2024年中考数学模拟卷（四川德阳）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.)
1．的相反数是 （ ）
A． B． C． D．2024
【答案】D
解：的相反数是2024，
故选D．
2．一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运动考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（ ）
A．3×105 B．3×104 C．0.3×105 D．30×104
【答案】A
解：将300000用科学记数法表示为：3×105．故选A
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：A、与不是同类项，不能进行合并，故A项运算错误，不符合题意；
B、，故B项运算错误，不符合题意；
C、，故C项运算错误，不符合题意；
D、，故D项运算正确，符合题意；
故选：D．
4．下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：D．
5．如图，在中，，点在直线上，点在直线上，且直线∥MN，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：如图，
，
，
，
．
故选：D
6．下列说法正确的是（ ）
A．“水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件
B．某彩票的中奖机会是，买1000张一定会中奖
C．为检验某品牌灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适
D．“如果x、y是实数，那么”是随机事件
【答案】A
解：A、“水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件，故此选项符合题意；
B、某彩票的中奖机会是，买1000张不一定会中奖，故此选项不符合题意；
C、为检验某品牌灯管的使用寿命，采用抽样调查方式比较合适，故此选项不符合题意；
D、“如果x、y是实数，那么”是必然事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：结合图形知，可看到外面正六棱柱的4条棱，里面的圆柱的主视图是矩形，但因在内部看不到，故应用虚线，所以该几何体的主视图如下图：
故选：B．
8．在2023年杭州第19届亚运会的跳水男子1米板决赛中，中国跳水队的王宗源摘金，六跳的成绩分别是79.50分、69.00分、76.80分、83.30分、69.30分、81.60分，则这六跳成绩的中位数是（ ）
A．78.15分 B．79.50分 C．80.05分 D．83.30分
【答案】A
解：依题意，把成绩排列后，得
69.00分、69.30分、76.80分、79.50分、81.60分、83.30分，
那么，
故选：A
9．将矩形绕点旋转到如图位置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由旋转的性质有，
∴，
∴，
故选：A．
10．已知抛物线的顶点为，与轴交于，两点（在的左侧），其中点的横坐标为，一次函数经过、两点，若，则的取值范围是( )
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
抛物线与轴交于，两点在的左侧，其中点的横坐标为，
，
由图可得：，则的取值范围是或．
故选：B．
11．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（ ）
A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定
【答案】B
解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝42﹣4a＜0，
∴a＞4，
＝＝|4﹣a |，
∵a＞4，
∴|4﹣a |＝a﹣4，
故选：B．
12．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．请写出一个当时有意义的二次根式 ．
【答案】（答案不唯一）
解：∵当x＞2时二次根式有意义，
则符合条件的二次根式可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
14．计算： ．
【答案】
解：
故答案为：．
15．如图，边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，则 的值为 ．
【答案】
解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴，，即，，
∴．
故答案为：70．
16．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
解：去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为且．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时，DA1= ．
【答案】
解：过A1作MH⊥AD交AD于M，交BC于H，作A1N⊥CD于N，如图所示：
由折叠的性质得：A1B=AB=5，
∵点A1恰落在∠ADC的平分线上，
∴∠ADA1=∠CDA1=45°，
∴四边形DMA1N是正方形，
∴A1M=A1N，
设A1M=A1N=x，则A1H=5﹣x，BH=6﹣x，
在Rt△A1BH中，由勾股定理得：（5﹣x）2+（6﹣x）2=52，
解得：x=2，或x=9（舍去），
∴DA1=x=；
故答案为．
18．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 ．
【答案】
解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，
∵l1⊥l3，l2⊥l3，
∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，
∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，
∴∠PAC＝∠BCQ，
在△ACP和△CBQ中，
，
∴△ACP≌△CBQ（AAS），
∴AP＝CQ，PC＝BQ，
∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，
∵AP∥BQ，
∴∠OAP＝∠OBH，
∵点O是斜边AB的中点，
∴AO＝BO，
在△APO和△BHO中，
，
∴△APO≌△BHO（AAS），
∴AP＝BH，OP＝OH，
∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，
∴PQ＝QH＝，
∵∠PQH＝90°，
∴PH＝PQ＝12，
∵OP＝OH，∠PQH＝90°，
∴OQ＝PH＝6．
故答案为：6
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19.（7分）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【答案】3
解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3．
20.（12分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为_______度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】(1)40，图见解析； (2)72； (3)560；(4)
解：（1）本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2），
故答案为：72；
（3）（人），
