●●●6●●带●●
2024年HGT第一次模拟测试
●●●●修●●●●
10.已知圆O:x2+y2=4与自线1：x=my+V3交于A,B两点，设△OAB的面积为S()
数学
则卜列说法正瘫的是
●●命●静地●●●
A,S(州)有最人值2
B.S(m)无最小值
●单●●色●●●
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟
一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
C.若≠m,则S(m)≠S(m2】
D.若S()≠S(m2),则洲2
●●●●●●●●●
选项是符合题目要求的，
11.某环保局对辖区内甲、乙两个地区的坏境治避情祝进行检查督导，若连续10天，每天空
1.己知案合A={x∈Rx2-2x-4<0,B={x∈NE<104,则AnB=
气质量指数〔单位：μgm°)不超过100，则认为该地区环竞治理达标，否则认为该地区环
A.1
B.孔，2
C.1,2,3}
D.1,2.3,4}
境治理不达标已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为
2.已知复数z满足z-2i-i+4,则z=
40,乙地区平均数为70，方差为90.则下列推一定正确的是
A.3
B.10
C.4
D.10
A.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75
B.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65
学校
差数列，}的前n项和为S,芳飞74，=，
C.甲地区环境治理达标
D.乙地区环境治理达标
A.51
B.34
C.17
1D.1
12.已知直线(，是曲线f(x)=lnx上红一点(：，另)处的切线，直线42是曲线g(x)=上
点B(y,x)处的切线，则下列结论中正饰的是
密
4.已知p:lna->0,g:3x>0,+1≤a,则p是g的
A.当x+片=1时，（日
B.存在x,使得⊥，
A.充分不必要条件
B,必要不充分条件
C.若与1，交于点C时，H三角形ABC为等边三角形，则：=2+V5
C,充要条件
).慨不充分也不必要条件
D.若1与曲线g(x)相切，切点为C(x2:y2),则xy=1
5.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象眼部分上.·点，若AF=4,
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
班级
则抛物线C在点A处的切线方科为
13.已知向量a,6满足1=2，石=0,2V2),且6=-1，则向量2，英角的余弦值为
A.√3x-y-3=0
B.2x-y-1=0
c.x-y-1=0
D.√/2x-y-2=0
14.（x一2y)(1-x)的展开式中x4y的系数是
15.“南昌之星“摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之
封
6.已知a=l0g:5,b=log2,c=e2,则
已知摩大轮转一图的时问为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在烨天轮上，
A.c
姓名
7.三知函数f(g)=sin(c-马，x∈[-2，-1U儿，2】，下列结论中错误的是
16.用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义
呢？比利时数学家旦德林丹一个双球模型给出了证明，如图1，在一个圆锥中放入两个球
使得它们都与圆面相切，一个平面过圆锥母线上的点P且与例个球都相切，切点分别记为
A.f(x)是奇函数
B.f(x)=1
耳，瓦，这个平面钱圆锥面得到交线C,M是C上任意一点，过点M的丹线与两个球分别
C.f(x)作[-2.-1】上遍增
D.f(x)在[1,2]上递增
相切于点G,H,因此有招+MF,=G+M1=GH,而GH是图中两个圆排母线长的
8.
水木桶效应：也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水
取决于它最短的那块木板.划果一只桶的木板中有一块不齐
养，是一个定值，因此曲线C是一个椭圆.如图2，两个为顶圆锥中，各有一个球，这两个
或者茉块木板有被河，这只涌就无法盛海水，此时我们可以
球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆铠的母线与勒夹角的正切值为了，球的半径为
线
倾斜木桶，设法让梢装水更多.如图，棱长为2的正方体容
学号
器，在顶点C,和凌AA的中点M处各有一个小洞（小洞面积
4,平面位与圆锥的轴半行，且与这两个球相切于A,B两点，记平面化与同圆锥面相交所
忽咯不计)，为了保持平衡，以BD为轴转动下方体，则月此
得曲线为C,.则曲线C的离心滚为
奔器表水，最多能装水的你积V=
16
A.4
B.
