5．1.1 数列的概念
必备知识基础练
1．设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2＝( )
A．B．＋
C．＋＋D．＋＋＋
2．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
3．(多选题)下列说法正确的是( )
A．数列1，2，3，5，7可表示为{1，2，3，5，7}
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是不同的数列
C．1，1，1，…可以构成一个数列
D．0，2，2，4，4，6，8，…构成数列
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，则257是这个数列的( )
A．第6项B．第7项
C．第8项D．第9项
5．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，则{f(n)}是( )
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．不能确定
6．已知an＝(n∈N＋)，则在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是( )
A．a1，a100B．a100，a44
C．a45，a44D．a44，a45
关键能力综合练
7．已知n∈N＋，给出四个表达式：
①an＝②an＝；
③an＝；④an＝.
其中能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )
A．①②③B．①②④
C．②③④D．①③④
8．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1B．an＝3n
C．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3
9．(多选题)若数列{an}的通项公式an＝n－1，则下列说法正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．数列{nan}是递增数列
C．数列是递减数列
D．数列{a}是递减数列
10．在数列{an}中，已知an＝n2＋λn(n∈N＋)，则“a1
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．(多选题)已知数列{an}的通项公式为an＝n，则当an取最大值时n＝( )
A．2B．3
C．4D．5
12．已知an＝，若数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________；若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________．
核心素养升级练
13.如图(1)是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N＋B．an＝，n∈N＋
C．an＝，n∈N＋D．an＝n2，n∈N＋
14．已知数列{an}满足an＝，则{an}的最小项的值是( )
A．2B．8
C．D．
5．1.1 数列的概念
必备知识基础练
1．答案：C
解析：因为an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，所以a2＝＋＋.故选C.
2．答案：A
解析：数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1).故选A.
3．答案：BCD
解析：因为{1，2，3，5，7}是一个集合，所以A错误；因为数列的项是有顺序的，所以B正确；C正确；根据数列的定义，0，2，2，4，4，6，8，…构成数列，所以D正确．故选BCD.
4．答案：C
解析：令2n＋1＝257，则2n＝256＝28，解得n＝8.故选C.
5．答案：A
解析：因为函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，所以f(n＋1)－f(n)＝3，即{f(n)}是递增数列．故选A.
6．答案：C
解析：an＝1＋(n∈N＋)，an＋1－an＝，当且仅当n＝44时，an＋1－an<0.当n≤44时，数列{an}递增，且an>1，当n≥45时，数列{an}递增，且an<1，所以在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45，a44.故选C.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：逐一写出表达式的前几项，检验知①②③都是所给数列的通项公式．故选A.
8．答案：A
解析：因为a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，所以an＝3n－1.故选A.
9．答案：AB
解析：A选项，an＝n－1为关于n的一次函数，则数列{an}是递增数列，故A正确；B选项，nan＝n2－n为关于n的二次函数，对称轴n＝<1，数列{nan}是递增数列，故B正确；C选项，＝1－为关于n的反比例函数，易知数列是递增数列，故C错误；D选项，a＝(n－1)2为关于n的二次函数，对称轴为n＝1，该数列是递增数列，故D错误．故选AB.
10．答案：C
解析：an＝n2＋λn(n∈N＋)，若a1
解析：数列{an}的通项公式为an＝n，显然an>0，
令即得2≤n≤3.
此时数列{an}中的最大项为a2＝a3＝2×＝.故选AB.
12．答案： (0，1]
解析：因为数列{an}是递增数列，所以a>0.
则an－an－1>0(n≥2)，
即an－an－1＝－＝>0，即a>1＋恒成立，故a>；
若数列{an}是递减数列，则an－an－1<0(n≥2)，
即an－an－1＝－＝<0，即a<1＋恒成立，由1<1＋，故0
13．答案：C
解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.故选C.
14．答案：C
解析：an＝＝＝n＋1＋，令t＝n＋1，t∈N＋，t≥2，函数f(t)＝t＋(t≥2)在t＝处有最小值，因为t为正整数，且f(4)＝4＋＝
1．已知数列{an}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝( )
A．8B．12
C．15D．24
2．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则2a6＝( )
A．30B．40
C．60D．80
3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0B．37
C．100D．－37
4．{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9＝( )
A．24B．27
C．30D．33
5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________．
6．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则B＝________．
关键能力综合练
7.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( )
A．120B．105
C．90D．75
8．在等差数列{an}中，a2000＝log27，a2022＝log2，则a2011＝( )
A．0B．7
C．1D．49
9．(多选题)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )
A．{an＋3}B．{a}
C．{an－1＋an}D．{2an＋n}
10.已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________．
11．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
12.某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
核心素养升级练
13.若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．
14．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列，求an和an－1(n≥2，n∈N＋)的关系式；
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列．
15．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2).
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
第2课时 等差数列的性质及简单运用
必备知识基础练
1．答案：B
解析：a2＋a8＝2a5＝8，故a5＝4，a1＋a5＋a9＝3a5＝12.故选B.
2．答案：C
解析：因为{an}为等差数列，又a2＋2a6＋a10＝120，且a2＋a10＝2a6，所以4a6＝120，所以2a6＝60.故选C.
3．答案：C
解析：设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.所以c37＝100.故选C.
4．答案：D
解析：因为{an}是等差数列，设公差为d，则a2＋a5＋a8－(a1＋a4＋a7)＝3d，a3＋a6＋a9－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×24－15＝33.故选D.
5．答案：1
解析：因为{an}是等差数列，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
6．答案：60°
解析：因为内角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：因为a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因为a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，因为d>0，所以d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.故选B.
8．答案：A
解析：∵数列{an}是等差数列，∴由等差数列的性质可知2a2011＝a2000＋a2022＝log27＋log2＝log21＝0，故a2011＝0.故选A.
