6.4.2 向量在物理中的应用举例
分层练习
题型一 力的合成
1．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）．
A．N B．5N C．10N D．N
2．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A． B． C． D．
3．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7 B． C． D．1
4．如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（ ）
A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变
5．如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，，三根细绳受力最大的是 ．
题型二 速度与位移的合成
6．长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，如图，设和所成角为，若游船从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则（ ）
A． B． C． D．
7．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
8．关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
9．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．
(1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度；
(2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）．
10．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：
(1)；
(2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.
题型三 功与动力的计算
11．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A．16 B． C．110 D．
12．一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
13．物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
14．已知两恒力作用于同一质点，使之由点移动到点．
（1）求力对质点所做的功；
（2）求力的合力对质点所做的功．
15．已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
16．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
17．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，若，与的夹角为，则以下四个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．
18．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】作图，根据已知，在直角三角形中，求解即可得出答案.
【详解】
如图，，，，，.
在中，有，
所以，的大小为5N.
故选：B.
2．B
【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重.
【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反
两只胳膊的拉力的合力大小为
则该学生的体重约为（kg）
故选：B
3．D
【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.
【详解】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，
即
即,
解得
故选：D.
4．AC
【分析】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为,得到 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为,
则 ，故 ，因为不断增大，所以不断减小，故 不断增大，因为 不断增大，所以船受到的浮力不断减小.
故选：AC.
5．
【分析】设，，三根细绳对所施力分别为，，，可知，在平行四边形中比较向量模的大小即可求解.
【详解】受力最大的是，
理由如下：
设，，三根细绳对所施力分别为，，，
则，
设与的合力为，则，
如图：在平行四边形中，因为，，
所以，，
即，，
所以绳受力最大.
故答案为：.
6．B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解即可．
【详解】由题意知，
则，
所以．
故选：B．
7．B
【分析】分析可知，船的实际速度与水流速度垂直，作出图形，求出的值，即可求得船所需的时间.
【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，
作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示：
由题意可知，，且，，
由勾股定理可得，
因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间，
则.
故选：B.
8．BD
【分析】根据船的静水速度、水流速度和实际速度的关系，结合两岸间的垂直距离可求得航行时间，进而判断出结果.
【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际速度为，两岸间的垂直距离为；
对于ABC，船垂直到达对岸时，，则所用时间；
当船速的方向与河岸垂直时，所用时间；
，当船速的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误；
对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，此时距离最短，D正确.
故选：BD.
9．(1)答案见解析
(2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为
【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可；
（2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向.
【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速，
以为邻边作平行四边形，
则表示该船实际航行的速度；
（2）由题意，
在中，，
则，，所以，
所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，结合已知利用余弦定理可求解；
（2）由（1）结合余弦定理可求出.
【详解】（1）∵河的宽度，，
∴，∴.
如图，设合速，，船在静水中的速度，则，
由题意可得，且，
又，∴在中，由余弦定理可得
（2）由（1）知，，，
由余弦定理可得.
∴.
11．A
【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案.
【详解】由题意得：，
，
则合力对该质点所做的功为.
故选：A.
12．D
【分析】利用平面向量数量积的定义即可求解.
【详解】由题意可知：，即，
解得：，
故选：D.
13．A
【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果.
【详解】因为，，所以，又，，所以，故.
故选：A.
14．（1）；（2）32.
【分析】（1）根据题意表示出，即可求得力对质点所做的功；
（2）用力表示出合力，即可求得合力对质点所做的功．
【详解】解：（1），
力对质点所做的功，
所以，力对质点所做的功为；
（2）．
所以力的合力对质点所做的功为32．
15．(1)120；-9
(2)111
【分析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【详解】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．
16．B
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【详解】解：如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；
对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，
则有，变形得，
，即，正确；
对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，
故选：B．
17．①②③
【分析】用平面向量加法运算表示出关系，然后表示出，根据条件即可判断.
【详解】对于①：由受力分析得，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，
故当时，取得最小值为，故①正确；
对于②:，当时，，
，故②正确；
对于③：，
，故③正确；.
对于④:，，，，
所以越大，越小，越省力.
又在单调递减，所以两臂夹角越小越省力，故④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点睛：根据受力平衡列出关系式，确定变量关于的表达式，进而分析变化情况.
18．(1)的左侧.
(2)，航行小时.
(3)
【分析】（1）只需确定在反方向上的分速度与的大小，即可判断游船航行到达的位置.
（2）要使游船能到达处则在反方向上的分速度与相等，列方程即可求，进而求垂直方向上的分速度，即可知航行时间.
（3）根据题设，求出水平方向上的位移大小，结合勾股定理即可求实际航程.
【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为，
∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
（2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为，
∴，故，又，此时，
∴垂直方向上的速度，
∴.
（3）由（1）知：垂直方向航行时间为，
∴水平方向航行距离为，
∴游船航行到达北岸的实际航程.
答案第1页，共2页
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