20
C.6
3
二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
●●●●●●●●
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
●带●●●●●●
9.已知空间中两条不同的直线，”和两个不同的平而化，B,则下列说法正确的是
海●老◆●●海●
A,若州z,mca,则n!a
B.若afB,mc,则m/B
●●●●●●●希●
C.若m⊥B,ncB,则m⊥n
D.若上B,ncB,则n⊥x
●●●●形卷●●●
图2
一高三数学第1页（共4页）
一高三数学第2页（共4页）2024年HGT第一次模拟测试
数学 参考答案及评分意见
一、单项选择题：共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A A D B C
二、多项选择题：共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11 12
答案 BC ABD ACD ACD
三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 5
13． 14．160 15．[0,80 3] 16．
6 3
四、解答题：共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2e17．【解析】（1） f (x) 1 ln 2 ln x ln ， ……………… 2 分
x
2e令 f (x) 0，得0 1，即 x 2e， ……………… 4 分
x
所以 f (x) 的单调递减区间为 (2e, ) . ……………… 5 分
（2）当 x (0, 2e) 时, f (x) 0 , f (x) 单调递增；
当 x (2e, ) 时, f (x) 0 , f (x) 单调递减， ……………… 8 分
所以 f (x) f (2e) 2e，即 f (x) 的最大值为2e . ……………… 10 分
a
18．【解析】由题意知 n 1
b
n 2 ， ……………… 2 分
an bn
a
（1）因为b1 1，且{bn}是公比为2 的等比数列，所以
n 1 4，
an
因为a1 1，所以数列{an}首项为1，公比为4 的等比数列， ……………… 4 分
1 (1 4n ) 1
所以 Sn (4
n 1)； ……………… 6 分
1 4 3
（2）因为b1 1，且{bn}是公差为 2 的等差数列，所以bn 2n 1，
an 1 bn 2 2n 3所以 ， ……………… 8 分
an bn 2n 1
a 2n 1 a 2n 1 a 5
所以 n ， n 1 ，……， 2 ， ……………… 10 分
an 1 2n 3 an 2 2n 5 a1 1
a (2n 1)(2n 1) 1
所以 n ，因为a1 1，所以an (4n
2 1) .
a1 3 1 3
……………… 12 分
— 高三 数学 第1页（共5页）—
1
19．【解析】（1）由已知， AB AC cos BAC 10 5，
2
2
AD AC cos DAC 10 5 2 ， ……………… 2 分
2
因为 BAD BAC DAC 60 45 ，
1 2 3 2 2 6
所以cos BAD cos 60o cos 45o sin 60o sin 45o ，
2 2 2 2 4
……………… 4 分
ABD BD2所以在 中， AB2 AD2 2AB AD cos BAD
2 6
25 50 2 5 5 2
4
50 25 3 . ……………… 6 分
6 2
（2）【解法 1】因为sin BAD sin(60 45 ) ， …………… 8 分
4
又因为 S ABD S ABE S ADE，
1 1 1
所以 AB AD sin BAD AB AE sin BAE AE AD sin EAD，
2 2 2
……………… 10 分
1 6 2 1 3 1 2
即 5 5 2 5 AE AE 5 2 ，
2 4 2 2 2 2
解得 AE 5 3 5 . ……………… 12 分
1
AE S AB AD sin BAD 3
【解法 2】因为 ABD 2 ， ………… 9 分
EC S 1 BCD BC CD sin BCD 3
2
又因为 AC 10，所以 AE EC 10，则 AE 3AE 10，
所以 AE 5 3 5 . ……………… 12 分
20. 【解析】（1）记投资期间经济形势好为事件B1，投资期间经济形势不好为事件B2 ，
投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件 A，
则P(B1) 0.4,P(B2 ) 0.6 ， ……………… 2 分
因此P(A) P(B1A B2A) 0.4 0.8 0.6 0.3 0.5； ……………… 5 分