故答案为：560；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
21.（11分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6；(2)或
（1）解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
22.（11分）如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为，求四边形的面积．
【答案】(1）证明见解析； (2)
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，即，
∴，．
∵点E是BC边中点，
∴BE=CE．
∴，
∴，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵，
∴平行四边形ABFC是矩形；
（2）∵，，
∴，即点为DF中点．
∵是等边三角形，且边长为，
∴，
∴，
∴，
∴．
23.（11分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；(2)13；(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
24.（12分）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为E，交于点，求的长．
【答案】(1)见详解； (2)18；
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点D作于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∵
∴，
∵
∴，
，
∴，
设
在中，，
∴，
解得或（舍），
∴
∴．
25.（14分）抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，为线段上方抛物线上的一动点（点不与点重合），过点作交轴于点，交线段于点，若，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，；(2)或；(3)或或
（1）解：抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，，
解得：，，
，，
当时，，
；
（2）解：由（1）可得，，
，，
，
如图，作轴于，
设，则，
，，
，
要使，则，
，
，
当时，
整理得：，
解得：或，
，
；
当，
整理得：，
解得：或，
，
；
当点在点的左下方时，恒成立，而恒成立，故点不能在点的左下方，
综上所述，或；
（3）解：设点，
，，
，
，
，
设的解析式为：，
将，代入解析式可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
，
设所在直线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
设所在直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
是与的交点，
，
解得：，则，
，
，
，
，
整理得：，
当时，解得：，
，点在上方运动，
，此时，
当时，
解得：或，
此时或
综上所述：或或．
2024年中考数学模拟卷（四川德阳）
说明：1.本试卷分第1卷和第Ⅱ卷。第1卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题全卷共6页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回；
2.本试卷满分150分，答题时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.）
1．的相反数是 （ ）
A． B． C． D．2024
2．一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运动考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（ ）
A．3×105 B．3×104 C．0.3×105 D．30×104
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，点在直线上，点在直线上，且直线∥MN，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“水在一个标准大气压下，温度为时不结冰”是不可能事件
B．某彩票的中奖机会是，买1000张一定会中奖
C．为检验某品牌灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适
D．“如果x、y是实数，那么”是随机事件
7．水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
8．在2023年杭州第19届亚运会的跳水男子1米板决赛中，中国跳水队的王宗源摘金，六跳的成绩分别是79.50分、69.00分、76.80分、83.30分、69.30分、81.60分，则这六跳成绩的中位数是（ ）
A．78.15分 B．79.50分 C．80.05分 D．83.30分
9．将矩形绕点旋转到如图位置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的顶点为，与轴交于，两点（在的左侧），其中点的横坐标为，一次函数经过、两点，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
11．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（ ）
A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定
12．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．请写出一个当时有意义的二次根式 ．
14．计算： ．
15．如图，边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，则 的值为 ．
16．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时，DA1= ．
18．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂直分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19.（7分）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
20.（12分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
)C组所对应的扇形圆心角为_______度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
21.（11分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
22.（11分）如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为，求四边形的面积．
23.（11分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24.（12分）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为E，交于点，求的长．
25.（14分）抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，为线段上方抛物线上的一动点（点不与点重合），过点作交轴于点，交线段于点，若，请直接写出点的坐标．