9．答案：ACD
解析：设等差数列{an}的公差为d，当n≥2时，an－an－1＝d.
对于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，为常数，因此{an＋3}是等差数列，故A正确；
对于B，a－a＝d(an＋1＋an)＝d[2a1＋(2n－1)d]，不为常数，因此{a}不是等差数列，故B错误；
对于C，(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝2d，为常数，因此{an＋1＋an}是等差数列，故C正确；
对于D，2an＋1＋(n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，为常数，因此{2an＋n}是等差数列，故D正确．故选ACD.
10．答案：15
解析：因为a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，所以a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝×6＝15.
11．解析：(1)因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4.
因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以16＝4＋6d，所以d＝2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列，所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
12．解析：设第1年获利为a1万元，第n年获利为an万元，由题意知an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
核心素养升级练
13．答案：
解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1，且1－4m>0，1－4n>0.
设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝，所以x2＝，数列的公差d＝＝，所以数列的中间两项分别为＋＝，＋＝.
所以m＝x1·x2＝，
n＝x3·x4＝×＝.
所以m＋n＝＋＝.
14．解析：(1)由等方差数列的定义可知，
a－a＝p(n≥2，n∈N＋).
(2)证明：因为{an}是等差数列，设公差为d，
则an－an－1＝an＋1－an＝d.
又{an}是等方差数列，
所以a－a＝a－a，
(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，
即d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，
所以d＝0，即{an}是常数列．
15．解析：(1)由题设，a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)证明：因为an＝2an－1＋2n(n≥2)，
所以＝＋1(n≥2)，即－＝1(n≥2)，
所以数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)得：＝＋(n－1)×1＝n－，
所以an＝(n－)·2n.第1课时 等差数列的前n项和
必备知识基础练
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，且S4＝10，则{an}的公差为( )
A．B．1
C．D．2
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝( )
A．30B．36
C．42D．48
3．若an＝2n－11，则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n＝( )
A．3B．4
C．5D．6
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2022>0，S2023<0，则当n＝________时，Sn最大．
6．等差数列{an}中，a1＝9，S3＝18.
(1)求前n项和Sn；
(2)求前n项和Sn的最大值．
关键能力综合练
7．(多选题)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．－
8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为( )
A．(－∞，－) B．(－1，＋∞)
C．[－1，－] D．(－1，－)
9．(多选题)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
10．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n＝________．
11．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，则当n＝________时，Sn取得最大值________．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－30n.
(1)求出{an}的通项公式；
(2)求数列前n项和最小时n的取值．
核心素养升级练
13.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是( )
14.已知等差数列{an}满足a11＋a12＋a13>0，a10＋a15<0，记Sn表示数列{an}的前n项和，则当SnSn＋1<0时，n＝________．
第1课时 等差数列的前n项和
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为S4＝＝2(a2＋a3)＝10，a2＝2，则a3＝3，因此，等差数列{an}的公差为d＝a3－a2＝1.故选B.
2．答案：C
解析：设{an}首项为a1，公差为d.因S3＝6，S4＝12，则 .则S7＝7a1＋21d＝42.故选C.
3．答案：C
解析：由an≤0得n≤.由于n∈N＋，所以当n≤5时，an<0，当n≥6时，an>0，所以n＝5时Sn取到最小值．故选C.
4．答案：2
解析：方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.
方法二 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.
5．答案：1011
解析：因为{an}为等差数列，所以S2022＝×2022＝1011(a1011＋a1012)>0，即a1011＋a1012>0；
同理由S2023<0可得a1012<0，所以a1011>0，所以当n＝1011时，Sn最大．
6．解析：(1)∵{an}为等差数列，则S3＝3a2＝18，即a2＝6，
∴d＝a2－a1＝－3，
故数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d＝－n2＋n.
(2)∵Sn＝－n2＋n的开口向下，对称轴n＝＝3.5，且n∈N*，
∴当n＝3或n＝4时，Sn取到最大值S3＝S4＝18.
关键能力综合练
7．答案：BCD
解析：依题意，有S12＝12a1＋·d>0，S13＝13a1＋·d<0，化为2a1＋11d>0 ①，a1＋6d<0 ②，即a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0.由a3＝12，得a1＝12－2d，代入①②联立解得－
解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得即解得－1
解析：由S5
10．答案：6或7
解析：由|a5|＝|a9|，且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0，所以2a1＋12d＝0，所以a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．
11．答案：12或13 130
解析：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.
方法一 由an＝20＋(n－1)×＝－n＋(n∈N＋).
得a13＝0.即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0.
所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
方法二 由解析知Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－(n－)2＋.
因为n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
12．解析：(1)因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32；
显然n＝1时，也满足an＝4n－32，
所以an＝4n－32.
(2)因为＝＝2n－30，
所以数列为等差数列，其前n项和
Tn＝＝n(n－29)＝n2－29n＝(n－)2－
又n∈N*，所以当n＝14或n＝15时，Tn取得最小值．
核心素养升级练
13．答案：ABC
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．故选ABC.
14．答案：23
解析：a11＋a12＋a13＝3a12>0，故a12>0，a10＋a15＝a12＋a13<0，故a13<0，故d<0，S23＝(a1＋a23)×23＝23a12>0，S24＝(a1＋a24)×24＝12(a12＋a13)<0.SnSn＋1<0，故n＝23.第2课时 等差数列前n项和的综合应用
必备知识基础练
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝( )
A．24 B．100 C．200 D．400
2．已知某等差数列共有21项，其奇数项之和为352，偶数项之和为320，则a11＝( )
A．0B．－32C．64D．32
3．古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺．今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，每过期一天便加纳一天利息，债务过期一天要纳利息一尺绢，过期两天则第二天便再纳利息二尺，这样每天利息比前一天增加一尺．若过期100天，欠债方共纳利息为( )
A．100尺B．4950尺
C．5000尺D．5050尺
4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5∶a3＝1∶2，则S9∶S5＝________．
6．在数列{an}中，a1＝32，an＋1＝an－4，则S9＝________，当n>10时，数列{|an|}前n项和Tn＝____________．
关键能力综合练
7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
A．B．C．D．
8．(多选题)已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的k的取值可以是( )
A．4B．3C．2D．1
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( )
A．B．
C．D．
10.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋＝________．
11．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝________．
12．在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
核心素养升级练
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，a1<2，6Sn＝(an＋1)(an＋2).
