样法从对线上教学满意的学生中抽取名学生，男生有人，记为、、、，
女生人，记为、，从这人中抽取人，所有基本事件为：
、、、、、、、、、、、、、、共种；
其中所选取的名学生性别不同的基本事件为：
、、、、、、、共种；
故所求的概率为．
【解析】由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
用分层抽样法抽取名学生，男生人，女生人，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
17.【答案】证明：由直三棱柱的定义可知平面，
因为平面，所以；
又因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以．
由、平面，且，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
解：在直三棱柱中，平面，
平面，平面，
，，
又是棱的中点，则，
由勾股定理可得，
，
是等边三角形，是棱的中点，
，则，
又，则，
，
平面，平面，
平面平面，
又平面平面，，平面，
平面，
设点到平面的距离为，
则，即，解得．
即点到平面的距离为．
【解析】根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面，即可证得平面平面；
由题意得平面，平面，平面平面，利用等体积法，求解即可得出答案．
本题考查面面垂直的证明，点到平面的距离，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知，，
所以点轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，
因为，，所以，，
则，所以椭圆的标准方程为；
由已知：直线过，设的方程为，由题意必定是存在的，
联立两个方程得，消去得，
得，
设，，
则，，，
将代入上式，可得上式可得，
要使为定值，则有，，
又，，此时，
存在点，使得直线与斜率之积为定值；
综上，椭圆的标准方程为，存在点，使得直线与斜率之积为定值．
【解析】根据椭圆的定义对照折纸的方法求出，，；
设直线的方程，与椭圆方程联立，再根据斜率的定义求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
19.【答案】解：因为，分
当，，
令，得，分
又的定义域为，，随的变化情况如下表：
极小值
所以时，的极小值为分
的单调递增区间为，单调递减区间为；分
，．
令，得到，
若在区间上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间上的最小值小于即可．
当，即时，对成立，
在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为，
由，得；
当，即时，
若，则对成立，
在区间上单调递减，
在区间上的最小值为，
显然，在区间上的最小值小于不成立．
若，即时，则有
极小值
在区间上的最小值为，
由，
得，解得，即．
综上，由可知：．
【解析】求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；
若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可．利用导数研究函数在闭区上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值问题，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
第1页，共1页