— 高三 数学 第2页（共5页）—
（2）若采取方案一，则该公司获得的利润值 X 万元的分布列是
X 50 20
P 0.4 0.6
EX 50 0.4 20 0.6 8 万元； ……………… 7 分
若采取方案二：设该公司获得的利润值为Y 万元，有以下情况，
投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y 49.5，
其发生的概率为：P(B1A) 0.4 0.8 0.32，
投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y 1.5 ，
其发生的概率为：P(B1A) 0.4 0.2 0.08，
投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，Y 20.5 ，
其发生的概率为：P(B2A) 0.6 0.3 0.18，
投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好，Y 1.5 ，
其发生的概率为：P(B2 A) 0.6 0.7 0.42 ， ……………… 9 分
因此，随机变量Y 的分布列为：
Y 20.5 1.5 49.5
P 0.18 0.5 0.32
因此，EY 20.5 0.18 1.5 0.5 49.5 0.32 3.69 0.75 15.84 11.4 万元，
因为EX EY ，所以甲公司应该选择方案二. ……………… 12 分
CN CM
21. 【解析】（1）设BD CE N ，则 2， ……………… 2 分
NE MP
MN ∥PE，且MN 平面MBD， PE∥平面MBD . ……………… 5 分
（2） PH 平面 ABCD，且BC 平面 ABCD，
PH BC，又 BC CE，
BC 平面PEC ，且EM 平面PEC ，
BC EM ，又 PB EM ，
EM 平面PBC ，且PC 平面PBC ，
EM PC .由已知， PEC为等边三角形，
故M 为PC中点， ……………… 7 分
M 在底面 ABCD上的投影为CH 的中点.
3 3CE AD,PH CE ，
2 2
N
以C为原点，分别以CB,CE为 x, y轴，
以过C点且与平面 ABCD垂直的直线为 z轴建立空间直角坐标系，
3 3
所以C(0,0,0),B(2,0,0),E(0, 3,0),M (0, , )，
4 4
— 高三 数学 第3页（共5页）—
3 3 3
EB (2, 3,0),ME (0, , ) ，
4 4
设 n (x, y, z) 是平面EBM 的一个法向量，则
n EB 0 2x 3y 0
3 3 3 ，
n ME 0 y z 0
4 4
令 y 2 ，则 x 3 ， z 2 3 ，即n ( 3, 2, 2 3) ， ……………… 9 分
BC 平面PEC ，
CB (2,0,0)是平面PEC 的一个法向量， ……………… 10 分
n C
cos n,CB B 2 3 57 ，
| n | |CB | 2 19 19
因为二面角B EM C是一个锐角，
57
所以二面角B EM C的余弦值为 . ……………… 12 分
19
c 3
22. 【解析】（1）依题意可知e ， ……………… 1 分
a 2
3 2
由于 k1 1，则直线MN 的方程为 x y 1 0，因为点 A1到直线MN 的距离为 . 2
| a 1| 3 2
所以 ，解得a 2， ……………… 3 分
2 2
c 3 b a2所以 ，则 c2 1，
x2
所以椭圆E的标准方程 y2 1. ……………… 4 分
4
1
（2）设M (x1, y1),N (x2 , y2 ),P( x1, y1)，直线 AB的方程为 x my 1 .此时 k1 . m
x my 1 2 2
联立直线与椭圆方程 消去 x得 (m 4)y 2my 3 0 ，
x
2 4y2 4
2m 3
则有 y1 y2 , y1y2 ……………… 6 分 m2 4 m2 4
y y
不妨设Q(x0 , y0 ) ，因为 A2 ,N ,Q三点共线，则 kA N kA Q，所以则有
0 2 ，
2 2 x0 2 x2 2
y y
因为 A1,P,Q三点共线，则 k k 则有
0 1A1P A1Q ， ……………… 8 分 x0 2 x1 2
— 高三 数学 第4页（共5页）—
x0 2 x2 2 my2 1 1 x0 2 x 2 my 1 1所以 m ， 1 1 m
y0 y2 y2 y2 y0 y1 y1 y1
2m
2x0 1 1 2m ( ) 2m m
2 4 4m ， ……………… 10 分
y y 30 1 y2 3
m2 4
y
所以 0
3 3
，所以 k2 ， ……………… 11 分 x0 2m 2m
3 k 3
所以 k2 k1 ，所以
2 . ……………… 12 分
2 k1 2
— 高三 数学 第5页（共5页）—