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1.
14．7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．
(1)问：7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问：该款服装在社会上流行几天？
第2课时 等差数列前n项和的综合应用
必备知识基础练
1．答案：C
解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.故选C.
2．答案：D
解析：a11＝S奇－S偶＝352－320＝32.故选D.
3．答案：D
解析：设债务过期一天要纳利息为a1尺绢，过期二天第二天纳利息a2尺绢，…，可知每天要纳绢的尺数构成等差数列，公差为d＝1，又a1＝1，所以过期100天，欠债方共纳利息为S100＝100×1＋＝5050(尺).故选D.
4．答案：11 7
解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，
所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，
即a4＝44－33＝11为所求中间项．
5．答案：9∶10
解析：由等差数列的求和公式可得＝＝＝.
6．答案：144 2n2－34n＋288
解析：因为an＋1－an＝－4(常数)，
所以数列{an}为等差数列，公差d＝－4，
又a1＝32，所以an＝－4n＋36(n∈N＋)，Sn＝－2n2＋34n，
所以S9＝144.
令an＝－4n＋36≥0，得n≤9，
即当n≤9时，an≥0，当n＝10时，an＝0，当n>10时，an<0，
所以当n>10时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10|＋…＋|an|＝(a1＋…＋a9)－(a10＋a11＋…＋an)＝S9－(Sn－S9)＝2S9－Sn＝2n2－34n＋288.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：设S3＝a，S6＝3a，则S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是一个首项为a，公差为a的等差数列，各项分别为a，2a，3a，4a.＝＝.故选A.
8．答案：ACD
解析：由等差中项以及等差数列求和公式可得＝＝＝＝＝5＋∈Z，又因为k∈N*，∴k∈{1，2，4}．故选ACD.
9．答案：A
解析：因为a5＝5，S5＝15，
所以＝15，所以a1＝1.
所以d＝＝1，所以an＝n(n∈N＋).
所以＝＝－.
则数列的前100项的和为T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.故选A.
10．答案：
解析：因为{an}，{bn}为等差数列，
所以＋＝＋＝＝.
因为＝＝＝＝，
所以＋＝.
11．答案：10
解析：因为＝，所以＝.所以n＝10.
12．解析：(1)设公差为d，∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，
则由(1)可得，Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)，
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝9n－n2，
∴Tn＝
核心素养升级练
13．证明：(1)因为6Sn＝(an＋1)(an＋2)，
所以当n≥2时，6Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)，
两式相减，得到6an＝(a＋3an＋2)－(a＋3an－1＋2)，
整理得(an－an－1)(an＋an－1)＝3(an＋an－1)，
又因为an>0，所以an－an－1＝3，
所以数列{an}是公差为3的等差数列．
(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2，
因为a1<2，所以a1＝1，
由(1)可知an－an－1＝3，即公差d＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，
所以bn＝＝＝－，
所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.
14．解析：(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N＋，1≤n≤31)，最多售出ak件．
由题意知解得
所以7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
因为an＝
所以Sn＝
因为S13＝273>200，所以当1≤n≤13时，
由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，
由an<20，得23≤n≤31，
所以该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).第1课时 等比数列的定义与通项公式
必备知识基础练
1．(多选题)以下数列是等比数列的是( )
A．数列1，3，9，27，…
B．数列{an}中，已知＝2，＝2
C．常数列a，a，a，…，a，…
D．数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋
2．在等比数列{an}中，a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1B．1
C．1或－1D．
3．已知数列{an}满足an＋1＝an，若a4＋a5＝3，则a2＋a3＝( )
A．B．1
C．6D．12
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( )
A．(－2)n－1B．－(－2)n－1
C．(－2)nD．－(－2)n
5．(多选题)下列说法正确的是( )
A．若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是同一个常数，则这个数列是等比数列
B．满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列
C．如果{an}为等比数列，则数列{3an}也是等比数列
D.等比数列中不存在数值为0的项
6．某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是( )
A.10万人B．12万人
C．14万人D．16万人
关键能力综合练
7.下面关于等比数列{an}和公比q叙述正确的是( )
A．q>1 {an}为递增数列
B．{an}为递增数列 q>1
C．0
8．(多选题)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则( )
A．数列{2an＋an＋1}是等比数列
B．数列{an＋1－an}是等比数列
C．数列{anan＋1}是等比数列
D．数列{log2|an|}是递减数列
9．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则q＝________，logq＝________.
11．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则a1＝____________，通项公式是an＝__________.
12．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式.
核心素养升级练
13.已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N＋，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2020＝( )
A．92020B．272020
C．92021D．272021
14.已知数列{an}满足an＋1＝an＋(n＝1，2，3，…).
(1)当an≠时，求证是等比数列；
(2)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
第1课时 等比数列的定义与通项公式
必备知识基础练
1．答案：AD
解析：在B中，不一定满足＝2；在C中，若a＝0，则不是等比数列；在A，D中，满足为非零常数，所以A，D是等比数列．故选AD.
2．答案：B
解析：设公比为q, 则由a2＝4，a4＝2得a4＝a2q2＝4q2＝2 q2＝，故a6＝a4q2＝2q2＝1.故选B.
3．答案：D
解析：由an＋1＝an可知数列{an}是公比为q＝的等比数列，所以a4＋a5＝3＝a2·q2＋a3·q2＝(a2＋a3)·q2＝(a2＋a3)，解得a2＋a3＝12.故选D.
