6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例
分层练习
题型一 测量距离问题
1．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（ ）
A．60米 B．130米 C．150米 D．300米
2．为运输方便，某工程队将从到修建一条湖底隧道，如图，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点与点A的距离，现取南岸一点，得，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为，且米，则（ ）
A．米 B．400米 C．米 D．米
题型二 测量高度问题
6．湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撒离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（ ）
A． B．
C．40m D．45m
8．如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（ ）
A． B． C． D．
9．金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺 文殊寺 大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图：记慈寿塔塔高OT，某测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得.，，在B点处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为（ ）
A．36m B． C．45m D．
10．“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ）
A． B．
C． D．
题型三 测量角度问题
11．已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向
12．一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（ ）
A．北偏东 B．北偏东或南偏东
C．南偏东 D．以上方位都不对
13．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（ ）
A． B． C． D．
14．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于
A． B． C．－1 D．－1
题型四 判断三角形的形状
16．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
17．在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ）
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
18．在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
19．在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若是等腰三角形，则
C．若，则是直角三角形 D．若，则
20．已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．
题型五 多边形中的解三角形
21．如图，平面四边形A B C D，己知，，，，则A B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在平面四边形中，，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
23．已知的内角的对边分别为，满足，
(1)求；
(2)是线段边上的点，若，求的面积.
24．如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
25．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
(1)求的长度；
(2)求的余弦值．
题型六 三角形中最值范围问题
26．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
27．在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
29．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且满足
(1)求 .
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围 .
30．在锐角三角形中，角，的对边分别是，，，若已知，且.
(1)求角的值；
(2)求三角形的面积的取值范围.
31．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且，则为等边三角形
C．若，则是等腰三角形
D．在中，，则使有两解的的范围是
32．落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米．
33．如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．
(1)设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数；
(2)求管道总长的最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由题设，在中，
由余弦定理，
所以米.
故选：B.
2．B
【分析】由题意，∠ABC＝45°，∠ACD＝60°，∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，AB＝，CD＝，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得．
【详解】连接AC，由题意，∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，∠BCD＝75°＋45°＝120°，
∠ACB＝60°，AB＝，CD＝，
在△ABC中，由正弦定理得，，
即，则，
在△ACD中，由余弦定理得，，
则．
故选：B．
3．D
【分析】在中求得的值，中利用正弦定理求得的值，中利用由余弦定理求得的值．
【详解】，，
是等边三角形，；
中，，，，
由正弦定理得，，
，，
中，由余弦定理得
，
，
即、两点间的距离为．
故选：D．
4．A
【分析】根据三角形的内角和关系结合正弦定理运算求解.
【详解】由题意可知：，
则，
由正弦定理可得.
故选：A.
5．D
【分析】将实际问题抽象出几何图形，在多个三角形中解三角形，从而得出实际问题的解.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为.
由题意可知，，
,
在中，,即，
;
在中，,且,
由正弦定理得，,即，即，
在中，,且，
由余弦定理得，解得，
故选：D.
6．D
【分析】根据角度结合三角函数解三角形即可.
【详解】因为，
所以
又可得米.
故选：D.
7．D
【分析】根据锐角三角函数的定义以及正弦定理，结合图象，可得答案.
【详解】由已知在中，，，，所以，
在中，，，
所以，又，
由正弦定理可得，所以，所以，
在中，，，，所以.
故选：D.
8．A
【分析】根据题意可得，在中利用正弦定理可求，进而在中求得结果.
【详解】在中，，
在中，，，
则，
由正弦定理，
可得，
在中，(m).
故选：A.
9．A
【分析】利用正弦定理，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
【详解】在中，因为.，
所以，
由正弦定理可知：，
在直角三角形中，
，
故选：A
10．D
【分析】过作，得到，在中，由正弦定理得到，进而求得的长.
【详解】过作，交于点，
因为在点处测得点的仰角为，可得为等腰直角三角形，所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又由，
所以，
则.
故选：D
11．C
【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案.
【详解】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.又，则，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.
故选：C
12．B
【分析】画出示意图，易知，，，则由正弦定理即可求出或，即或，由此即可选出答案.
【详解】如图所示，由题意可知（海里），海里，，
在中，由，得，
所以或，
故或，
即灯塔S在B处的北偏东或南偏东．
故选：B.
13．A
【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案．
【详解】
由题意，
由余弦定理得，，∴，
由正弦定理得，，即，解得．
故选：A．
14．B
【分析】先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理求出的正弦值，然后根据展开即可求解.
【详解】解：如图所示，
在中，，
由余弦定理得，解得，
又由正弦定理得，
由知为锐角，所以，
所以.
故选：B．
15．C
【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.
【详解】在ABC中，由正弦定理得，
∴AC＝100．
在ADC中，，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝.
故选：C
【点睛】结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.
16．B
【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.
【详解】因为，
所以，
又，所以，
因为，由正弦定理得，
则，
则，
所以为有一个角为的直角三角形.
故选：B.
17．C
【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状．
【详解】∵，所以，又，∴，
∵，∴，
，，∴，从而，为等边三角形，
故选：C．
18．D
【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．
【详解】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
则，即
或为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
19．BCD
【分析】根据余弦定理和正弦定理即可得出答案.
