北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第二学期
开学测试
高三年级 数学学科
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
一 选择题（每题4分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．
【详解】因为集合，，，
.
故选：A．
2. 已知命题“，有成立”，则为（ ）
A. ，有成立 B. ，有成立
C. ，有成立 D. ，有成立
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题，任意变存在，范围不变，结论相反，
则为：，有成立，
故选：C.
3. 已知复数，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，根据，解出即可.
【详解】设，，，解得
，所以，
故选：B
4. 某生产厂商更新设备，已知在未来年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题知，平均话费为，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：平均话费为，当且仅当，时，等号成立.
故选：B．
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质，求得，再结合对数函数的性质，得到，即可求解.
【详解】由指数函数的性质和 ，可得，即
根据对数函数的性质，可得，
因为，所以，
综上可得.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒
【详解】由题知，由组合数性质解得n＝6，
∴＝，
令x＝1，得展开式各项系数之和为，
故选：C.
7. 已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t，
①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2，
∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，
②当{an}和{Sn}都有最小项，
∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，
Sn＝na1tn2+(a1)n，
则或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，
∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，
故选：B．
8. 已知函数，图像上每一点横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出.
【详解】根据
，
可得，故，
所以，故的周期为24，所以，，
故选：A．
9. 已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，
显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：
，两圆外离，由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是：.
故选：B
【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.
10. 已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）
A. 有3个 B. 有2个 C. 有1个 D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】本题首先可讨论当时，根据得出，然后讨论当时，通过等差数列求和公式得出，通过计算即可得出结果.
【详解】当时，
，
解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意；
当时，
，
即，
若整数恰有2个，则首先，解得，
设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则，
若，此时，解得，满足，符合题意；
若，此时，解得，满足，符合题意；
若，此时，解得，满足，符合题意，
故可取到的值有或或.
故选：A.
二 填空题（每题5分，共25分）
11. 函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.
【详解】当时，，
当时，则，即，
综上的值域为，
故答案为：.
12. 已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为________；点P到焦点的距离为________．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】由抛物线方程求其准线方程，再结合抛物线定义求点P到焦点的距离.
【详解】抛物线的准线方程为，焦点的坐标为，
因为点在抛物线上，
由抛物线定义可得点P到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以点P到焦点的距离为.
故答案为：；2.
13. 在中，，，且的面积为，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】首先由面积公式求出，即可求出，再由余弦定理计算可得.
【详解】解：因为,
则，所以，
①当时，，所以；
②当时，，所以；
故答案为：或
14. 已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足，若，则的离心率为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据条件可得，点坐标，由和渐近线垂直斜率之积为，可得，即得离心率为2.
【详解】
如图，设双曲线的半焦距为，则，，
双曲线的一条渐近线方程为，
当时，过作垂直于轴于，则为的中点，
故点坐标为，点坐标为，
因为直线垂直于，所以，得，
又在双曲线中，故得，故，
故答案为：2
15. 如图，在直角梯形中，E为的中点，，，M，N分别是，的中点，将沿折起，使点D不在平面内，则下命题中正确的序号为______．
①；
②；
③平面；
④存在某折起位置，使得平面平面．
【答案】②③
【解析】
【分析】①③，作出辅助线，得到，从而得到与不平行，平面；②证明线面垂直，得到线线垂直；④建立空间直角坐标系，得到两平面的法向量，由法向量不为0得到不存在某折起位置，使得平面平面.
【详解】①③，如图所示：直角梯形中，，
又因为，，所以，
故四边形为矩形，
因为N分别是的中点
连接，则与相交于点，故点是的中点，
因为是的中点，所以，
又，而与相交于点，
故与不平行，故与不平行，①错误，
因为，平面，平面，
所以平面，③正确；
②，因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由①知，所以，②正确；
④，连接，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，，，
故，
设平面的法向量为，
故，
解得，令，则，
故，
设平面的法向量为，
故，
解得，令，则，
故，
故，
因为，故，故，
故不存在某折起位置，使得平面平面，④错误.
故选：②③
三 解答题（本大题共6小题，共85分.解答位写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定的解析式；
（2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③；的图象经过点．
【答案】选择见解析：（1）；（2）．
【解析】
【分析】求出函数的最小正周期，可求得的值.
（1）选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；
选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式；
（2）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，．此时．
（1）选条件①②；因为，所以．
因为图象的一个对称中心为，所以，
因为，所以，此时，所以；
选条件①③：因为，所以．
因为函数的图象过点，则，即，，
因为，即，，所以，，解得.
所以；
选条件②③：因为函数的一个对称中心为，
所以，所以．
因为，所以，此时，所以．
因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．
所以；
（2）因为，所以，
因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，
所以的取值范围为．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
17. 每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康 文明 快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表：
性别 男 5 12 13 8 9 8
女 6 9 10 10 6 4
学段 初中
高中 13 12 7 5 4
（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率；
（2）从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的初中 高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为.写出一个的值，使得（结论不要求证明）.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）1（或取0）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型求解即可；
（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；
（3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式，得到不等式即可得答案.
【小问1详解】
从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生，
估计该学生参加体育实践活动时间在的概率为；
小问2详解】
由题知，的所有可能值为0，1，2，
参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人，
参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人，
记事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，
事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，
由题意知，事件相互独立，
且，
所以，
，
，
所以的分布列为：
故的数学期望；
【小问3详解】
根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
时间/人数/类别
性别 男 5 12 13 8 9 8
女 6 9 10 10 6 4
学段 初中 10
高中 13 12 7 5 4
内初中生的总运动时间，
内高中生的总运动时间，
，
，
若，则，即
解得或，又因为，则或.
