6.3.1 平面向量基本定理
分层练习
题型一 对平面向量基本定理的理解
1．下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若，是单位向量)，则
C．向量与共线存在不全为零的实数使
D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则
3．下列命题中是假命题的为（ ）
A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B．若，共线，则
C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底
D．若，，三点共线，则
4．如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得
D．若实数，使得，则且
题型二 向量基底的判断
5．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． 和 B．和
C． 和 D．和
7．已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
8．已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
9．向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（ ）
A． B．
C． D．
题型三 用基底表示向量
10．在中，，，若，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．如图为正六边形ABCDEF，其中点O为正六边形ABCDEF的中心，设，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，已知，，分别是三边，，上的点，且，，，令，试用分别表示.
14．如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．
(1)试用，表示、；
(2)试用，表示．
题型四 利用平面向量基本定理求参数
15．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
16．在平行四边形中，是对角线上靠近点的四等分点，点在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
17．在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
18．已知在中，，分别为边，上一点，且，，与交于，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
19．如图所示，内有一点满足，过点作一直线分别交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．
题型五 平面向量基本定理的应用
20．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
21．在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（ ）
A．-15 B．-12 C．-6 D．0
22．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则 ．
23．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边BC的中点
B．若，则点是边BC的三等分点
C．若，则点是边的重心
D．若，且，则的面积是面积的
24．下列说法中正确的有（ ）
A．点O在所在平面内，若，则点O为的重心
B．向量能作为平面内所有向量的一个基底
C．点O在所在平面内，若，则点O为的垂心
D．点O在所在平面内，且满足，则为等腰三角形
25．如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．如图，在中，点在线段上，且，是的中点，延长交于点，点为直线上一动点（不含点），且（）,若，且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】利用平面向量基底的概念进行判断.
【详解】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确；
由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确.
故选：B
2．CD
【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD.
【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误；
对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误；
对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确；
对于D，由向量共线定理可知，
其中，
若则，故D正确.
故选：CD.
3．AB
【分析】A中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断A的真假；B中，共线向量不一定相等，判断B的真假；C中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断C的真假；D中，由三点共线的性质可判断D的真假．
【详解】A中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底，所以A不正确；
B中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以B不正确；
C中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；
D中，由题得得，，即，
即，即，所以D正确；
故选：AB．
4．BCD
【分析】利用平面向量的基本定理可判断A、B、D；利用向量共线定理可判断C；从而得出答案.
【详解】根据平面向量基本定理可知正确，
根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，
那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误，
当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误，
若实数，使得，则和可以有1个等于零，错误．
故选：．
5．C
【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
6．B
【分析】只有不共线的向量才能作为基底，逐个判断选项中两个向量是否为共线向量即可.
【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以不共线；
所以和不共线，和不共线，和不共线；
所以选项A,C,D都可以作为基底；
B中，，
所以和共线，不能作为基底．
故选：B
7．B
【分析】判断两向量是否为非零的不共线向量，若是可作为基底，若不是则不可以作为一组基底.
【详解】A选项，设，则，无解，故和是不共线的向量，可作为一组基底，A错误；
B选项，∵，
∴和共线，不能作为一组基底，故B正确；
C选项，设，则，无解，故和不共线，故可作为一组基底，C错误；
D选项，设，则，无解，和不共线，可作为一组基底，D错误..
故选：B
8．C
【分析】判断选项中的两个向量是否平行，即可判断选项.
【详解】若两向量平行，则不可以作为基底，
由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底，
C中的向量，满足，向量，不能作为基底.
故选：C
9．CD
【分析】两个向量不共线，则可以作为基底.
【详解】对于A， ，则，不能作为基底；故A错误；
对于B，，则，不能作为基底，故B错误；
对于C，，则，，与不共线，可作为基底，故C正确；
对于D，，可作为基底，故D正确；
故选：CD.
10．A
【分析】根据平面向量的线性运算结合图形的性质计算即可.
【详解】
如图所示，可知，
所以.
故选：A
11．A
【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】在平行四边形中，和相交于点，
所以，又是的中点，
所以，所以，
所以.
故选：A
12．B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】由正六边形的性质可知，，
因为，，
所以，，
所以
．
故选：B
13．，，.
