新人教B版选择性必修第三册高中数学综合检测试题（含解析）

检测试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若数列{an}满足a1a2a3…an＝n2（n≥2），则a3＝（　　）
A．9B．3C．D．
2.已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝（　　）
A．±64B．64C．32D．16
3.曲线f（x）＝f′（1）ex－x2＋2在点（0，f（0））处的切线的斜率为（　　）
A．B．C．D．
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－3，2a4＋3a7＝9，则S7＝（　　）
A．21B．1C．－42D．0
5.《九章算术》中有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走里数．答案为（　　）
A．140B．150C．160D．170
6.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能是（　　）
7.在1和10之间插入n个实数，使得这（n＋2）个数构成递增的等比数列，将这（n＋2）个数的乘积记作Tn，则lgT1＋lgT2＋…＋lgT11＝（　　）
A．B．11C．44D．52
8.已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）－f（x）>1，f（0）＝2019，则不等式f（x）>2020ex－1（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（－∞，0）∪（0，＋∞）B．（2020，＋∞）
C．（0，＋∞）D．（－∞，0）∪（2020，＋∞）
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是（　　）
A．d>0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
10.已知函数f（x）＝若f（x）的零点为α，极值点为β，则（　　）
A．α＝0
B．α＋β＝1
C．f（x）的极小值为－e－1
D．f（x）有最大值
11.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，则（　　）
A．若S4>S8，则S12>0
B．若S4＝S8，则S6是Sn中最大的项
C．若S4>S5，则S5>S6
D．若S4>S5，则S3>S4
12.已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）＝f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列四个函数中有“巧值点”的是（　　）
A．f（x）＝x2B．f（x）＝e－xC．f（x）＝lnxD．f（x）＝tanx
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝　　　　Ｗ．
14.曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为　　　　　　　Ｗ．
15.等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前6项的和S6＝　　　　　　.
16.已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为　　　　Ｗ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn.
18.（本小题满分12分）已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R）.
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（－1，1）上单调递增，求a的取值范围．
19.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx＋ax2－bx.
（1）若函数f（x）在x＝2处取得极值ln2－，求a，b的值；
（2）当a＝－时，函数g（x）＝f（x）＋bx＋b在区间[1，3]上的最小值为1，求g（x）在该区间上的最大值．
20.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N＋.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
21.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ex－a（x＋2）.
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
22.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xeax－ex.
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x>0时，f（x）<－1，求a的取值范围；
（3）设n∈N*，证明：＋＋…＋`>ln`（n＋1）.
检测试题
1．答案：C
解析：由已知可得a3＝＝＝.故选C.
2．答案：B
解析：由等比数列的性质可知a2a6＝a3a5＝a＝16，而a2，a4，a6同号，所以a4＝4，所以a3a4a5＝a＝64.故选B.
3．答案：B
解析：由f(x)＝f′(1)ex－x2＋2，可得f′(x)＝f′(1)ex－2x，令x＝1，得f′(1)＝f′(1)e－2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝ex－2x，f′(0)＝，故曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为.故选B.
4．答案：D
解析：方法一　设等差数列{an}的公差为d，则2a4＋3a7＝2(a1＋3d)＋3(a1＋6d)＝5a1＋24d＝9.将a1＝－3代入，可得d＝1，所以S7＝7a1＋d＝7×(－3)＋21×1＝0.故选D.
方法二　由等差数列的性质可得2a4＋3a7＝a1＋a7＋3a7＝9.因为a1＝－3，所以a7＝3，所以S7＝＝＝0.故选D.
5．答案：B
解析：由题意设此人从第二日起每日比前一日多走d里，第一日走a1里，则解得a1＝100，d＝10，所以第六日所走里数为a6＝100＋50＝150.故选B.
6．答案：A
解析：当x<－2时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
当－20，则f(x)单调递增；
x>0时，f′(x)<0，则f(x)单调递减．
则符合上述条件的只有选项A.故选A.