4．答案：A
解析：设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，得q＝－2，又a5＞a2，所以16a1＞－2a1，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.故选A.
5．答案：ACD
解析：由等比数列的定义知，A正确；满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为不为0的常数)的数列{an}为等比数列，所以B错误；若{an}为等比数列，则an＝a1qn－1，所以3an＝3a1qn－1，所以数列{3an}也是等比数列，所以C正确；等比数列中不存在数值为0的项，所以D正确．故选ACD.
6．答案：D
解析：设第三年脱贫人口为x万，根据题意，第二年脱贫人口为2x万，第一年脱贫人口为4x万，三年完成脱贫任务则x＋2x＋4x＝28，解得x＝4，所以第一年脱贫人口应为16万．故选D.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：A项：若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，显然是递减数列，不正确．B项：等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2…，是递增数列，q＝＜1，该选项不正确．C项：若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，不正确．由A，B可知D正确．故选D.
8．答案：BC
解析：因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，故A错；an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝3·2n－1，故{an＋1－an}是等比数列，故B正确；anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝(－2)2n－1，故C正确；log2|an|＝log22n－1＝n－1，是递增数列，故D错．故选BC.
9．答案：B
解析：由已知可得，a1＞0，则a2n－1＝a1q2n－2＞0.当q＜0时，a2n－1＋a2n＝a2n－1(1＋q)，显然1＋q符号不确定，所以不能推出a2n－1＋a2n＜0成立；由a2n－1＋a2n＝a2n－1(1＋q)＜0可得，1＋q＜0，所以q＜－1，显然有q＜0.所以，“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要不充分条件．故选B.
10．答案： －
解析：由已知得
所以解得q＝，
所以logq＝log＝log2－12＝－.
11．答案：3 3·(－1)n－1(n∈N＋)
解析：令n＝1得a1＝2a1－3，所以a1＝3，由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，所以an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2).故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，故an＝3·(－1)n－1(n∈N＋).
12．解析：选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5.
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋5d＝6a1d.
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，
bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋7d＝8a1d，
联立
解得或(舍去)，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
核心素养升级练
13．答案：B
解析：由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＝3n(n∈N＋)，bn＝3n(n∈N＋).又cn＝ban＝33n(n∈N＋)，所以c2020＝33×2020＝272020.故选B.
14．解析：(1)证明：因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝(an－).
故当an≠时，数列是以为公比的等比数列．
(2)当a1＝时，a1－＝.
故数列是首项为a1－＝，公比为的等比数列．
所以an＝＋()n(n∈N＋)，
即数列{an}的通项公式为an＝＋()n(n∈N＋).第2课时 等比数列的性质
必备知识基础练
1．在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7＝( )
A．－4B．±4
C．－2D．±2
2．(多选题)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( )
A．6B．－6
C．－12D．12
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________．
4．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
5．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________．
6．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝________．
关键能力综合练
7.(多选题)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列是等比数列的有( )
A．{a}
B．{pan}(p为非零常数)
C．{an·an＋1}
D．a1，a3，…，a2k－1，…(k∈N＋)
8．在等比数列{an}中，a4和a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8＝( )
A．3B．5
C．－1D．±1
9．(多选题)已知等比数列{an}，则下列式子对任意正整数k都成立的是( )
A．ak·ak＋1>0
B．ak·ak＋2>0
C．ak·ak＋1·ak＋2>0
D．ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3>0
10．已知等比数列{an}中的各项均为正数，a5a6＝e2，则lna1＋lna2＋…＋lna10＝________．
11．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的这三个数的乘积为________.
12．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
核心素养升级练
13.已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2).
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
14．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，a2020a2021>1，(a2020－1)(a2021－1)<0，则下列选项错误的是( )
A．0
C．T2020是数列{Tn}中的最大项
D．T4041>1
第2课时 等比数列的性质
必备知识基础练
1．答案：A
解析：因为a4是a1与a7的等比中项，所以a＝a1a7，即64＝－16a7，故a7＝－4.故选A.
2．答案：AB
解析：因为a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.故选AB.
3．答案：－3 9
解析：因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
4．答案： －1
解析：因为a2，a3，a7成等比数列，所以＝，所以a＝a2a7，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.①
又因为2a1＋a2＝1，所以3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.
5．答案：π2
解析：因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，所以a4(a2＋2a4＋a6)＝a4a2＋2a＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝π2.
6．答案：或
解析：因为{an}是等比数列，所以a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，所以或
因为＝q10，所以q10＝或q10＝.而＝q10，所以＝或.
关键能力综合练
7．答案：ABCD
解析：设{an}的公比为q，因为＝＝q3，所以{a}是等比数列，所以A正确；因为＝＝q，所以{pan}是等比数列，所以B正确；因为＝＝q2，所以{an·an＋1}是等比数列，所以C正确；D中是等比数列的奇数项，所以D正确．故选ABCD.
8．答案：C
解析：设等比数列的公比为q(q≠0)，因为a4和a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，所以a4·a12＝1，a4＋a12＝－3，所以a4＜0，a12＜0，由等比数列的性质得，a＝a4·a12＝1，所以a8＝a4q4＜0，则a8＝－1.故选C.
9．答案：BD
解析：对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝(akq)2＞0，B一定成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝(ak＋1)3＞0不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝(ak＋1·ak＋2)2＞0一定成立．故选BD.
10．答案：10
解析：由题意，等比数列{an}中的各项均为正数，满足a5a6＝e2，由等比数列的性质可得a1a10＝a2a9＝…＝a5a6＝e2所以lna1＋lna2＋…＋lna10＝lna1a2a3…a10＝ln (e2)5＝10lne＝10.
