专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或15
例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（ ）
A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对
例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（ ）
A． B．或 C．或 D．
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不是
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为
(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
模型2、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。
例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
例5．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ．
例6.（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，若为直角三角形，则的长为 ．
例7.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是 ．
例8．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？
(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．
例9．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，，与相交于点P，，Q是射线上的动点．
(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若为直角三角形，求的值．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．
课后专项训练
1．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角是 ．
6．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若，则该等腰三角形的顶角为 度．
7．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________．
8．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
9．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．
10．（2022·河南南阳·二模）如图，在的纸片中，，，．点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点．若为直角三角形，则的长是_______．
11．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．
12．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，，．，在直线上．现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为 ．
13．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为．
(1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
14．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点．
(1)当点是中点时，求的面积；(2)连接，若平分，求此时点的坐标；
(3)平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；(4)平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标．
16．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
17．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．
(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．
18．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27．
（1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．(1)求直线的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
例1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或15
【答案】C
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【详解】解：，，，
，，解得：，，
当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：，
当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．
例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（ ）
A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．
【详解】解：当cm为腰长时，则底边长为cm，
∵，不符合题意；∴cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为：；故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．
例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可
【详解】解：①当底角为时，顶角，
②当顶角为时，顶角度数，综上：顶角度数为或；故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不是
【答案】D
【分析】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【详解】∵等腰三角形的一个外角等于，∴等腰三角形的一个内角为，
①当为顶角时，其他两角都为、，
②当为底角时，其他两角为、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为 ．
【答案】或
【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，∴，
若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，综上，等腰三角形的顶角的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰．
【详解】如图：分情况讨论：
①为等腰直角底边时，符合条件的格点C点有2个；
②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有5个点，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．
【答案】或或．
【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图，当时，
是等腰直角三角形，
,，；
②如图，当时，过点作，交的延长线于点，
，，是等腰直角三角形，
，，
又，是等腰直角三角形，，
在中，，，
在中，，在中，；
③如图，当时，
，是等腰直角三角形， ，
在中，，在中，．
综上所述，的长为：或或．故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．
例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】或或或
【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三种情况求解即可．
【详解】∵为等腰三角形，①当时，如图①，
∵，∴，
∵，∴或；
②当时，如图② 作于C点，则，
∵，∴，∵，∴，∴．
③当时，如图③，作，∴，∴．
综上所述：点P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键．
例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
(1)若点在上，且满足，求此时的值；(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)(2)或(3)或或或3
【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，在中，依据，列方程求解即可得到的值．（2）如图所示，当点P在上时，过作于，设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值．当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，．
（3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值．
【详解】（1）解：如图，设，则，
，，，，
在中，由勾股定理得，
，解得，，；
（2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，
平分，，，，
在与中，，
，，设，则，
在中，由勾股定理得，
，解得，，，
当点与点重合时，点也在的角平分线上，此时，．
综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或．
（3）解：分四种情况：①如图，当在上且时，∴，
∵，，，，
是的中点，即，．
②如图，当在上且时，∴．
③如图，当在上且时，过作于，
∵，∴，
在中，由勾股定理得，
，．
④如图，当在上且时，则，．
综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．
例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为
(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，点F的坐标为或或