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算结合几何图形求解作答.
【详解】在中，，由，得，，
由，得，，
所以，
由，得，则，
.
14．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出，再利用向量减法法则求出作答.
（2）利用平行线的性质探求出，再利用向量减法法则求解作答.
【详解】（1）平行四边形的对角线AC和BD交于点M，
，
.
（2）点E在BC上，且，，则，
于是，即，，
所以.
15．A
【分析】确定，得到，根据计算得到答案.
【详解】，故，则，
又是上一点，所以，解得.
故选：A.
16．D
【分析】设，其中，根据平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可得，
因为是对角线上靠近点的四等分点，则，
设，其中，
则
，
所以，，可得，因此，.
故选：D.
17．C
【分析】直线CD和直线BE交于点F，根据向量加，减法的法则，共线定理求出，再利用三点共线，设，根据系数对应相等可得的值.
【详解】由已知，
则
同理可得，
因为直线CD和直线BE交于点F，
所以设
即
解得.
故选：C.
18．B
【分析】利用平面向量的基本定理可得，、分别为，的三等分点，将分别用两个线性运算表示，对应系数相等，即可求出答案．
【详解】
设，，
，
又，
，
得
代入得：
故选：B．
19．B
【分析】根据三角形重心向量表达式，结合共线向量的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，所以G为的重心，
所以，
所以且，所以，
故选：B
20．D
【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
21．B
【分析】根据向量的线性运算将用，表示，再由向量数量积运算可得结果.
【详解】
，，
，,
,
又,
，又，，，
.
故选：B.
22．##1.75
【分析】可连接，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．
【详解】如图，连接，
∵为的中点，为对角线的中点，
，，
∴四边形为平行四边形，
，，
，，
故答案为：
23．ACD
【分析】根据向量的平行四边形法则，可判定A正确；由，得到，可判定B错误；取的中点，化简得到，可判定C正确；由，且，得到，设，得到三点共线，且，进而可判定D正确.
【详解】对于A中，根据向量的平行四边形法则，若，
则点M是边BC的中点，所以A正确；
对于B中，由，则，即，
则为的中点，所以B错误；
对于C中，如图所示，由，可得，
取的中点，可得，则点为的重心，所以C正确；
对于D中，由，且，
所以且，
设，可得，且，所以三点共线，
因为，所以为的一个三等分点（靠近），如图所示，
所以，即则的面积是面积的，所以D正确.
故选：ACD.
24．AD
【分析】根据平面向量的加减法与数乘以及数量积的几何意义，结合图形的几何性质，结合平面向量基底的定义，可得答案.
【详解】对于A，由题意，取的中点为，并连接，作图如下：
由，则共线，同理可得为中线交点，故A正确；
对于B，由，则显然，即共线，故B错误；
对于C，由题意可作图如下：
设，，，，
由，则，
由，，则，，
若，则与不共线，即与不垂直，
同理可得：与不垂直，故C错误；
对于D，由题意, 取为的中点，作图如下：
则，即，
由为的中点，则为的中垂线，即，故D正确.
故选：AD.
25．ACD
【分析】利用向量的线性运算法则判断选项，根据点共线，由向量共线定理可知，再利用向量的线性运算法则求解即可判断选项.
【详解】对于选项，由已知条件可知，则正确；
对于选项，，则错误；
对于选项，连接，因为是线段的中点，
所以
，则正确；
对于选项，设，点三点共线，则存在，使得,
，
，
所以 ，消去得，解得，
所以，则正确；
故选：.
26．C
【分析】根据题意，得到，设，得到，根据三点共线，求得，得到，延长于点，使得，延长于点，使得，结合相似，得到，得出，进而求得的面积的最大值.
【详解】因为是的中点，可得，
设，所以，
又因为三点共线，可得，解得，所以，
因为点为直线上一动点，设，可得,
又因为，可得，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
如图所示，延长于点，使得，延长于点，使得，
即与均为等腰三角形，
则，且相似比为，所以，
所以，所以，可得，
所以，因为，所以，可得
所以为等腰三角形，且，
所以，因为，
所以，所以，
即的面积的最大值为.
故选：C.
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
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