故可取（或0）.
18. 如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由中位线定理得EFDC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，从而证得结论成立；
（2）以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值．
（3）根据向量法求点到平面距离.
【小问1详解】
因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP中点，
所以EFAB，DCAB，所以EFDC．
又因为EF平面PCD，DC 平面PCD，
所以EF平面PCD．
又因为EF 平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，
所以EFGH，又因为EFAB，所以ABGH.
【小问2详解】
因为，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，则，
所以，.
设平面PAB的一个法向量为，则可取
设平面PDC的一个法向量为＝(x，y，z)，
由，，
得，取z＝1，得＝(0，2，1)．
所以cos〈〉＝，
所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为．
【小问3详解】
由点到平面的距离公式可得，
即点A到平面PCD的距离为.
19. 已知.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）设，求的单调区间；
（3）求证：当时，.
【答案】19 ；
20. 时，单调递减区间为，单调递增区间为;
21. 证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;
（2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调区间；
（3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论.
【小问1详解】
当时，，
故在处的切线斜率为，而，
所以在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由题意得，则，
令，即，
令，即，
时，单调递减区间为,单调递增区间为.
【小问3详解】
证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，而，
则，即，而，
故，即.
【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.
20. 已知椭圆：的左顶点与上顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；
（2）若点在椭圆上，线段的垂直平分线分别与线段，轴，轴交于不同的三点，，．
（i）求证：点，关于点对称；
（ii）若为直角三角形，求点的横坐标．
【答案】（1），焦点坐标分别为，；（2）（i）证明见解析；（ii）．
【解析】
【分析】（1）依题意有，求得，进而求得焦点坐标；
（2）（i）设，设直线方程为，与椭圆方程联立求得，利用中点坐标公式求得点坐标，由垂直平分线求得点坐标，即可证得点，关于点对称；
（ii）由已知得为等腰直角三角形，所以，利用两点之间的距离公式可求得结果.
【详解】（1）依题意，，，有，解得，
所以椭圆方程为，焦点坐标分别为，．
（2）（i）设，显然直线的斜率存在，设为k，则直线方程为，
联立，消去y得，，，
由韦达定知，，
利用中点坐标公式知，，即，
，，所以直线的方程为，
令，得到，所以．
令，得到，所以．
所以是，的中点，所以点，关于点对称．
（ii）因为为直角三角形，且，所以为等腰直角三角形，
所以，
因为，，即，
化简得,，解得，（舍），
即点的横坐标为．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：
①对于任意的，（），；
②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．
（1）若，且，，，，求的值；
（2）证明：，，不可能是数列中的项；
（3）求的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用①推出的范围．利用②求解的值即可；
（2）利用反证法：假设，，是数列中的项，利用已知条件②①，推出得到矛盾结果．
（3）的最大值为，一、令：，则符合①②，二、设：，，…，（）符合①②，（i）中至多有三项，其绝对值大于．
利用反证法证明假设中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于．利用反证法推出矛盾结论、（iii）中至多有两项绝对值等于．（iv）中至多有一项等于．推出的最大值为．
【小问1详解】
由①得：，
由②得：当，，时，，，中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得：，
经检验，当时，符合题意，
【小问2详解】
假设，，是数列中的项，由②可知：，，中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且，
由①，，
对于数，，由②可知：，
对于数，，，由②可知：，
所以，这与①矛盾．
所以，，不可能是数列中的项．
【小问3详解】
的最大值为，证明如下：
一、令：，则符合①②，
二、设：，，…，（）符合①②，则：
（i）中至多有三项，其绝对值大于．
假设中至少有四项，其绝对值大于，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中，则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项，
同理：也是数列中的项．但，，
所以，所以，这与①矛盾．
（ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于，
假设中至少有四项，其绝对值大于且小于，类似（i）得出矛盾，
（iii）中至多有两项绝对值等于．
（iv）中至多有一项等于0．
综合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有项，
由一、二可得，的最大值为．北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第二学期
开学测试
高三年级 数学学科
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
一 选择题（每题4分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题“，有成立”，则为（ ）
A. ，有成立 B. ，有成立
C. ，有成立 D. ，有成立
3. 已知复数，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某生产厂商更新设备，已知在未来年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
10. 已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）
A. 有3个 B. 有2个 C. 有1个 D. 不存在
二 填空题（每题5分，共25分）
11. 函数的值域为__________.
12. 已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为________；点P到焦点的距离为________．
13. 在中，，，且的面积为，则________.
14. 已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足，若，则的离心率为__________.
15. 如图，在直角梯形中，E为中点，，，M，N分别是，的中点，将沿折起，使点D不在平面内，则下命题中正确的序号为______．
①；
②；
③平面；
④存在某折起位置，使得平面平面．
三 解答题（本大题共6小题，共85分.解答位写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定解析式；
（2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③；的图象经过点．
17. 每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康 文明 快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表：
性别 男 5 12 13 8 9 8
女 6 9 10 10 6 4
学段 初中
高中 13 12 7 5 4
（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率；
（2）从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的初中 高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为.写出一个的值，使得（结论不要求证明）.
18. 如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．
19. 已知.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）设，求的单调区间；
（3）求证：当时，.
20. 已知椭圆：的左顶点与上顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；
（2）若点在椭圆上，线段垂直平分线分别与线段，轴，轴交于不同的三点，，．
（i）求证：点，关于点对称；
（ii）若为直角三角形，求点的横坐标．
21 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：
①对于任意的，（），；
②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．
（1）若，且，，，，求的值；
（2）证明：，，不可能是数列中的项；
（3）求的最大值．
