2023-2024学年度第一学期
北京市育才学校八年级数学学科期中考试试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）.
1.作为一名道路交通的参与者，在我们生活的周边有形色各异的交通标识，交通标识中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.2，3，6 B.4，4，8 C.4，7，11 D.5，8，12
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知两个三角形全等，则等于（ ）
A.50° B.58° C.60° D.72°
5.如果一个正多边形的内角和等于720°，那么它的每一外角都等于（ ）
A.45° B.60° C.72° D.90°
6.如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.平分
7.如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
9.如图，，点在边上，，则等于（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
10.如图，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，连接，则的度数（ ）
A.随着的增大而增大 B.随着的增大而减小
C.随着的增大，先增大后减小 D.不变
二、填空题：（每小题3分，共24分）.
11.计算：______.
12.右图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，则此作法的数学依据是______（请从“、、、、”中选择一个填入）.
13.已知点与关于轴成轴对称，则______.
14.如图，，，，，，则______°.
15.若等腰三角形的两条边长分别为3和4，则它的周长是______.
16.如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于______cm.
17.如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上的动点.若点在线段的垂直平分线上，______；当取得最小值时，______.
18.如图，在平面直角坐标系中，，，动点，分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止.直线经过原点，且，过，分别作的垂线段，垂足分别为，.若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，运动时间为秒，当与全等时，的值为______.
三、解答题：（共8小题，共46分）
19.计算：（小题4分，共8分）
（1）； （2）
20.（5分）如图，已知：点，，，在一条直线上，，，.求证：.
21.（5分）如图，是的离，是的角平分线，若，，求和的度数.
22.（5分）如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为，乙长方形的两边长分别为，，面积为（其中m为正整数）.
（1）______，______（用含的多项式表示），______（填“＜”、“＝”或“＞”）；
（2）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为，求证：为定值.
23.（5分）操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点，，.
（1）画出关于轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标______；
（2）点是轴上的动点，点是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点和点的位置，使取得最小值，最小值是______个单位长度.
24.（6分）阅读实践：学习了三角形、全等三角形及轴对称的相关知识后，爱思考的小铭同学设计了一种新的角平分线的尺规作图方法，以下为他的作图过程：
已知， ①作的反向延长线； ②以点为图心，适当长为半径画孤，分别交，，于点，，； ③连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，交第②步所画弧于点； ⑤作射线，即为的角平分线.
请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，并完成证明.
证明：
.（ ）
为的反向延长线，
，
即.
，______，
______.
在和中，
，（ ）
.
即为的角平分线.
25.（6分）如图，在中，，为边上一点，平分且，若，，求的长.
26.（6分）如图，已知等腰中，，，，点关于直线的对称点为点，连接，连接交于点，连接交于点，交于点.
（1）如图1，当时，
图1
①补全图形；
②探究与的数量关系，并说明理由；
（2）在直线绕点顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出的值为______.
备用图
附加题：（共2小题，第1小题3分，第2小题7分，共10分）
27.规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么.
例如：因为，所以.令，，，
求证：.
28.如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上.
图1 图2 图3
（1）如图1，若点的横坐标为，则点的坐标为______；
（2）如图2，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，，，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出其取值范围.
