1
2023一2024学年安康市高三年级第三次质量联考
文科数学
考试满分：150分
考试时间：120分钟
注意事项：
1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
密
一、
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
露
要求的。
1.设0+0z=2+2+4,则z=
11
22
c
2.集合M=地=-x}N=w=-x,
则下列选项正确的是
AMUN-R
BMUN=N
CM∩N=N
DM.∩N=
3.已知函数f(x)=k-,公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn若f(a1o12)=f(a1o3)，则
毁
封
S2024=
A.1012
B.2024
C.3036
D.4048
x-y2-1
4若实数x,y满足约束条件
x+5y≥11，则x=2x一y的最大值为
5
x+y≤7
A.0
B.2
C.9
D.11
5.甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、
周日值班，
每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值
黛
1
班则甲、乙被安排在同一天值班的概率为
线
B时
c
6.在△MBC中，M是AB的中点，AN=3NC,
CM与BW相交于点P,则正=
A而+兮c
时+c
c丽+
D.西+C
7.已知正数a,b满足ae=blnb=2,则
Aa<1
D.a>b>1
郭
8.已知a(0-孕=2，则sm(20+孕-
文科数学第1页（共4页）】
A-72
B、2
c②
D.7V2
10
10
10
10
9.侧棱长与底面边长均为a的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a=
A.12
B.8
C.6
D.4
10.已知直线1与椭圆
3
+x2=1在第四象限交于A、B两点，1与x轴，y轴分别交于C、D两点，
若AC=BD，则1的倾斜角是
A若
B
c号
D.Sr
12
11折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意
“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇
的象征（如图1).图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE,AC所在圆
的半径分别是6和12，且∠ABC=120°，则该圆台的体积为
图1
图2
A.1122元
B.7W2π
C.28v2n
D.112V2z
3
12.在平面直角坐标系中，曲线y=x2-4x+1与坐标轴的交点都在圆C上，AB为圆C的直径，点P是
直线3x+4y+10=0上任意一点，则PA·PB的最小值为
A.4
B.12
C.16
D.18
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出一个对称中心为（1,0)的奇函数f(x)=_
14.已知数列{an}的前n项和为S,且am=2Sn+2,则a1+S,=
15直线y=众-k与抛物线C:户=4标交于、B两点，若4-5，则k=
16.已知函数f闭=nx+x+si血xx,为e0,+o,名≠，都有，)-f>则a的取值范围为
X2-
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(I2分)作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不
文科数学第2页（共4页）2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考
文科数学参考答案
1.【答案】 D
i ( i)(1 i) i 1
【解析】 由条件可得(1 + )z = 1 + ( ) + 1 = ，所以 z
1 i (1 i)(1 i) 2
1 i 1 i
,即 z .故选 D.
2 2 2 2
2.【答案】 A
【解析】由条件可得 = ≤ 1 ， = | ≥ 0 ，所以 ∪ = ， ∩ = [0,1]，故选 A.
3.【答案】 B
+
【解析】 由题可知函数 ( )的图象关于直线 = 1 对称，所以 1012 1013 = 1，所以
2 1012
+ 1013 = 2，
= 2024( 1+ 又 2024) = 2024( 1012+ 1013)2024 = 2024，故选 B.2 2
4.【答案】 D
≥ 1
【解析】 由约束条件 + 5 ≥ 11，画出可行域，
+ ≤ 7
= 2 ，化为斜截式方程得 = 2 ，
+ 5 = 11 = 6
联立 + = 7 得 = 1，即 6,1 .
由题意可知，当直线 = 2 过点 时，直线在 轴上的截距最小，此时 最大.
把点 6,1 代入目标函数可得最大值，即最大值 = 2 × 6 1 = 11.故选 D.
5.【答案】 C
【解析】 由题意可知将 3 人分成两组，其中一组只有 1 人，另一组有 2人.分别安排在周六、周日
值班共有 6 种情况:（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、
（丙，甲乙）. 2 1显然甲、乙被安排在同一天有 2 种情况，所以甲、乙被安排在同一天的概率为 = .
