“未知数杯”数学模拟测试
数 学
命题人：周楚凡 审题人：马雨洛
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7 23．在
不大于 10 的素数中，选两个不同的数，和为素数的概率为
1 2 1 1
A． B． 3 C． D．4 3 2
2．数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn an 1024，则数列 an 的前 n 项积的最大值
为
A． 255 B． 245 C． 29 D． 210
3．圆心为 ( 1,3)，且与直线 x y 2 0相切的圆的半径为
A． 2 B．2 C．8 D． 2 2
4．已知数列 an 为等差数列，且 a1 a7 a13 4π，则 sina7
1 1 3 3A． 2 B． C． D．2 2 2
5．已知二次函数 f (x)，对任意的 x R ，有 f (2x) 2 f (x)，则 f (x)的图象可能是
A． B．
C． D．
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6．如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一
般”记为 4 分，“较强”记为 5 分，“很强”记为 6 分，把分值称为能力指标，则
下列判断不正确的是
A．甲、乙的五项能力指标的平均值相同
B．甲、乙的五项能力指标的方差相同
C．如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙
D．如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙
7．一个二元码是由 0和1组成的数字串 x1x2 xn（ n N ），其中 xk（ k 1， 2， ，
n）称为第 k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错
误（即码元由 0变为1，或者由1变为 0）.已知某种二元码 x1x2 x7的码元满足如下校
x4 x5 x6 x7 0
验方程组： x2 x3 x6 x7 0，其中运算 定义为：0 0 0，0 1 1，1 0 1，1 1 0 .
x1 x3 x5 x7 0
已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k位发生码元错误后变成了1100001，那么
用上述校验方程组可判断 k等于
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于
这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.
构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图 1）放置在同一平
面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥
后得到一新几何体（如图 2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得
所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆
x2 y2
1绕 y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图 3），类比上述方法，运用
16 36
祖暅原理可求得其体积等于
A． 64π B．148 C．128 D． 32
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二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，全部选对的得 6 分，部分选对的得
部分分，有选错的得 O 分。
9．意大利画家列奥纳多·达 芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍
珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达 芬奇提出：固定项链的两端，
使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线
问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： f x a cosh x ，其中 a为曲线顶点到
a
x
cosh x cosh x e e
x
横坐标轴的距离， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 ，相应
2
x x
地，双曲正弦函数的表达式为 sinh x e e ．若直线 x m与双曲余弦函数 C1双曲正2
弦函数 C2的图象分别相交于点 A， B，曲线 C1在点 A处的切线 l1与曲线 C2在点 B处
的切线 l2相交于点 P，则下列结论正确的为
A． cosh x y cosh xcosh y sinh xsinh y
B． y sinh x cosh x是偶函数
C． (cosh x) ' sinh x
D．若△PAB是以 A为直角顶点的直角三角形，则实数 m 0
10．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它
的画法是这样的：正方形 ABCD 的边长为 4，取正方形 ABCD 各边的四等分点 E，F，
G，H 作第二个正方形，然后再取正方形 EFGH 各边的四等分点 M，N，P，Q 作第
三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形 ABCD 边
长为 a1，后续各正方形边长依次为 a2 ， a3，…， an ，…；如图（2）阴影部分，设直
角三角形 AEH 面积为 b1 ，后续各直角三角形面积依次为 b2， b3，…， bn ，…．则
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10
A．数列 an 是以 4 为首项， 为公比的等比数列
4
B．从正方形 ABCD开始，连续 3个正方形的面积之和为 32
C．使得不等式 b
1
n 成立的 n的最大值为 32
D．数列 bn 的前 n项和 Sn 4
11．1872 年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无
理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束
了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集 Q
划分为两个非空的子集 M 与 N ，且满足 M N Q， M N ， M 中的每一个元
素都小于 N 中的每一个元素，则称 M ,N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能
成立的是
A． M x Q x 0 ， N x Q x 0 满足戴德金分割
B． M 没有最大元素， N 有一个最小元素
C． M 有一个最大元素， N有一个最小元素
D． M 没有最大元素， N 也没有最小元素
三、填空题：本大题 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中不再成立，比如：“垂直于同一
条直线的两条直线平行”；有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中依然成立，
比如：“平行于同一条直线的两条直线平行”.请你写出满足下列条件的命题各一个
在平面几何中成立而在立体几何中不成立的命题： ；既在平面几何中成立又在
立体几何中成立的命题： .
