2.2从位移的合成到向量的加减同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s，位移为，则（ ）
A． | B．
C． D．s与不能比较大小
2．某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
3．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．下列等式中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图．向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（ ）
A．＋和－ B．＋和－
C．－和－ D．－和＋
二、多选题
9．下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且 B．若，，则
C．若，则存在实数，使得 D．
10．若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．与方向相反
11．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．和不能构成一组基底
12．在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为
三、填空题
13．已知为的边的中点，所在平面内有一点，满足，则的值为 .
14．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，，，，则 .
15．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .
16．在“向北走”，“向西走”，则 ，与的夹角的余弦值为 ．
四、解答题
17．化简下列各式：
(1)；
(2)
18．一辆汽车从A点出发向西行驶100千米到达B点，然后向北偏西方向走200千米到达C点，最后向东行驶100千米到达D点.
(1)作出位移，，；
(2)求.
19．如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
20．如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若图表中小正方形边长为1，求、．
21．如图所示，在中，与相交于点.
(1)用和分别表示和；
(2)若，求实数和的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】在三角形中，两边之和大于第三边，得．
【详解】物理量中的路程是数量，位移是向量，，故
故选：A
2．D
【分析】根据向量加法的运算性质，即可求解.
【详解】选项A，B表示的是向量（速度），选项C，D表示的是向量模的运算（速度的大小）.
表示的是某人骑自行车时顺风行驶的速度大小，表示的是某人骑自行车时逆风行驶的速度大小.
故选：D.
3．A
【分析】根据平面向量减法法则判断即可.
【详解】由，可得，
所以四边形一定是平行四边形.
故选：A
4．B
【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.
【详解】由题意以及题图可知，所以.
故选：B.
5．D
【分析】根据相反向量以及零向量的概念，可知①②③④正确，即可求解.
【详解】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确；
因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确；
因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确；
因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确.
所以①②③④正确，则正确的个数为4.
故选：D.
6．A
【分析】可设，，从而可得出．
【详解】如图,设，
∴．
故选：A．
7．C
【分析】结合图形，用、表示出、和即可.
【详解】因为是的中点，所以.
故选：C
8．B
【分析】向量的加法、减法法则计算即可.
【详解】由向量的加法、减法法则，得，
．
故选：B.
9．ABC
【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.
【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于B：当时，则不一定平行，故B错误；
对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.
故选：ABC.
10．BCD
【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】根据相反向量的定义可知，，两个向量模相等，即，且方向相反.
故选：BCD
11．BCD
【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解.
【详解】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误；
由，所以正确，故B正确；
由正八边形知，，且,
根据向量加法法则可知：
为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量，
所以，又，
与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确；
在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确.
故选：BCD
12．BCD
【分析】对选项A，B，用平面向量的加减法即可；对C，首先根据已知得到AD为的平分线，即，再利用平面向量投影的概念判断即可；对D，首先根据A，P，D三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，再利用二次函数的性质即可.
【详解】
如图所示：对选项A，，
故A错误；
对选项B，
，
故B正确；
对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.
因为，
所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，
如上图所示：在的投影为，
所以是在的投影向量，故选项C正确；
对选项D，
如上图所示： 因为在上，即三点共线，
设，.
又因为，所以.
因为，则，.
令，
当时，取得最大值为.故选项D正确；
故选：BCD
13．1
【分析】由题意以为邻边作平行四边形，如图，结合可知必为该平行四边形的对角线，则为的中点，即可求解.
【详解】由题意，以为邻边作平行四边形，如图，
由，知必为该平行四边形的对角线，
又为边的中点，∴为的中点，
∴.
故答案为：1
14．
【分析】根据几何图形，利用相等向量转化，结合向量的加减运算公式，即可求解.
【详解】由已知，则.
故答案为：
15．/1.25
【分析】首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案.
【详解】连接，如图所示：
.
所以.
故答案为：
16． 25 /
【分析】空1：根据向量减法分析运算；空2：根据向量加法结合向量夹角分析可得与的夹角即为，进而可得结果.
【详解】如图，在矩形中，设，则，
空1：；
空2：因为，则与的夹角即为，
所以.
故答案为：25；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；
（2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果.
【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
18．(1)作图见解析
(2)200千米
【分析】（1）在平面直角坐标系中，作出位移，即可得出；
（2）根据已知可得出四边形ABCD为平行四边形，结合图象，即可得出答案.
【详解】（1）作出，，，如图所示.
（2）由题意，知与方向相反，且长度相等，所以四边形ABCD为平行四边形，
所以千米.
19．(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】（1）由条件知，
即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．
所以．
作出向量如图所示．
20．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，
【分析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出；
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出；
（3）作出的向量利用勾股定理可求得，由共线向量的加法运算可得．
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：
（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：
（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案；
（2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案.
【详解】（1）由，可得.
（2）（2）设，将
代入，则有，
即，解得，
故，即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