11．答案：216
解析：方法一 设这个等比数列为{an}，公比为q，则a1＝，a5＝＝a1q4＝q4，所以q4＝，q2＝.所以a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝×＝216.
方法二 设这个等比数列为{an}，则a1＝，a5＝，由题意知a1，a3，a5也成等比数列，且a3＞0，所以a＝×＝36，所以a3＝6，所以a2·a3·a4＝a·a3＝a＝216.
12．解析：(1)证明：因为bn＝log2an，所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q＞0)为常数，所以数列{bn}为等差数列，且公差d＝log2q.
(2)因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，所以b1＝log2a1＞0.
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得因此Sn＝4n＋·(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，所以q＝，b1＝log2a1＝4，即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N＋).
核心素养升级练
13．解析：(1)证明：因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).
又a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，
所以an＋2an－1≠0(n≥2)，
所以＝3(n≥2)，
所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n).
又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，
所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
所以an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝(－1)n－1·2n＋3n(n∈N＋).
14．答案：D
解析：等比数列{an}的公比为q，若a2020a2021＞1，则(a1q2019)(a1q2020)＝(a1)2(q4039)＞1，由a1＞1，可得q＞0，则数列{an}各项均为正值，若(a2020－1)(a2021－1)＜0，当q≥1时，由a1＞1则an＞1恒成立，显然不适合，故0＜q＜1，且a2020＞1，0＜a2021＜1，故A正确；因为0＜a2021＜1，所以S2020＋1＞S2020＋a2021＝S2021，故B正确；根据a1＞a2＞…＞a2020＞1＞a2021＞…＞0，可知T2020是数列{Tn}中的最大项，故C正确；由等比数列的性质可得a1a4041＝a2a4040＝…＝a2020a2022＝a，0＜a2021＜1，所以T4041＝a1a2…a4041＝a＜1，故D错误．故选D.第1课时 等比数列的前n项和
必备知识基础练
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则＝( )
A．B．2
C．D．17
2．数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn＝( )
A.B．
C．D．
3．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项和是( )
A．B．Sqn－1
C．Sq1－nD．
4．某市为鼓励全民健身，从2021年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若当年12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2000台，则a的最小值为( )
A．243B．172
C．122D．74
5．已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14B．12
C．6D．3
6．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( )
A．40 B．60 C．32 D．50
关键能力综合练
7.已知数列{an}中，an＝2×3n－1，则数列{a}的前n项和为( )
A．－1B．
C．D．－1
8．已知数列{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则下列说法错误的是( )
A．为等比数列
B．{an}也可能为等差数列
C．若q>1，则{an}为递增数列
D．若Sn＝3n－1＋r，则r＝－
9．下列结论正确的是( )
A．若{an}为等比数列，Sn是{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列
B．若{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等差数列
C．若{an}为等差数列，且m，n，p，q均是正整数，则“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充要条件
D．满足an＋1＝qan的数列{an}为等比数列
10．(多选题)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法正确的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了四十二里路
11.(1)若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________；
(2)等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a10＝20，S8＝72.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
核心素养升级练
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn>0，求数列{bn}的前n项和Tn.
14．在等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)已知Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
第1课时 等比数列的前n项和
必备知识基础练
1．答案：C
解析：＝q3＝，所以q＝.所以＝＝1＋＝1＋q4＝.故选C.
2．答案：C
解析：当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.当x≠1时，数列为等比数列，q＝x，Sn＝＝.故选C.
3．答案：C
解析：已知数列也是等比数列，首项为1，公比为，则数列的前n项和为＝＝·＝＝S·q1－n.故选C.
4．答案：D
解析：设B型健身器材这6个月的投放量构成数列{bn}，则{bn}是b1＝64，q＝的等比数列，其前6项和S6＝＝1330，所以5a＋300＋1330≥2000，解得a≥74.故选D.
5．答案：D
解析：方法一 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得
即
解得
所以a6＝a1q5＝3.故选D.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.
由题意可得
即
解得所以a6＝a1q5＝3.故选D.
6．答案：B
解析：数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.故选B.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：因为＝()2＝()2＝9，且a＝4，所以{a}是首项为4，公比为9的等比数列，所以{a}的前n项和为：＝.故选B.
8．答案：C
解析：对于A，因为数列{an}是等比数列，公比为q，所以＝q，设bn＝，则＝＝＝是常数，所以A正确；对于B，若an＝1，即为等比数列也是等差数列，所以B正确；对于C，若an＝－2n，q＝＝＝2>1，an＋1－an＝2n－2n＋1＝－2n<0，则数列{an}为递减数列，所以C错误；对于D，因为Sn＝3n－1＋r，所以a1＝r＋1，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，由数列{an}是等比数列，得a＝a1a3，即4＝6(r＋1)，解得r＝－，所以D正确．故选C.
9．答案：B
解析：若{an}为等比数列，设公比为q，q≠0，Sn是{an}的前n项和，设an＝(－1)n，当n＝2时，S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不是等比数列，所以A选项错误；若{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，设公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝(a1＋a2＋…＋an)＋n2d＝Sn＋n2d，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＋n2d＝(S2n－Sn)＋n2d，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等差数列，所以B选项正确；{an}为等差数列，考虑an＝1，a1＋a2＝a3＋a4，1＋2≠3＋4，所以C选项错误；考虑常数列{an}，an＝0，q＝0，满足an＋1＝qan，数列{an}不是等比数列，所以D选项错误．故选B.
10．答案：ABD
解析：记每天走的路程里数为an(n＝1，2，3，…，6)，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得＝378，解得a1＝192，所以a2＝192×＝96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)，a3＝192×＝48，>，前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，则后3天走的路程为378－336＝42(里).故选ABD.
11．答案：(1)80 (2)2
解析：(1)令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和的性质知＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
(2)设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝，所以1＋q＝3，
所以q＝2.