7．答案：C
解析：设这(n＋2)个数构成的等比数列为，则c1＝1，cn＋2＝10，所以qn＋1＝10.又Tn＝c1·c2·…·cn＋2＝1·q·q2·…·qn＋1＝q1＋2＋3＋…＋＝q，所以lgTn＝lgq＝lg10＝.故lgT1＋lgT2＋…＋lgT11＝＋＋＋…＋＝＝44.故选C.
8．答案：C
解析：令g(x)＝，因为f′(x)－f(x)>1，
f(0)＝2019，所以g′(x)＝>0，
故g(x)在R上单调递增，且g(0)＝2020，
由f(x)＋1>2020ex，可得>2020，
即g(x)>g(0)，所以x>0.故选C.
9．答案：BD
解析：根据题意，{an}是等差数列，若S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0，故B正确；
又由S50，则有d＝a7－a6<0，故A错误；
而C选项，若S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由以上分析得a7＝0，a8<0，显然C选项错误；
因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确．故选BD.
10．答案：BC
解析：当x<0时，f(x)＝xex<0，此时函数无零点．
当x≥0时，f(x)＝3x－9，函数的零点为2，所以α＝2.
当x<0时，f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，由f′(x)<0得x<－1，由f′(x)>0，得－1当x≥0时，f(x)＝3x－9为递增函数，此时f(x)无极值，也无最大值，所以β＝－1，所以α＋β＝2＋(－1)＝1.故选BC.
11．答案：BC
解析：等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋＝n2＋n，又a1>0，d≠0，可得d<0，所以Sn是关于n的开口向下的二次函数，若S4>S8，则Sn的对称轴n<＝6，所以根据对称性可知S12<0；若S4＝S8，则对称轴为n＝＝6，所以S6是最大项；若S4>S5，则a5<0，又d<0，所以可得a6＝a5＋d<0，故S5>S6；a4＝a5－d不能判断正负，所以S3与S4不能比较大小．故选BC.
12．答案：AC
解析：f(x)＝x2，f′(x)＝2x，x2＝2x，
解得x＝0或x＝2，有“巧值点”，故A正确；
f(x)＝e－x，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，
无“巧值点”，故B错误；
f(x)＝lnx，f′(x)＝，lnx＝，
令g(x)＝lnx－，则g(1)＝－1<0，
g(e)＝1－>0，由零点存在性定理可知g(x)在(1，e)上必有零点，故f(x)有“巧值点”，故C正确；
f(x)＝tanx，f′(x)＝，＝tanx，sinxcosx＝1，即sin2x＝2，无解，所以f(x)无“巧值点”，故D错误．故选AC.
13．答案：4
解析：方法一　由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，
所以S10＝10a1＋d＝100a1，
S5＝5a1＋d＝25a1，所以＝4.
方法二　设等差数列{an}的公差为d，由a1≠0，a2＝3a1，得d＝2a1，则＝＝＝＝4.
14．答案：y＝2x
解析：设切点坐标为(x0，lnx0＋x0＋1).
由题意得y′＝＋1，
则该切线的斜率k＝＋1＝2，
解得x0＝1，
所以切点坐标为(1，2)，
所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
15．答案：－24
解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a1＝1，
因为a2，a3，a6成等比数列，所以a＝a2·a6，
所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝－2，
所以等差数列{an}的前6项的和为S6＝6a1＋d＝6×1＋×(－2)＝－24.
16．答案：12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0
解析：①当P为切点时，
由y′＝f′(x)＝′＝x2，
得f′(2)＝4，
即过点P的切线方程的斜率为4.
则所求的切线方程是y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
②当P点不是切点时，设切点为Q，
则切线方程为y－x＝x(x－x0)，
因为切线过点P，
把点P的坐标代入以上切线方程，
解得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，
所以切点为Q，
故所求切线方程为3x－3y＋2＝0.
