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海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（三）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.3 C. D.5
2.在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为630.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（ ）
A.11 B.13 C.22 D.26
4.已知等比数列的公比为，则（ ）
A.20 B.24 C.28 D.32
5.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度 音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知正实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于两点，与的准线交于点（点在线段上），，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹为椭圆
B.若，则点的轨迹为双曲线
C.若，则点的轨迹为一条直线
D.若，则点的轨迹为圆
10.已知函数的一个最大值点为，与之相邻的一个零点为，则（ ）
A.的最小正周期为 B.为奇函数
C.在上单调递增 D.在上的值域为
11.在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A.若在同一球面上，则
B.若平面，则
C.若点到四点的距离相等，则
D.若平面，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，若，则__________.
13.的展开式中的系数为__________.
14.已知函数若对任意恒成立，则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列的前项和为.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
16.（15分）
如图，已知四棱锥的体积为平面，四边形为矩形，为棱的中点，且的面积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（15分）
如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.
（1）求的方程；
（2）若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值.
18.（17分）
某学校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
（1）求第4天是甲管理停车场的概率；
（2）求第天是甲管理停车场的概率；
（3）设今年甲 乙 丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）
19.（17分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（三）
数学·答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.答案C
命题意图本题考查复数的相关概念.
解析由题知.
2.答案A
命题意图本题考查正弦定理的应用.
解析由正弦定理得.
3.答案D
命题意图本题考查分层随机抽样的概念.
解析由题知，样本中本科学历占比为，硕士学历占比为，故抽取的硕士学历的人数为.
4.答案D
命题意图本题考查等比数列的基本性质.
解析由题意知，所以.
5.答案A
命题意图本题考查同角三角函数的基本关系与三角恒等变换.
解析，又，
.
6.答案B
命题意图本题考查圆锥的结构特征.
解析由条件知，则，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆半径为，截面圆面积为.
7.答案D
命题意图本题考查指数函数 对数函数的图象与性质.
解析在同一平面直角坐标系中作出的图象，由图得.
8.答案C
命题意图本题考查抛物线与直线的位置关系.
解析如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，分别过点作，垂足分别为，设交轴于点，准线与轴交于点.由题知的倾斜角为，则，又.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案BCD
命题意图本题考查曲线与方程.
解析对于，则点的轨迹为线段，故A错误；
对于，则点的轨迹是双曲线，故B正确；
对于，设，由，可得，化简得，表示一条直线，故C正确；
对于，由，可得，则点的轨迹是以为直径的圆，故正确.
10.答案BC
命题意图本题考查三角函数的性质.
解析设最小正周期为，则，故A错误.不妨令，则.再由五点法知，此函数为奇
函数，故B正确.当时，，由余弦函数的性质知C正确.当时，，故D错误.
11.答案ABD
命题意图本题考查空间位置关系的判断.
解析由题意知点在线段上（不包含点）.
对于A，若在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以与重合，所以，故A正确；
对于，如图（1），设的中点为，则平面与平面的交线为直线，要使平面，则需，则为的中点，此时，故B正确；
对于，点到四点的距离相等，则为正方体外接球的球心，即的中点，此时，故错误；
对于，如图（2），设正方形的中心为，连接与交于点，在对角面内，易知是上靠近的三等分点，且，若平面，则，由对称性易知，则，从而是的靠近的三等分点，此时，故D正确.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案2
命题意图本题考查集合的关系.
解析因为，所以，则，且，所以.
13.答案-480
命题意图本题考查二项式定理的应用.
解析由题知可将看成6个相乘，先从6个因式中选2个因式取，有种不同的取法，再从剩余4个因式中选3个因式取，则的系数为，最后1个因式取1，所以的系数为.
14.答案
命题意图本题考查函数性质的综合应用.
解析由题知在区间上单调递增，在上单调递减.注意到，因此若
对任意恒成立，则，即对任意恒成立.由于在区间上单调递增，且值域为在区间上单调递减，且值域为，因此对恒成立时.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.命题意图本题考查数列的通项公式与求和.
解析（1）当时，，
当时，，
.
（2）由（1）知，
，①
，②
①-②得，
，
.
16.命题意图本题考查空间中的位置关系以及空间向量的应用.
解析（1）因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
又四边形是矩形，所以，从而.
设点到平面的距离为，则，得，
因此点到平面的距离为.
（2）因为四边形为矩形，为的中点，所以.
因为平面，所以，又，所以平面，所以.
即是等腰直角三角形.
设，则.
由条件知解得
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设是平面的法向量
则可取.
平面的一个法向量为.
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17.命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.
解析（1）由题可得，
因为的离心率为，所以，得，
所以的方程为.
（2）过的右顶点，不妨设，由的方程可得其渐近线方程为，因为均在的右支上，所以或.
由得，
所以.
，
以线段为直径的圆的圆心横坐标为，半径为，
由题意知，
整理得，
解得（负值舍去）.
18.命题意图本题考查全概率公式的应用，以及数列与概率的综合问题.
解析（1）由题意，前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
所以.
（2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”，记，则.
由题意知，
当时，，
即，
整理得，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
即第天是甲管理停车场的概率为.
（3）.
19.命题意图本题考查利用导数研究函数性质.
解析（1）.
当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.
令，则.
设，则.
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，.
①若，当时，在上单调递增，
则，所以，所以
②若，则，又当时，，所以，使得，即.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则，
所以，所以.
由，令函数，则当时，，
所以，所以.
综上，实数的取值范围是.