12．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由于a10＝20，S8＝72，则
解得a1＝2，d＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，则bn＝2an＝22n＝4n，
所以Tn＝4＋42＋…＋4n＝＝.
核心素养升级练
13．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋3，
当n＝1时，a1＝S1＝2×1－12＝1也适合上式，
所以{an}的通项公式an＝－2n＋3(n∈N＋).
又an＝log5bn，所以log5bn＝－2n＋3，
于是bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1，
所以＝＝5－2＝.
因此{bn}是公比为的等比数列，
且b1＝5－2＋3＝5，
于是{bn}的前n项和Tn＝
＝.
14．解析：(1)证明：因为an＝×()n－1＝(n∈N＋)，
Sn＝＝，
所以Sn＝(n∈N＋).
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－(n∈N＋).
所以{bn}的通项公式为bn＝－(n∈N＋).第2课时 数列求和
必备知识基础练
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn＝( )
A．n2＋1－
B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－
D．n2－n＋1－
2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列{}的前n项和Sn＝( )
A．B．
C．D．
3．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对1＋2＋3＋…＋100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成；因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数f(x)＝，则f()＋f()＋f()＋…＋f()＝( )
A．1008B．1009
C．2018D．2019
4．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为________.
5.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
6.在正项等比数列{an}中，a1＝1，且2a3，a5，3a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
关键能力综合练
7.数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋＝( )
A．B．
C．D．
8．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝，若数列的前n项和为5，则n＝( )
A．119B．121
C．120D．122
9．已知Tn为数列{}的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为( )
A．1026B．1025
C．1024D．1023
10．已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，则数列{an}的前20项的和为( )
A．230B．115
C．110D．100
11.已知各项均为正数的数列{an}，若该数列对于任意n∈N*，都有an＋1＝.
(1)证明数列{}为等差数列；
(2)设a1＝2，求数列{anan＋1}的前n项和Sn.
12．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝3an＋3n(n∈N*).
(1)求证：数列{}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
核心素养升级练
13.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*).
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)设bn＝log2(an＋1)，求数列{}的前n项和Tn.
14．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N＋).
第2课时 数列求和
必备知识基础练
1．答案：A
解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)＝n2＋1－.故选A.
2．答案：B
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，得a5＝2，d＝1，所以an＝n－3.则an＋3＝n，an＋4＝n＋1，所以＝＝－.所以Sn＝1－＝.故选B.
3．答案：B
解析：因为f(x)＝，
且f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝1，
令S＝f()＋f()＋f()＋…＋f()，
又
S＝f()＋f()＋f()＋…＋f()，
两式相加得：2S＝1×2018，
解得S＝1009，故选B.
4．答案：100
解析：当n＝2k－1，k∈N＋时，a2k＋a2k－1＝2，所以{an}的前100项和为(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100.
5．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由b2＝3，b3＝9，可得q＝＝3，
所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1(n∈N＋)，
又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以d＝＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N＋).
(2)由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，
则数列{cn}的前n项和为[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)＝＋＝n2＋.
6．解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
(1)因为
所以
所以2q2－3q－2＝0，
所以q＝2或q＝－(舍去)，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N＋).
(2)因为bn＝＝(n∈N＋)，
所以Sn＝＋＋＋…＋， ①
Sn＝＋＋…＋＋， ②
①－②得Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－＝2－，
所以Sn＝4－.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：由an＋1＝a1＋an＋n an＋1－an＝n＋1，
当n≥2，n∈N*时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，显然a1＝1也适合，
所以an＝，于是有＝＝2(－)，
因此＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2×＝.故选C.
8．答案：C
解析：依题意有a－a＝4，即数列{a}是以4为首项，4为公差的等差数列，故a＝4n，an＝2，则＝·＝(－)，前n项和Sn＝(－1＋－＋…＋－)＝(－1)，
所以(－1)＝5，解得n＝120.故选C.
9．答案：C
解析：因为＝1＋()n，
所以Tn＝n＋1－，
所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，
又m>T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.故选C.
10．答案：B
解析：an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)， ①
an＝f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(0)， ②
两式相加，又因为f(x)＋f(1－x)＝1，
故2an＝n＋1，所以an＝，
所以{an}的前20项的和为Sn＝a1＋a2＋…＋a20＝＋＋…＋，
Sn＝20×1＋×＝115.
故选B.
11．解析：(1)证明：数列{an}的各项都为正数，且an＋1＝，
两边取倒数得＝＋1，即－＝1，
故数列{}是公差为1的等差数列．
(2)当a1＝2时，＝1，
因为数列{}是公差为1的等差数列，所以＝1＋n－1＝n，所以an＝，
所以anan＋1＝＝4(－)，
所以Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＋anan＋1
＝4[(1－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝4(1－)＝4－＝.
12．解析：(1)证明：∵an＋1＝3an＋3n，所以－＝－＝，
即－＝，又＝，则数列{}是等差数列，且该数列首项为＝，公差为，
所以＝＋(n－1)×＝，解得an＝n·3n－1.
(2)Sn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n×3n－1， ①
∴3Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n， ②
①－②得－2Sn＝1×30＋1×31＋1×32＋…＋1×3n－1－n×3n＝－n×3n＝，
所以Sn＝.
核心素养升级练
13．解析：(1)依题意：an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以＝2，
故数列{an＋1}是以首项a1＋1＝2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)可知an＋1＝2·2n－1，an＝2n－1，
bn＝log2(an＋1)＝n，
故＝＝－，
故Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
14．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0).依题意，得解得故an＝3＋3(n－1)＝3n，
bn＝3×3n－1＝3n，
所以{an}的通项公式为an＝3n，
{bn}的通项公式为bn＝3n.
(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)
＝[n·3＋×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n·3n)＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n·3n).