【分析】（1）据直线交轴正半轴于点，交轴于点，，设直线解析式为，把的坐标代入求得的值，从而求得的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出的值，求出的值，从而求出点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出的解析式，先根据的坐标求出直线的解析式，将点的横坐标代入直线的解析式，求出的纵坐标，将的纵坐标代入直线的解析式就可以求出的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使为等腰直角三角形，分三种情况分别以点为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中的值，就可以求出点的坐标．
【详解】（1）解：，∴设直线的解析式为，
∵直线经过，，，
∴直线的解析式为，，，
的面积为，，
，，，直线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为，
，∴，解得．∴直线的解析式为；
∵点P在上，且横坐标为m，，轴，∴E的纵坐标为，
代入得，，解得，，
的长；即，；
（3）解：在x轴上存在点F，使为等腰直角三角形，
①当时，如图①，有，，，
，解得，此时；
②当时，如图②，有，的长等于点E的纵坐标，
，，解得：，
∴点E的横坐标为，∴；
③当时，如图③，有，．
，．作，点R为垂足，
，，．同理，．
∵点R与点E的纵坐标相同，，∴，解得：，
，∴点F的横坐标为，．
综上，在x轴上存在点F使为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
模型2、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。
例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ．
【答案】3或/或3
【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边．
【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边，
当第三边为斜边时，第三边，故答案为：3或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】解：如图所示，当时，
∵是的角平分线，，
∴，∴中，；
如图，当时，
同理可得，∵，∴，
∴，
综上所述：的度数为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
∵，，
∴，，，
∴，，都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，
，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
例5．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ．
【答案】或或
【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．
【详解】①如图，当时，
是等腰直角三角形，
,
②如图，当时，过点作，交的延长线于点，
，是等腰直角三角形，
，
又是等腰直角三角形
在中，
在中，
在中，
③如图，当时
，是等腰直角三角形， ，
在中，
在中，
综上所述，的长为：或或
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
例6.（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】2或18
【分析】分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，由题意可得，，，，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求的长．
【详解】解：若点在线段上，
若与△关于直线对称，，，，
△为直角三角形，，，
，，，点，点，点共线，
在中，．，，
若点在线段的延长线上，且点在上，
若与△关于直线对称，，，
在△中，，，，
，且，，
△，，，故答案为：2或18．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键
例7.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是 ．
【答案】/
【分析】过点A作于点G，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点G，
∵，，∴，
∴，∴，
∵将沿折叠得到，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
例8．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？
(3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．
【答案】(1)6(2)2(3)存在，此时M、N运动的时间为8秒(4)或或或9秒
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于，所以只要，就是等边三角形；
（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在、、上运动的三种情况，再分别就是和，列方程求解可得．
【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
则，解得：，即当点M、N运动6秒后，M、N两点重合；
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，如图1，，，
， ，
∵，当时，是等边三角形，∴，解得，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形；
（3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设是等腰三角形，
∴，∴，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
在和中，∵，，，
∴（AAS），∴，∴，解得，符合题意，
所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以为底边的等腰三角形；
（4）解：当点N在上运动时，如图3，
， ， ， ，
若，∵，，∴，
∵，∴，即，解得；
如图4，若，由得，解得；
当点N在上运动时，点M也在上，此时A、M、N不能构成三角形；
当点N在上运动时，如图5，
当点N位于中点处时，由是等边三角形知，即是直角三角形，
则，解得；
如图6，当点M位于中点处时，由是等边直角三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当，，，9时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
例9．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，，与相交于点P，，Q是射线上的动点．
(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若为直角三角形，求的值．
【答案】(1)2，证明见解析(2)2或8
【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及证明即可；
（2）分为直角，两种情况，结合30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：图中有2组全等，；
证明：∵等边三角形，∴，
∵，∴，
在和中，，∴；
在和中，，∴；
（2）解：∵，∴，
∴，
∵Q是射线上的动点，当为直角三角形时：
①当时，如图，则：，∴；
②当时，如图，则：，∴．
综上：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．
【答案】（1）直线AB的解析式为：y=-x+2；（2）（2）不变．理由见解析；（3）点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．
【分析】（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出直线AB解析式；（2）当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值不变，理由为：过A作AE垂直于x轴，AF垂直于y轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A的坐标得到AE=AF，再由已知直角相等，利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD，进而求出OC-OD的值即可；（3）分三种情况考虑：①当M为直角顶点时；②N为直角顶点时；③P为直角顶点时；分别求出P坐标即可．
【详解】（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB上，
∴，解得：．∴直线AB的解析式为：y=-x+2；
（2）不变．理由如下：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F（如答图1），可得∠AEC=∠AFD=90°，
又∵∠BOC=90°，∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，
∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DAF，∵A（-4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，
在△AEC和△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC=FD，
∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，则OC-OD的值不发生变化，值为8；
（3）①当M为直角顶点时，点P的横坐标为-4，
∵点P在直线AB上，将x=-4代入y=-x+2得，y=4，∴点P的坐标为P（-4，4）；
②当N为直角顶点时，点P的横坐标为2，
∵点P在直线AB上，将x=2代入y=-x+2得，y=1，∴点P的坐标为P（2，1）；
③当P为直角顶点时，∵点P在直线AB上，可设点P的坐标为（x，-x+2），
则MP2=（x+4）2+（-x+2）2，NP2=（x-2）2+（-x+2）2，
在Rt△PMN中，MP2+NP2=MN2，MN=6，∴（x+4）2+（-x+2）2+（x-2）2+（-x+2）2=62，
解得：x1=-，x2=，∴P（-，+2）或（，-+2），
综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
课后专项训练
1．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分为、，三种情况画图判断即可．
【详解】解：如图所示：当时，符合条件的点有2个；当时，符合条件的点有1个；