6 3
故选 C.
6.【答案】 B
【解析】 设 = λ + μ ，由 是 的中点,得 = 2 4，由 = 3 ,得 = .
3
所以 = 2λ + μ ，且 = λ + 4 μ
3
文科数学参考答案 第1页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
由 与 相交于点 可知，点 在线段 上，也在线段 上，由三点共线的条件可得
2 + μ = 1 = 1
5 = 1 34 ，解得 ，所以 + + μ = 1 3 ，故选 B.μ = 5 53 5
7.【答案】 A
由 aea
2
【解析】 b lnb 2 ea，得 且lnb
2
x
2
，所以方程 e 的实根为 a，方程 ln x
2
a b x x
x 2
的实根为b，在同一坐标系下画出 y e , y ln x, y 的图象，显然 a 1 b，故选 A.
x
8.【答案】 A
π tan tan
π
【解析】 由 tan( ) = 4π = 2，解得 tan = 3，所以 sin2 = 2sin cos =
2sin cos =
4 1+tan tan4 sin
2 +cos2
2tan = 3 cos2 = cos2 sin2 = cos
2 sin2 1 tan2 4 π 2
2 ， 2 2 = 2 = ，所以 sin(2 + ) = sin2 +tan +1 5 cos +sin 1+tan 5 4 2
2 cos2 = 7 2.故选 A.
2 10
9.【答案】 C
【解析】 由球的表面积公式 = 4π 2 = 84π，解得外接球半径 = 21.因为底面三角形是边长为
a 1 2 3的等边三角形，所以此三角形的外接圆半径为 × 3 × = ，由正三棱柱的外接球的特点可
2 3 3
2
2 = 1 + 3
2
得， ，解得 = 6.故选 C.
2 3
10.【答案】 C
【解析】 由| | = | |可得线段 的中点，也是线段 的中点，设 1, 1 , 2, 2 ，
= 1+ 20
线段 的中点坐标为 0, 0 ，则 2 0, 0 ， 0,2 ， 20
= 1+
.
2
0 2
12 + 12 = 1
3
2 2
又点 ， 在椭圆上，所以 ，两式相减可得 1 2 2 + 2 3 1
2 22 = 0，
+ 2 = 1
3 2
1+ 2 1 2 = 3 + 2 ，所以 1 2 1 2 = 3，所以 0 = 3，即 0 = 3. 1+ 2 1 2 1+ 2 1 2 2 0 0
又因为 、 、 、 2 0 四点共线，所以 0 0 = = = ，综上可得 =± 3，由 、 在第0 2 0 0
四象限得 > 0 即 = 3,
π
所以直线的倾斜角为 . 故选 C.
3
11.【答案】 D
2
【解析】 设圆台上下底面的半径分别为 r1，r2，由题意可知 6 2 r3 1
，解得 r1 2，
文科数学参考答案 第2页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
2
12 2 r1，解得 r2 4，作出圆台的轴截面，如图所示：3
图中OD r1 2,OA r2 4, AD 12 6 6，
过点 D向 AP作垂线，垂足为 T，则 AT r2 r1 2 ，
所以圆台的高 h AD2 AT 2 62 22 4 2 ，
则上底面面积 S1 2
2 4 ,S2 4
2 16 ，由圆台的体积计算公式可得：
V 1 (S S S S ) h 1 28 4 2 112 2
.
1 1 2 2 3 3 3
故选：D.
12.【答案】 B
【解析】 曲线 y x2 4x 1与坐标轴的交点分别为 (0,1), (2 3，0)，(2 3,0) ,设圆心C(2, t) ,
由 (0 2)2 (1 t)2 (2 3 2)2 (0 t)2 得 t 1 ,所以圆C方程为 (x 2)2 (y 1)2 4 ,其
2 2
圆心C(2,1)，半径为 2 .PA PB (PC CA) (PC CB) PC (CA CB) PC CA CB PC 4
3 2 4 1 10
圆心C(2,1)到直线 l : 3x 4y 10 0的距离设为 d ，则 d 4，所以 PC 最
32 42
小值为 4，则PA PB最小值为 42 4 12.故选 B.
