第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的认识
一、选择题
1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，则AC的长为（ ）
A.10 B.12 C.13 D.24
2.长方形的相邻两边长分别是3和5，则它的对角线长是（ ）
A.6 B.7 C. D.8
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，则AB的长是（ ）
A.cm B.4cm
C.5cm D.6cm
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为（ ）
A. B.
C. D.无法确定
5.如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝16，则S1的值为（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
二、填空题
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝3，b＝4，则c＝ ；
（2）若a＝8，c＝17，则b＝ ；
（3）若a＝b＝1，则c＝ .
7.如图，阴影部分（阴影部分为正方形）的面积是 .
8.若直角三角形的三边长分别为6，8，x，则x的是 .
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 .
10.求图中直角三角形中未知边的长度：b＝ ；c＝ .
11.如图，书架上放了四本书，其中∠ACB＝90°，AC＝24cm，BC＝7cm，则AB的长为 .
12.如图，以直角三角形的三边为直径的半圆面积之间的等量关系是 .
13.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，它们的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝3，则AB＝ .
三、解答题
14.以a，b为直角边，以c为斜边作全等的直角三角形ACE和BDE，把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A，E，B三点在一条直线上.求证：a2＋b2＝c2.
15.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9.求CD和AB的长.
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为点D，CD＝8.求AC的长.
17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点M为AD上任一点.
（1）若∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，则AD的长为 ；
（2）求证：AC2－AB2＝MC2－MB2.
4
参考答案
一、选择题
1.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( D )
2.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c＝(a为勾，b为股，c为弦).若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.若Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且c2＝10，b2＝6，则a的值是( B )
A.2 B.2或4 C.4 D.4或16
4.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4.若S1＝48，S2＋S3＝135，则S4＝（ B ）
A.183 B.87
C.119 D.81
5.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设如图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ B ）
A.S1＝a2＋b2＋2ab
B.S1＝a2＋b2＋ab
C.S2＝c2
D.S2＝c2＋ab
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.若正方形ABIH的面积为25，正方形ACFG的面积为144，则正方形BDEC的边长是( B )
A. B.13 C.169 D.17
7.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，分别以AB，AC，BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ C ）
A.8 B.4
C.2 D.4
二、填空题
8.如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整.
∵S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ，
∴S1＋S2 S3，即 2＋ 2＝ 2.
【答案】4 9 13 = AC BC AB
9.用直角边是a，b，斜边是c的四个全等直角三角形(图1)拼成图2.观察图形并填空.
(1)由图2知大正方形的面积可表示
为(a＋b)2，还可以表示为 ；
(2)结合(1)，可列等式为 ，将等式化简、整理，得 .
图1 图2
【答案】 c2＋2ab (a＋b)2＝c2＋2ab a2＋b2＝c2
10.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则BC的长为 .
【答案】3
11.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB＝a，则图中阴影部分的面积之和为 .
【答案】2
12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.若c＋b＝25，c－b＝1，则a＝ .
【答案】5
13.四个全等的直角三角形按图所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM的较长直角边，
AM＝4EF，则正方形ABCD的面积为 .
【答案】17S
【解析】设AM＝a，BM＝b，则正方形ABCD的面积＝a2＋b2，由题意可知EF＝－(－b)＝b，因为AM＝4EF，所以a＝4b，因为正方形EFGH的面积为S，所以S＝b2，所以正方形ABCD的面积＝a2＋b2＝17b2＝17S.
三、解答题
14.如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6.
(1)求AB的长；
(2)求斜边上的高CD的长.
解：(1)由勾股定理，得AB＝＝10.
(2)由题意，得S△ABC＝·CD＝·BC，
∴CD＝.
15.如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝，求四边形ABCD的面积.
解：延长AD，交BC的延长线于点E.
∵∠DCB＝135°，∠ADC＝90°，
∴∠DCE＝45°，∠EDC＝90°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，∴DE＝CD＝，
∴在Rt△CDE中，CE＝＝2，
∴BE＝BC＋CE＝3.
∵∠B＝90°，∠E＝45°，
∴∠A＝∠E＝45°，∴AB＝BE＝3，
∴S四边形ABCD＝S△EAB－S△CDE＝.
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为点D，CD＝8.求AC的长.
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
在Rt△BCD中，BD＝＝6.
设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.
在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，
即x2＝(x－6)2＋82，
解得x＝，即AC的长为.