当，即当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．符合条件的点C有4个．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
3．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在中，，，．若点P为直线BC上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．
【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，
由勾股定理的：，
如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P1；
以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P2和P3；
作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P4；即共4个点，故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．
4．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
5．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角是 ．
【答案】或
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．
【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：
∵，∴，∵，∴，
∴；
②当高在三角形外部时，如图：
∵，∴，∵，∴，∴．
∴综上所述，底角是或．故答案是：或．
【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．
6．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若，则该等腰三角形的顶角为 度．
【答案】90
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵，∴设顶角，则底角，∴，
∴，∴该等腰三角形的顶角为，故答案为：90．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
7．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与A、不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________．
【答案】4或
【分析】现根据已知条件得出，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、AD、CD的长，然后分类讨论即可．
【详解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD，
∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD，
∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°,
∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=，
∵，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，
∴CD=， BD== AD；
（1）当BE=BD=时，如图：
（2）当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°，
∴ADE=180°-AED-A=180°-60°-30°=90°，∴ADE为直角三角形，
又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4；
（3）当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；
综上所述，BE为4或．故答案为：4或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．
8．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．
①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，
③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，
⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；
⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．
【答案】或或．
【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．
【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，
当DE=DF时，如图1，
此时DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，
∴，∴，
设，则，则在直角△DHE中，，解得，
当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N，
可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，
∴，设，则，
∴，即
∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴
在△AHE和△BNE中， ∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，
设，则，在直角△AEH中，，解得，
当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，
同理∴故答案为：或或．
【点睛】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·二模）如图，在的纸片中，，，．点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点．若为直角三角形，则的长是_______．
【答案】7或
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，
过点作，交的延长线于点，由折叠得：，，
设，则，，在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：7或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
11．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．
【答案】或或1
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【详解】当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=，
在直角三角形ABP中，AP=；
当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=OB=1，∵AB=BC=2，∴AP=；
情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为：或或1．
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
12．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，，．，在直线上．现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】或或
【分析】先进行分类讨论，通过平移的性质可知，，最后通过所对直角边是斜边的一半和等边三角形答性质即可求解．
【详解】∵，，，∴，，
如图，当在的左侧，且时，
∵为直角三角形，∴，∴，∴，∴；
如图，当在线段上，且时，
即为直角三角形，∴，∴；
如图，当在线段上，且时，
即为直角三角形，∴，∵，∴，
∴为等边三角形，∴，故答案为：或或．
【点睛】此题考查平移和特殊三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质和等边三角形的性质和判定．
13．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为．
(1)求点的坐标和的大小；(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；(2)；(3)，，，．
【分析】（1）先求解，，可得，，从而可得，如图，取的中点,连接,而，再证明为等边三角形，可得答案；
（2）先证明，,可得,求解，可得为，过作交x轴于Q，设， 可得.，从而可得答案；（3）由为，设，而,可得,再分三种情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵点的坐标为，的坐标为，
∴，，∴，，∴，
如图，取的中点,连接,而，
∴，∴为等边三角形，∴.
（2）解：∵折叠，，∴，，
∴，,∴,∴，
设为，∴，解得：，
∴为，过作交x轴于Q，
设，代入，∴，解得：，
得.令，则∴
（3）解：∵为，设，而，
∴，
当时，，解得：，∴，
当时，∴，解得：，（舍去），∴，
当时，∴，解得：，∴或，
综上：，，，．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，含的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.
14．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在等腰三角形，点P的坐标为或或．
【分析】（1）求出，用待定系数法可得直线的函数解析式为；
（2）①当，即在上时，；当，即在上时，；②，，知在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，，，，分三种情况：若时，，当时，，当时，，分别解方程可得答案．
【详解】（1）解：，，四边形是长方形，，
当点与点重合时，设直线的函数解析式为，
把，代入得：，解得，直线的函数解析式为；
（2）解：①当，即在上时，如图：；
当，即在上时，如图：，
；
②存在等腰三角形，理由如下：如图：
，，，在上时，不可能是等腰三角形，
当在上时，，，，
若时，，解得（舍去）或，；
当时，，解得或（舍去），；
当时，，解得，；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
15．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点．
