5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时练（2份打包）（含答案）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
1．下列函数中存在极值的是(　　)
A．y＝ B．y＝x－ex
C．y＝2 D．y＝x3
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为(　　)
A．－e B．－1 C．1－e D．0
4．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)
A．－4 B．－2 C．4 D．2
5．若函数f(x)＝ex＋e－x－ax有大于零的极值点，则a的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(e，＋∞) D．(－∞，e)
6．(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是(　　)
A．－4 B．－3 C．6 D．8
7．函数f(x)＝的极小值为________．
8．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
9．设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
10．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)
12．若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
13．若函数f＝x3－x2＋3a2x－3a2－在x＝3处取得极大值，则常数a的值为(　　)
A．3 B．2
C．3或2 D．－3或－2
14．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_______________________．
15.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定(　　)
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．小于或等于0
16．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
1．B　2.D　3.B　4.D
5．A　[原命题等价于f′(x)＝ex－e－x－a有大于零的零点，
显然f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为x→＋∞时，f′(x)→＋∞，
所以f′(0)＝－a<0，所以a>0，
所以a的取值范围为(0，＋∞)．]
6．AD　[由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，
所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.]
7．－
解析　f′(x)＝
＝.
令f′(x)<0，得x<－2或x>1；
令f′(x)>0，得－2所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，
在(－2,1)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(－2)＝－.
8．－
解析　因为f′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得
所以a＝－.经检验，符合题意．
9．解　(1)f′(x)＝－＋(x>0)．
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，
即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，
x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．
10．解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴f(x)的极大值是f ＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)的极大值为f ＝＋a，
f(x)的极小值为f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
11．C　[因为f(x)在x＝－2处取得极小值，
所以当x＜－2时，
f(x)单调递减，
即f′(x)＜0；
当x＞－2时，f(x)单调递增，
即f′(x)＞0.
所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；
当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；
当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；
当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.
结合选项中的图象知选C.]
12．B　[由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
则f(x)在R上单调递增，不符合题意；
当a>0时，令f′(x)＝0，
解得x＝ln a，
∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln a为f(x)的极值点，
∴ln a<0，∴a∈(0,1)．]
13．A　[∵f＝x3－x2＋3a2x－3a2－，
∴f′＝2x2－5ax＋3a2，
由题意可得f′＝2×9－15a＋3a2＝0，整理得a2－5a＋6＝0，
解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，f′＝2x2－10x＋12
＝2，
令f′>0，得x<2或x>3；
令f′<0，得2此时，函数y＝f在x＝3处取得极小值，不符合题意；
当a＝3时，f′＝2x2－15x＋27＝.
令f′>0，得x>或x<3；
令f′<0，得3此时，函数y＝f在x＝3处取得极大值，符合题意．
综上所述，a＝3.]
14．[1,5)
解析　∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
15．B　[f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，
则x0和2是该方程的根．
∴x0＋2＝－<0，即>0.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，
∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，
∴f(1)＋f(－1)>0.]
16．解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，
解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠，得－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上单调递增，在(－2a，a－2)上单调递减，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)·ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增，在(a－2，－2a)上单调递减，
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.第2课时　函数的最大(小)值
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)(　　)
A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不确定
2．函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是(　　)
A．－ B．2
C.＋ D.＋1
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
4．当0A．f2B．fC．fD．f5．函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
6．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　)
A．f(x)>0的解集是{x|0B．f(－)是极小值，f()是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值无最小值
7．若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝________.
8．设09．求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈；
(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]．
10．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值．
11．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
12．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对任意x1，x2∈[－3,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)
A．20 B．18
C．3 D．0
13．已知函数f＝ln x－ax，其中x∈，若不等式f≤0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
14．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是__________________．
15．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
16．已知函数f＝ex－x2－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f在点处的切线方程；
(2)当x>0时，f≥1－x恒成立，求实数a的取值范围．
第2课时　函数的最大(小)值
1．A　2.A　3.C　4.D
5．A　[设h(x)＝f(x)－g(x)
＝x3－x2＋a－x2＋3x＝x3－2x2＋3x＋a，
则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，
所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；
当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．
当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值．
因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，
所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞)．]
6．ABD　[由f(x)>0得0故A正确．
f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，
故B正确．
当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
且f()>0，
结合函数的单调性可知，
函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确．]
7．16
解析　f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．
f(1)＝－2.
又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，
n＝－2，m＋n＝16.
8.
解析　y′＝
＝.
因为0所以当0；
当0所以当x＝时，ymin＝.
9．解　(1)f′(x)＝cos x－sin x.
令f′(x)＝0，即tan x＝1，
且x∈，
所以x＝.
又因为f ＝，
f ＝－1，f ＝1，
所以当x∈时，
函数的最大值为f ＝，
最小值为f ＝－1.
(2)f′(x)＝－x，
令－x＝0，
化简为x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，
f(x)单调递增；
当1f(x)单调递减，
所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值．
又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，
f(1)>f(2)．
所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0,2]上的最小值，
f(1)＝ln 2－为函数在[0,2]上的最大值．
10．解　(1)f′(x)＝－2bx(x>0)．
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即
解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，
定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得x>1，
所以f(x)在上单调递增，
在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
11．A　[令F(x)＝f(x)－g(x)，
∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．]
12．A　[由f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)·(x＋1)＝0得x＝1或x＝－1.又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在区间[－3,2]上，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故实数t的最小值是20.]
13．C　[当x∈时，不等式f≤0恒成立等价于a≥在上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝.
当00；
当x>e时，g′(x)<0；
所以g(x)max＝g(e)＝，
所以a≥.]
14．15x－3y－2＝0
解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，
f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．
即15x－3y－2＝0.
15．－
解析　f′(x)＝－2x－2，令f′(x)＝0，得x＝－1，∴函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a>－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上，a＝－.
16．解　(1)f′＝ex－2x＋1，f′(1)＝e－1，f＝e，切线方程为y－e＝，
即y＝x＋1.
(2)当x>0时，f≥1－x，
即a≤－x－＋1，
令g＝－x－＋1(x>0)，
则a≤gmin成立，
g′＝.
设F＝ex－x－1，F′＝ex－1，
x∈，F′＝ex－1>0，
所以Fmin>0，
所以当x∈时，g′(x)<0，
g(x)单调递减，
当x∈时，g′(x)>0，
g(x)单调递增，
故g(x)min＝g＝e－1，
所以a∈.