第五章 一元函数的导数及其应用
§5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
1．已知某质点运动的方程是s＝2＋，当t由1变到2时，其路程的增量Δs等于( )
A. B．－ C．1 D．－1
2．已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为( )
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．6
4．某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比( )
A．公司亏损且亏损幅度变大
B．公司的盈利增加，增加的幅度变大
C．公司亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利增加，增加的幅度变小
5．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则( )
A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
8．若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
9．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
10．曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
11．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为( )
A.1>2>3 B.3>2>1
C.2>1>3 D.2>3>1
12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
13．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在4 s末的瞬时速度为( )
A. m/s B. m/s
C．8 m/s D. m/s
14．一条水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：s)的函数为y＝t2＋7t＋15(0≤t≤8)，则其在t＝________的水流瞬时速度为11 m3/s.
15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
16．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
5.1.1 变化率问题
1．B 2.B 3.B 4.D 5.C
6．ABD [该物体在1≤t≤3时的平均速度是
＝＝28，A正确；
物体在t＝4时的瞬时速度是
＝ (56＋7Δt)＝56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，
C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是
＝ (70＋7Δt)＝70，故D正确．]
7．3
8．1
解析 k＝
＝ (4Δx＋8x0)＝8x0＝8，
解得x0＝1.
9．解 ＝＝14(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3·Δt，
＝2＋6t，
当t＝4时， ＝2＋6×4＝26，
所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s.
10．解 设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为
k＝
＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0×＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点．
11．B [设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，则1＝＝kO′A，
2＝＝kAB，3＝＝kBC，由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即3>2>1.]
12．A [由题意可知
k＝ ＝1，
解得a＝1，又(0，b)在切线上，
∴b＝1.]
13．B [∵＝
＝Δt＋8－，
∴ ＝8－＝.]
14．2
解析 ＝
＝2t＋Δt＋7，
当 (2t＋Δt＋7)＝11时，解得t＝2.
15．2
解析 体积的增加量
ΔV＝m3－＝(m3－1)，
所以＝＝，
所以m2＋m＋1＝7，
所以m＝2或m＝－3(舍)．
16．解 (1)∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]上的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，
即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝＝
＝3Δt－18，
∴物体的初速度v0＝
＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)．
(3)∵＝
＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为
(3Δt－12)＝－12 (m/s)．