(1)当点是中点时，求的面积；(2)连接，若平分，求此时点的坐标；
(3)平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围；(4)平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标．
【答案】(1)(2)(3)(4)点的坐标为或或或
【分析】（1）连接，先求出点，点，可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解；（2）由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的值，即可求点坐标；（3）由得，若平分，P（，0），由面积法可的长，由勾股定理可求的长，即可得的取值范围；
（4）分、、三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
直线交轴于点，交轴于点，
点，点，，，，
点是中点，，，，
，；
（2）如图，连接，
平分，，又，，
≌，，，，
，，，；
（3）过点作轴于点．
由得，＝，，－＝，
∴,＝，
＝，的取值范围；
（4）设点，过点作轴于点，则，
同理可得：，，
当时，即，解得或舍去；
当时，同理可得；当时，同理可得或，
故点的坐标为或或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
【答案】(1)0；1；1；(2)或或(3)4
【分析】（1）根据图中A、B点的位置，写出点A、B的坐标即可；
（2）根据题意画出图形，写出点C的坐标即可；（3）画出图形找出符合条件的点P，得出答案即可．
【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为：，；故答案为：0；1；1；．
（2）解：当点B为直角顶点时，点C的坐标为；
当点A为直角顶点时，点C的坐标为或；
故答案为：或或．
（3）解：如图所示：满足条件的点P有4个．故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义，数形结合．
17．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．
(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．
【答案】(1)(2)(3)的值为 或 或 3或8 或9
【分析】（1）如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，证明，有，，进而可表示的坐标；
（2）如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接，可证，进而可得点坐标，表示出面积即可；（3）①当时，，如图①，根据三角形全等可得，点坐标，将坐标代入中，计算求解即可；当时，，如图②，当时，，如图③，求解方法同①．
【详解】（1）解 ：∵∴
如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，∴∴，
∵,,∴
在和中∵∴
∴，∴．
（2）解：如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接，
∴，∴，
同（1）可知∴，
∴∴
当时，；当时，；
∴．
（3）解：①当时，，如图①，
由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和；
②当时，，如图②，
由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和；
③当时，，如图③，
由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和
综上所述，的值为 或 或或 或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于分情况求解．
18．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27．
（1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=2x+10；（2）y=m+3（-2＜m＜4）；（3）存在，点F的坐标为(，0)或(-，0)或(-，0)
【分析】（1）根据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设出解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式；
（2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的总坐标，将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；
（3）要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标．
【详解】（1）∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n，
∵直线AB经过A（-2，6），∴2+n=6，∴n=4，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B（4，0），∴OB=4，
∵△ABD的面积为27，A（-2，6），∴S△ABD=×BD×6=27，
∴BD=9，∴OD=5，∴D（-5，0），设直线AD的解析式为y=ax+b，
∴，解得．∴直线AD的解析式为y=2x+10；
（2）∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P（m，-m+4），
∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，
解得x=，∴E（，-m+4），∴PE的长y=m-=m+3；
即y=m+3，（-2＜m＜4），
（3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，
①当∠FPE=90°时，如图①，
有PF=PE，PF=-m+4PE=m+3，∴-m+4=m+3，解得m=，此时F（，0）；
②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，
∴EF=-m+4，∴-m+4=m+3，解得：m=．∴点E的横坐标为x==-，∴F（-，0）；
③当∠PFE=90°时，如图③，有 FP=FE，∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足，
∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR=PE．
∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=（m+3），解得：m=，
∴PR=FR=-m+4=-+4=，∴点F的横坐标为-=-，∴F（-，0）．
综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（-，0）或（-，0）．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
19．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．(1)求直线的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值．
【答案】(1)(2)M点的坐标为或或(3)8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意进行分类讨论：①当时，过A作的垂线，交y轴于点，交x轴于点，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；②当时，过点B作的垂线交y轴于点，用相同的方法即可求解；（3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明，得出，即可得出．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
∵，在直线上，
∴ ，解得： ，∴直线的解析式为：；
（2）解：∵是以为直角边的直角三角形，∴有或，
①当时，如图：
设点，，∵，，
∴，，，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，∴，
②当时，如图：
过点B作的垂线交y轴于点，设，∵，，
∴，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，∴．
综上：M点的坐标为：或或．
（3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：
则，又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
在和中， ，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)，
【分析】（1）先求出，，即有，，再根据，可得，即可得，即有，再利用待定系数法即可求解；
（2）设M点坐标为：，由，，即可得，问题随之得解；
（3）利用中点坐标公式求出，设，第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明，即有，，结合，可表示出，代入直线BC的解析式即可求解；第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，同理作答即可．
【详解】（1）令，则有：，解得，令，则有：，
∴，，∴，，∵，∴，
∵，，∴，∴，设BC的解析式为：，∴，，
∴，解得：，∴的解析式为：；
（2）根据题意设M点坐标为：，∵，，
∴，∴，∵，，，，
∴，解得：，，∴M点的坐标为：；
（3）∵，，点F为线段AB中点，∴，设，
第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，，即：，
∵等腰直角三角形，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，，
∵轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵，，∴，，
∴，，∴，∴，
∵落在直线BC上，BC的解析式为：，
∴，解得：，∴，
第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，，即：，
根据第一种情况中的方法，同理可证：，∴，，
∵轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵，，∴，，
∴，，∴，∴，
∵落在直线BC上，BC的解析式为：，
∴，解得：，∴，综上：G点坐标为：，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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