13.【答案】 sinπ
【解析】 因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点 1,0 对称，所以此函数可类比于正弦函
数，因为正弦函数 = sin 是奇函数，且关于点 π, 0 对称，所以可联想到 = sinπ .
14.【答案】 4
【解析】 当 = 1 时， 1 = 2 1 + 2，解得 1 = 2.
当 ≥ 2 时， = 2 + 2， 1 = 2 1 + 2，两式相减得 = 1，
因为 1 = 2 ≠ 0
，所以 1 ≠ 0，所以 = 1，所以数列{ }是首项为 2，公比为 1 的等比 1
数列，所以 = ( 2) ( 1) 1 ，即数列{ }是 2，2， 2，2，……，故 7 = 2， 9 = 2，
所以 7 + 9 = 4.
15.【答案】 k 3
文科数学参考答案 第3页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
y2 4x
【解析】 由 ,联立得 k 2x2 (2k 2 4)x k 2 0，
y kx k
2
所以 k 0,且 16k 2 16 0, x1 x
(2k 4) 4
2 2k 2 k 2
显然直线 l：y kx k过抛物线C：y2 4x的焦点 (1,0) .
所以 AB x x 2 4 2 2 4 4 161 2 2 2 ，解得 .k k 3 k 3
16.【答案】 [2， )
【解析】 由 x1, x2 (0, ), x1 x2 ，不妨设 x1 x2 ,则 x2 x1 0，
f (x ) f (x )
所以 2 1 1,
x2 x1
可变形化简为 f (x1) x1 f (x2 ) x2 ,
构造函数 g(x) f (x) x，则 g(x1) g(x2 )，
所以 g(x)在 (0, )上是单调递增函数，
所以 g (x) f (x) 1 1 a cos x 1 0恒成立，
x
a (1即 cos x) 1在 x (0, )上恒成立，
x
1
当 x>0 时， 0,cos x [ 1,1],
x
x 1又 时， 0，而 cos x [ 1,1] 1，所以 cos x 1，
x x
1
所以 ( cos x) 1 2，
x
所以 a的取值范围为 [2， ) .
故答案为： [2， )
17.【解析】 (1)设购买 24元的个人用户数为 ，则购买 24 元的公司用户数为 +20，
设购买 6元的公司用户数为 ，则购买 6 元的个人用户数为 2 ， ……………………………2分
2 + 20 = 140
则有 + 2 = 60 ，解得 x 60， = 20， …………………………………………………4分
所以用户类别与购买意向 2 × 2列联表如下：
购买 6 元 购买 24元 总计
个人用户 40 60 100
文科数学参考答案 第4页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
公司用户 20 80 100
总计 60 140 200
………………………………………………………………………………………………………6分
(2)由（1）中 2 × 2列联表得
2 2
2 = ( ) = 200×(3200 1200) ≈ 9.524 > 7.879， …………………………………10分
( + )( + )( + )( + ) 100×100×140×60
所以有 99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系． ………………………………………12分
18.【解析】（1）由 a(sin 2 A sin 2 C) b(sin 2 B sin 2 C)，得 a(a2 c2 ) b(b2 c2 ) …1分
化简得 (a b)(a2 b2 ab c2 ) 0 ……………………………………………………………2分
因为 ABC三边均不相等，所以 a b，即 a2 b2 ab c2 0
a2 b2 c2 1
由余弦定理得 cosC …………………………………………………3分
2ab 2
在 ABC中，由0 C 180 ，得C 120 …………………………………………………4分
(2)在 ABC中，c2=a2+b2+ab=49，故 c=7 ………………………………………………………5分
c a
由 得sin A= 3sin120 3 3 ,易得cos A 1 (3 3) 2 13 ……………7分
sinC sin A 7 14 14 14
在 ACD中， ACD 60 ， ADC A ACD 180 ,所以