综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
17．解析：(1) 由an＋1＝an可得＝，
所以＝2×，＝2×，＝2×，…，＝2×(n≥2)，
以上各式左右两边分别相乘可得
···…·＝2n－1×(×××…×)，即＝2n－1·n，所以an＝n·2n－1(n≥2)，
公式对n＝1也适合，所以an＝n·2n－1.
(2)因为＝2n－1，所以数列为等比数列，
且公比为2，首项为1，通项＝2n－1.
由公式法可得数列的前n项和Sn＝＝2n－1.
18．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
f′(x)＝ex(2－x2).
令f′(x)>0，解得－令f′(x)<0，解得x<－或x>.
故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递增区间为(－，).
(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)ex的导函数为f′(x)＝ex[a－x2＋(a－2)x].
因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立，
即a－x2＋(a－2)x≥0在(－1，1)上恒成立，
即x2－(a－2)x－a≤0在(－1，1)上恒成立，
故只需1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，
解得a≥，故a的取值范围为.
19．解析：(1)依题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
对f(x)求导，得f′(x)＝＋2ax－b.
由已知，得
解得
所以f′(x)＝－＝＝(x>0)，
可知f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，满足f(x)在x＝2处取得极值，
所以a＝－，b＝0.
(2)当a＝－时，g(x)＝lnx－x2＋b.
对g(x)求导，
得g′(x)＝－＝＝.
当x∈(1，2)时，g′(x)>0，当x∈(2，3)时，g′(x)<0，所以g(x)在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，在区间[1，3]上，g(x)max＝g(2)＝ln2－＋b.又g(1)＝－＋b，g(3)＝ln3－＋b，g(3)－g(1)＝ln3－1>0，所以g(x)min＝g(1)＝－＋b＝1，解得b＝，所以g(2)＝ln2＋.于是函数g(x)在区间[1，3]上的最大值为ln2＋.
20．解析：(1)因为Sn＝，
所以当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝n，
a1＝1也适合上式，
所以an＝n，n∈N＋.
(2)因为bn＝＝＝－，
所以Tn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
21．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，
则f′(x)＝ex－1.
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增．
(2)f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝lna.
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，
在(lna，＋∞)上单调递增．
故当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝a－a(lna＋2)＝－a(1＋lna).
①若0②若a>，则f(lna)<0.
由于f(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，lna)上存在唯一零点．
由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0，
所以当x>4且x>2ln (2a)时，
f(x)＝e·e－a(x＋2)>eln (2a)·(＋2)－a(x＋2)＝2a>0.
故f(x)在(lna，＋∞)上存在唯一零点．从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．
综上，a的取值范围是(，＋∞).
22．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝xex－ex＝(x－1)ex，
f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex.
令f′(x)＝0，得x＝0，
∴当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)f′(x)＝eax＋aeaxx－ex＝(ax＋1)eax－ex，f′(0)＝0.
设g(x)＝(ax＋1)eax－ex，则g′(x)＝aeax＋aeax(ax＋1)－ex＝(a2x＋2a)eax－ex，g′(0)＝2a－1.
当2a－1>0，即a>时，存在δ>0，使得当x∈(0，δ)时，g′(x)>0，此时f′(x)在(0，δ)上单调递增．
∵f′(x)>f′(0)＝0，∴f(x)在(0，δ)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝－1，这与f(x)<－1矛盾，故舍去．
当2a－1≤0，即a≤时，f(x)≤xex－ex.
令h(x)＝xex－ex，
则h′(x)＝ex＋ex·x－ex＝ex(1＋x－ex)<0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
此时h(x)综上可知，a的取值范围为(－∞，].
(3)证明：由(2)知当a＝时，x>0时，xex－ex<－1，
∴x令ex＝t，t>1，则x＝2lnt，∴2lnt1.
取t＝(n∈N*)，
则2lnt＝ln (n＋1)－lnn<－＝，
∴＋＋…＋>ln2－ln1＋ln3－ln2＋…＋ln (n＋1)－lnn＝ln (n＋1)，故结论得证．