记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n·3n， ①
则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n·3n＋1， ②
②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n·3n＋1
＝－＋n·3n＋1＝，
所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N＋).5．4 数列的应用
必备知识基础练
1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山脚气温为26℃，山顶气温为14.1℃，那么此山相对山脚的高度为( )
A．1600mB．1700m
C．1800mD．1900m
2．某年年初存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则第5年年末的本利和共有( )
A．8×1.0253万元B．8×1.0254万元
C．8×1.0255万元D．8×1.0256万元
3．某工厂去年12月份的月产量为a，若该厂产量月平均增长率为p，则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为( )
A．(1＋p)12B．(1＋p)12－1
C．(1＋p)11D．12p
4.
如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为________.
5．某乡镇引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元．每年企业销售收入500万元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额).
(1)从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；
②纯利润最大时，以160万元出售该企业．
问：哪种方案最合算？
6．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量．(精确到0.1万吨，参考数据：1.055≈1.2763)
关键能力综合练
7.某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2021年退耕a万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么到2028年一共退耕( )
A．10a(1.18－1)(万公顷)
B．a(1.18－1)(万公顷)
C．10a(1.17－1)(万公顷)
D．a(1.17－1)(万公顷)
8．已知斐波那契数列的前七项为1，1，2，3，5，8，13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层数相同的玫瑰花3朵．花瓣总数为99，假设这种玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花的层数是( )
A．5B．6
C．7D．8
9.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第________层.
10.
如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形．设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________.
11．2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{an}表示前n年的纯收入．
(注：纯收入＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)试求年平均利润最大时的年份(年份取正整数)，并求出最大值；
(2)若前n年的收入达到最大值时，小刘计划用前n年总收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修(年份取整数)？并求小刘计划装修的费用．
12．小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款项全部付清．商场提出的付款方式：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，……，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算(即本月的利息计入次月的本金生息)，求小华每期付款金额是多少．(精确到0.1，参考数据：1.00812≈1.10)
核心素养升级练
13.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，若这堆货物总价是[100－200()n]万元，则n＝________.
14．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠(其余为绿洲)，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
(1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；
(2)判断{an－}是否是等比数列，并说明理由；
(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg2＝0.3010)
15．某牛奶厂2022年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标？(精确到1万元，参考数据：1.55≈7.59)
5．4 数列的应用
必备知识基础练
1．答案：B
解析：从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以此山相对山脚的高度h＝(18－1)×100＝1700(m).故选B.
2．答案：C
解析：存入银行8万元，年利率为2.50%，每年的本利和构成等比数列{an}，公比q＝1.025，首项a1＝8，采用1年期自动转存业务，第一年年末的本利和为a2＝8×1.0251万元，所以第5年年末的本利和为a6＝8×1.0255万元．故选C.
3．答案：B
解析：由题意每月产量构成等比数列{an}，首项a1＝a，公比为1＋p，所以今年12月份的月产量为a(1＋p)12，则增加的比率为＝(1＋p)12－1.故选B.
4．答案：(1－)π
解析：设第n个正三角形的内切圆的半径为an，因为从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的，
每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
所以a1＝atan30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，所以数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列，
所以an＝×()n－1a，设前n个内切圆的面积和为Sn，
则Sn＝π(a＋a＋…＋a)＝πa[1＋()2＋()2＋…＋()2]＝πa[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝·(1－)π＝(1－)π.
5．解析：由题意知每年的运营费用(单位：万元)是以120为首项，40为公差的等差数列．
则f(n)＝500n－[120n＋×40]－720＝－20n2＋400n－720.
(1)获取纯利润就是f(n)>0，
故有－20n2＋400n－720>0，解得2
(2)①年平均利润＝400－20(n＋)≤160，
当且仅当n＝6时，取等号．
故此方案获利6×160＋480＝1440(万元)，此时n＝6.
②f(n)＝－20n2＋400n－720＝－20(n－10)2＋1280，
当n＝10时，f(n)max＝1280.
故此方案共获利1280＋160＝1440(万元).
比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故第①种方案最合算．
6．解析：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)
＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－[7.5＋9＋…＋(6＋1.5n)]
＝－(7.5＋6＋1.5n)
＝420×1.05n－n2－n－420，
当n＝5时，S5≈63.5，
所以从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
关键能力综合练
7．答案：A
解析：记2021年为第一年，则每年退耕还林的面积构成等比数列{an}，且a1＝a，公比q＝(1＋10%)，
第n年退耕还林的面积为数列{an}的前n项和，
所以数列{an}的前8项和为＝＝10a(1.18－1).
所以到2028年一共退耕10a(1.18－1)万公顷．故选A.
8．答案：C
解析：斐波那契数列的前n项和依次为1，2，4，7，12，20，33，…，一朵玫瑰花的花瓣总数为33，则该种玫瑰花有7层．故选C.
9．答案：14
解析：设停在第x层，则
S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]＝＋421，所以当x＝时取最小值，而x∈{2，3，…，20}，所以当x＝14时取最小值．
10．答案：
解析：记初始正方形的边长为a1，经过n－1次生长后的正方形的边长为an，经过n－1次生长后正方形的个数为bn，由题可知，数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝×()n－1＝21－，由题可知，bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，令bn＝2n－1＝1023，解得n＝10，所以最小正方形的边长为a10＝21－＝.
11．解析：(1)由条件可知，每年的运营成本构成首项为6，公差为2的等差数列，
所以an＝30n－[6n＋×2]－30
＝－n2＋25n－30，
则年平均利润为＝25－(n＋)，
由n＋≥2，当且仅当n＝，
即n＝时，取等号．
但n∈N＋，且n＝5或n＝6时，n＋＝11.
此时，取最大值14.
所以到2025年或2026年，年平均利润最大，最大值为14万元．
(2)由(1)可得an＝－n2＋25n－30＝－(n－)2＋(n∈N＋)，
当n＝12或n＝13时，an取得最大值126.