sin 3 13 1 3 3 4 3 ADC sin(60 A) ………………………………………10分
2 14 2 14 7
5 3 3
在 ACD CD b CD b sin A中，由 ,得 14 15 …………………12分
sin A sin ADC sin ADC 4 3 8
7
19.【解析】（1）证明：因为底面 ABCD为正方形，所以CB AB ,
又因为CB BP, AB BP B，AB,BP 平面ABP，
所以CB 平面ABP ……………………………………………………………………………2分
因为 PA 平面ABP ,所以CB PA , ……………………………………………………………3分
文科数学参考答案 第5页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
同理CD PA ，又因为CB CD C,CB,CD 平面ABCD，所以 PA 平面 ABCD .……4 分
（2）解：显然由（1）可得 PA AB，在直角 PAB 中，AE 2同理, AF 2 ………5 分
点 E,F分别为PB,PD的中点，所以在 PBD中， EF 1 BD 2 ………………………6分
2
S 1 2 2 3 3所以 AEF , ………………………………………………………7分2 2 2
PAB S 1 1在直角 中， APE 2 2 1………………………………………………………8分2 2
1
由(1)得CB 平面ABP ,所以 AD 平面ABP ,所以点 F 到平面 APE的距离为 AD 1…9分
2
设点 P到平面 AEF 的距离为 h ,由VP AEF VF AEP ……………………………………………11分
1 3 1
得 h 1 1 2 3，解得 h .所以点 P到平面 AEF 2 3的距离为 ………………12 分
3 2 3 3 3
20.【解析】(1)函数 f (x) ex的反函数为 g(x) ln x………………………………………………1 分
1
则 F (x) f (x) g (x) e x ln x ， F (x) ex ,所以F(1) e，F (1) e 1……………3 分
x
所以曲线 y F(x)在 x 1处的切线的方程为 y e (e 1)(x 1)，即 y (e 1)x 1………… 4分
x 1 1(2)证明：由（1 x）可知F (x) e ，显然F (x) e 为 (0, )上的增函数．…………5 分
x x
1 1
因为F ( ) e 2 0，F (1) e 1 0 1 ，所以存在唯一的 t ,1 ，使F (t) et 0 .2 2 t
从而有 et 1 , t ln 1 lnt．…………………………………………………………………………8 分
t
因为 x 0, t 时，F (x) 0，x (t, )时，F (x) 0，
所以F(x)在区间 0, t 上单调递减，在区间 (t, )上单调递增．………………………………10 分
t 1 1
所以F(x)min F(t) e lnt t 2 t 2……………………………………………11分t t
1
当且仅当 t 1时，等号成立，而 t 1，即F(x) 2．………………………………………12 分
2
21.【解析】(1)由题可知双曲线的渐近线方程为 =± ,
文科数学参考答案 第6页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
因为 b＞a＞1，所以 > 1，所以直线 = 的斜率大于 1.
由两条渐近线的夹角为 60°可得 = 3，因为 2 + 2 = 2，所以 = 2 ………………………2分
即双曲线方程为
2
2
2 2 = 1， 3
因为 MF 11F2 的面积为 4 3,所以 × 2c × 2 0 = 4 3，所以 × 0 = 2 3.
2
因为点 5, 0 在双曲线上，所以将点的坐标代入方程可得
5 0
2
= 1，
3 2
2 2
解得 2 = 4，或 2 = 1.因为条件 a＞1，所以 2 = 4,即双曲线的方程为 = 1．…………4分
4 12
(2)因为以 PQ为直径的圆过坐标原点，所以 OP⊥OQ，所以 ⊥ ，即： = 0……5 分
①当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 = ，设 ( , ), ( , )( > 0)，
由 = 0 可得 2 2 = 0，
2 2
又点 P、Q 在双曲线上，代入可得 = 1，解得 2 = 6， 2 = 6.