1 n
13 ．在二项式 x 的展开式中恰好第 3 项的二项式系数最大，则展开式中的常数
x
项是 .
3 4 5 6
14．已知数列 an 为 ， ， ， ，L，则该数列的一个通项公式可以是 ．2 3 4 5
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四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
2
已知直线 x y 3 0与抛物线 C : y 8x 相交于 A，B 两点．
(1)求弦长 AB 及线段 AB的中点坐标；
(2)试判断以 AB为直径的圆是否经过坐标原点 O？并说明理由．
16．（15 分）
如图，在五面体 ABCDE 中， BE 平面 ABC， AD BE ， AD 2BE ， AB BC．
(1)求证：平面 CDE 平面 ACD；
(2)若 AB 3， AC 2，五面体 ABCDE 的体积
为 2，求平面 CDE 与平面 ABED 所成角的余弦值．
17．（15 分）
设函数 f x x 3 ax 2 bx c 的导数 f x 满足 f 1 0， f 2 9 .
(1)求 f x 的单调区间；
(2) f x 在区间 2,2 上的最大值为 20，求 c的值.
(3)若函数 f x 的图象与 x轴有三个交点，求 c的范围.
18．（17 分）
在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成
对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子： A使之开红花， a使之开白花，两个因
子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状： AA为开红花， Aa和 aA一样不加区分
为开粉色花， aa为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都
包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产
1
生的，每一个上一代的遗传因子以 2 的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是
相互独立的．可以把第 n代的遗传设想为第 n次实验的结果，每一次实验就如同抛一
枚均匀的硬币，比如对具有性状 Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子 A，如果
1
抛出反面就选择因子 a，概率都是 2 ，对母系也一样．父系 母系各自随机选择得到
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的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状 AA， Aa (或 aA )， aa在
父系和母系中以同样的比例： u : v :w(u v w 1)出现，则在随机杂交实验中，遗传
v v
因子 A被选中的概率是 p u ，遗传因子 a被选中的概率是 q w ．称 p， q分
2 2
别为父系和母系中遗传因子 A和 a的频率，p : q实际上是父系和母系中两个遗传因子
的个数之比．基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上一代父系 母系的遗传性状都是 Aa，后代遗传性状为 AA，Aa (或
aA )， aa的概率各是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状 aa具有重大缺陷，可人工剔除，从
而使得父系和母系中仅有遗传性状为 AA和 Aa (或 aA )的个体，在进行第一代杂交实
验时，假设遗传因子 A被选中的概率为 p， a被选中的概率为 q， p q 1．求杂交
所得子代的三种遗传性状 AA， Aa (或 aA )， aa所占的比例 u1,v1,w1 ．
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为 aa的个体
假设得到的第 n代总体中 3 种遗传性状 AA， Aa (或 aA )， aa所占比例分别为
un ,vn ,wn un vn wn 1 ．设第 n代遗传因子 A和 a的频率分别为 pn和 qn，已知有以下
u vn vn
公式 n
1
p 2 , q 2 , n 1,2, ．证明 是等差数列．n 1 w nn 1 w
qn
n
（4）求 un ,vn ,wn 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行
下去，会有什么现象发生？
19．（17 分）
若一个三角形的边长与面积都是整数，则称为“海伦三角形”；三边长互质的海伦
三角形，称为“本原海伦三角形”；边长都不是 3 的倍数的本原海伦三角形，称为
“奇异三角形”.
（1）求奇异三角形的最小边长的最小值；
（2）求证：等腰的奇异三角形有无数个；
（3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？
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