因为126÷3＝42(万元)，
故小刘最早从2032年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为42万元．
12．解析：方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak，则
A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，
…
A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝＝
≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
方法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则A2＝x，
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)，
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)，
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).因为年底付清欠款，所以A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810).
所以x＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
核心素养升级练
13．答案：10
解析：由题意可得第n层的货物的价格为
an＝n·()n－1，
这堆货物总价是Sn＝1×()0＋2×()1＋3×()2＋…＋n·()n－1， ①
由①×可得Sn＝1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋n·()n， ②
由①－②可得Sn＝1＋()1＋()2＋()3＋…＋()n－1－n·()n＝－n·()n＝10－(10＋n)·()n，
所以Sn＝100－10(10＋n)·()n，
因为这堆货物总价是[100－200()n]万元，
所以n＝10.
14．解析：(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋，
所以an＝an－1＋.
(2)由(1)得an＝an－1＋，
所以an－＝(an－1－),
所以{an－}是等比数列．
(3)由(2)有an－＝(an－1－)，
又a1＝，所以a1－＝－，
∴an－＝－()n－1，即an＝－()n－1＋；
an＝－()n－1＋>，即()n－1<，两边取常用对数得：
(n－1)lg
＝≈4.1，
∴n>5.1.
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%.
15．解析：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标．
则2022年年底剩余资金是1000(1＋50%)－x；
2023年年底剩余资金是[1000(1＋50%)－x](1＋50%)－x＝1000(1＋50%)2－(1＋50%)x－x；
…
5年后资金达到1000(1＋50%)5－(1＋50%)4x－(1＋50%)3x－(1＋50%)2x－(1＋50%)x－x≥2000，
解得x≤424，所以这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标．5．5 数学归纳法
必备知识基础练
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n＝( )
A．1 B．2C．3 D．0
2．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3·…·(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1B．
C．2(2k＋1) D．
3．对于不等式
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N＋，不等式均成立．则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确
4．下列四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)，当n＝1时为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
5．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________.
6．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋).
关键能力综合练
7.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题不能总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)
8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
9.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝(n≥2，n∈N＋)，当验证n＝2时，左端的式子为____________，当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上的项为________.
10．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法验证关于f(n)的命题时，第一步计算f(1)＝______；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f(k＋1)＝f(k)＋________.
11．已知数列{an}满足a1＝1，(an＋4)an＋1＝4an.
(1)计算a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
12．已知n∈N＋，n>2.
求证：1＋＋＋…＋>.
核心素养升级练
13.用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n≥2，n∈N＋).
14．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋≥(n∈N＋).
15．已知数列{an}满足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋).
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
5．5 数学归纳法
必备知识基础练
1．答案：C
解析：因为多边形的边数最少是3，即三角形，所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于3.故选C.
2．答案：C
解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·2(2k＋1).故选C.
3．答案：D
解析：此同学从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有应用归纳假设．故选D.
4．答案：C
解析：选项A中，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项C中，当n＝1时，式子应为1＋＋；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故选C.
5．答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
解析：(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
6．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N＋都成立．
关键能力综合练
7．答案：ABC
解析：根据题意，对于A，当k＝1或2时，不一定有f(k)≥k2成立；对于B，不能得出任意的k≤5时，均有f(k)≥k2成立；对于C，若f(7)<49成立，不能推出当k≥8时，均有f(k)
解析：当n＝k时，左边＝＋＋…＋，
当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋，
所以由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加了，，减少了.故选D.
9．答案：1＋2＋3＋4 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析：1＋2＋3＋…＋n2＝(n≥2，n∈N＋)，
当验证n＝2时，左端的式子为1＋2＋3＋4.
n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，
当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，增加了项(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
10．答案： ＋＋
解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，
所以f(1)＝1＋＝，
所以f(k＋1)＝1＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋＋＋＋
＝f(k)＋＋＋.
11．解析：(1)因为数列{an}满足a1＝1，
(an＋4)an＋1＝4an，
所以当n＝1时，(a1＋4)a2＝4a1，得a2＝，
当n＝2时，(a2＋4)a3＝4a2，(＋4)a3＝4×，
得a3＝，
当n＝3时，(a3＋4)a4＝4a3，(＋4)a4＝4×，
得a4＝，
由此猜想an＝(n∈N＋).
(2)用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，a1＝＝1，猜想成立；
②假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，
即ak＝，有ak＋4≠0；
则当n＝k＋1时，(ak＋4)ak＋1＝4ak，
得ak＋1＝＝＝＝，
所以当n＝k＋1时猜想成立．
根据①②可知猜想正确．
12．证明：(1)当n＝3时，左边＝1＋＋，
右边＝＝2，左边>右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋>.
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋>＋＝＝.
因为>＝＝，
所以1＋＋＋…＋＋>，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知对一切n∈N＋，n>2，不等式恒成立．
核心素养升级练
13．证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，所以左边＝右边，所以n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，
则当n＝k＋1时，(1－)(1－)(1－)…(1－)[1－]＝[1－]＝·＝＝，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n≥2，n∈N＋恒成立．
14．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，命题成立，
即1＋＋＋…＋≥.
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋≥＋.
令f(k)＝＋－，
则f(k)＝－
＝
＝.
因为k≥1，所以f(k)>0，
即＋>.
由(1)(2)知，不等式对任何n∈N＋都成立．
15．解析：(1)由题意4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)，
a1＝1，则4a2－a2＋2＝9，a2＝，4a3－a3＋＝9，
a3＝，4a4－a4＋＝9，a4＝.
(2)猜想an＝.
证明：(ⅰ)n＝1，命题成立，
(ⅱ)假设n＝k时命题成立，即ak＝，
则n＝k＋1时，由4ak＋1－ak＋1＋＝9，解得ak＋1＝＝，命题成立．
综上，当n∈N＋时，命题成立，即an＝.