【详解】因为，由正弦定理得，
对于A选项，由余弦定理得，
，，故A错误.
对于B选项，若是等腰三角形，显然，
又当时，有成立，显然此时不能构成三角形，
则只能是，再根据，
由余弦定理得，，
在中，，故B正确.
对于C选项，若，则，
又，则，
又，则，
在中，，所以，即，故C正确.
对于D选项，由余弦定理得，
，，故D正确.
故选:BCD.
20．ACD
【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式判断C，根据正弦定理判断D.
【详解】选项A：因为，且是的内角，所以，
所以，
所以都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
选项B：由及正弦定理可得，即，
所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
选项C：由即正弦定理可得，即，
因为是的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
选项D：因为是的内角，所以根据正弦定理可得，故选项D正确；
故选：ACD
21．B
【分析】利用正余弦定理计算即可.
【详解】由题意可知在中，有，，
，所以，
由正弦定理可得，
而，
故，
又，
在中，，
由正弦定理可得，
在中，
由余弦定理可得.
故选：B
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的方程，解出的长，判断出为等腰三角形，即可求得的值；
（2）计算出的值，以及，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用正弦定理可求得的长.
【详解】（1）解：在中，，，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，则，
故为等腰三角形，故.
（2）解：由（1）知，，又因为，则，
因为，则为锐角，
且，
所以，
，
在中，由正弦定理，
可得.
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦函数的倍角公式与诱导公式将条件转化为关于的一元二次方程，解之即可求得；
（2）在、与中，利用余弦定理及诱导公式得到关于的方程组，从而求得，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，，，
所以，即，
又，所以，
又，所以，则，故，
又，所以.
（2）设，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，，
所以，，整理得①，
在中，由余弦定理得，则②，
由①－②得，故，
将代入①式得，
所以的面积.
.
24．(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）（i）利用三角形的面积公式求出的值，利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可求得的值；
（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长.
【详解】（1）解：
，
所以，，可得，
又因为，故.
（2）解：（i）因为，解得，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，；
（ii）因为，即，
因此，.
25．(1)
(2)
【分析】（1）先得到为等边三角形，结合中位线，由三角形相似得到；
（2）先由余弦定理求出，得到，由相似知识求出，在中，由余弦定理求出，从而得到答案.
【详解】（1）连接，则是的中位线，
故，且，
在中，，又，
故是等边三角形，
所以，
因为∽，所以，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，
解得，则，
因为，所以，
在中，由勾股定理得，
因为∽，所以，解得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以的余弦值为.
26．C
【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得.
【详解】中，由余弦定理得，
且的面积为，
由，得，化简得，
又，，所以，
化简得，解得，或（不合题意，舍去）
所以，
所以，
由，且，，
解得，
所以，所以，所以，
设，其中，
所以，
当且仅当时，即时取最小值，
令，
由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以．
故选：C.
27．D
【分析】由正弦定理可得、，根据及面积范围求得，再由及面积公式可得，即可得范围.
【详解】由，，则，而，故，
又，而，故，则，
由题意，则，
所以，故.
故选：D
28．C
【分析】利用正弦定理得到，，即可将转化为的三角函数，结合的取值范围及正切函数的性质计算可得.
【详解】因为，，由正弦定理，即，
所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
则，所以，
因为，所以或（舍去），
所以，所以，
所以，即
所以，即的周长的取值范围为.
故选：C
29．(1)
(2)
【分析】（1）先切化弦，再由正弦定理可得；
（2）根据锐角三角形，再由余弦定理可得边长间关系得出范围.
【详解】（1）由题可知两边同乘
由正弦定理得，
（2）为锐角三角形，所以cosA>0，cosB>0，cosC>0
由余弦定理得
把代入上面不等式，并两边同时除以可得
解得
由正弦定理得
的取值范围是
30．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，由此求得的值.
（2）利用余弦定理化简已知条件，结合正弦定理求得的取值范围，进而求得三角形的面积的取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
即
所以，因为，所以.
（2）因为所以，
所以由余弦定理的，所以，
所以，
又由正弦定理可得，
所以.
所以，
因为三角形是锐角三角形，所以，解得，
所以
所以，
所以
所以.
31．ABD
【分析】对A，根据正弦定理化简判断即可；对B，根据余弦定理结合三角恒等变换判断即可；对C，举反例判断即可；对D，根据有两解的边长关系判断即可.
【详解】对A，即，即，
因为，故原式成立，故A正确；
对B，则，即，
故，由可得.
又可得，
即，故，由可得.
故，则为等边三角形，故B正确；
对C，当时，满足，则或，
所以或，故不一定为等腰三角形，故C错误；
对D，要使有两解，则需，故，即，故D正确.
故选：ABD
32．
【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解.
【详解】设，
则.
由得，
由余弦定理得，
解得，即OP为米．
故答案为：.
33．(1)，，
(2)2百米
【分析】（1）在和中，根据余弦定理即可求得；
（2）结合（1），对函数平方处理，可得，即可求得最值.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
∴将管道总长（即线段EC+ED）表示为变量θ的函数为：
，，
（2）由（1）可得：
，因为，，所以，
（百米）
当且仅当，即时取等号，
因为，∴（百米）．
∴管道总长的最大值为2百米.
答案第1页，共2页
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