4 12
所以| | = 2 = 2 6…………………………………………………………………………………6分
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = + ，
= +
由 联立消去 整理得 2 2 2 ，
3 2 2 = 12 3 2 12 = 0
因为直线 与双曲线交于 ， 两点，所以 3 k2≠0，
即判别式 = (2 )2 4(3 2)( 2 12) = 12( 2 4 2 + 12) > 0．
设 1, 1 ， 2, 2 ，
+ 2 1 2 = 2
则 3
2
，………………………………………………………………………………… 分
= +12
8
1 2 3 2
由 = 0 得到： 1 2 + 1 2 = 0，所以 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) = 0，
即 1 + 2 + + + 21 2 1 2 = 0，
2
所以 1 + 2 +12 2 + 2 = 0，
2 3 2 3
化简得 2 = 6 2 + 6．………………………………………………………………………………10 分
所以| | = 1 + 2 + 2 4 = 24 + 384
2
1 2 1 2 ≥ 2 6。 2 3 2
文科数学参考答案 第7页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
当 = 0 时上式取等号，且方程（*）有解．
综上可得| |的最小值是 2 6．……………………………………………………………………12 分
22.【解析】(1)由 = 1可得 = + 1,代入 = 1 ( 2 + 1)
2
消去参数 t,可得 的直角坐标方程为： 2 = 2 ……………………………………………………2 分
化简 sin( ) = 3可得 ( 3 cos 1 sin ) = 3，所以 ( 3 cos sin ) = 3.
3 4 2 2 4 2
将 = , = 代入 的极坐标方程，可得 的直角坐标方程为： 3 3 = 0.…4 分
2
(2)曲线 : 2 = 2 是抛物线，其焦点 ( 1 , 0)，准线 = 1，
2 2
直线 ： = 3( 1 )，恰好过抛物线的焦点.………………………………………………… 6分
2
= 3( 1 )
由 2 消去 y并整理得 12 2 20 + 3 = 0，…………………………………………8 分
2 = 2
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
则 + = 5，线段 AB的中点 Q的横坐标 = 1+ 21 2 =
5，中点 Q的纵坐标
3 2 6 =
3，
3
过点 Q作 x轴的平行线交 C于一点 P，则点 P的纵坐标也等于 3，所以点 P的横坐标为1.…10 分
3 6
3 5, < 2
23.【解析】(1) ( ) = + 1 + 2 + 4 = + 3, 2 ≤ < 1，…………………………………2 分
3 + 5, ≥ 1
( )在( ∞, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = 2 = 1, 即当 = 2时，函数 ( )取得最小值 1…………………………… 4 分
(2)由(1)可得当 为正实数时， f (x) 3x 5,
则由 + + =27可得： + + = 4，………………………………………………6 分
1 4 9 a b c a b c 9(a b c)
所以
a b c 4a b 4c
9 9 9
= + + + + + + + +4 4 4 4 4 4
1 9 9 9
= + + + + 1 + + + +4 4 4 4 4 4
文科数学参考答案 第8页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
1 9 9 9 7 9 9
= + 1 + ) + ( + ) + ( + + + ≥ + 2 + 2 + 2
4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4
7
2 1 2 9 2 9 7 1 3 3 9,…………………………………………………8 分
2 4 16 4 2 2
b a c 9a c 9b
当且仅当 , ， 时，
4a b 4a 4c b 4c
又 + + = 4，即当 = 2 4 6， = ， = = 2 时，等号成立.
3 3 3
所以1 + 4 + 9的最小值为 9…………………………………………………………………………10 分
文科数学参考答案 第9页（共 9页）
{#{QQABKYKUogggQhBAAAgCUwXYCAIQkAACCAoGBAAEoAIBiQNABAA=}#}
