专题11 反比例函数
考向一 反比例函数的性质
解题技巧/易错易混 确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
1．（2023 安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023 广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023 镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 ＞ y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．
考向二 反比例函数系数k的几何意义
解题技巧/易错易混 反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
4．（2023 湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023 黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
6．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24 ．
考向三 反比例函数图象上点的坐标特征
解题技巧/易错易混 确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
7．（2023 济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
8．（2023 攀枝花）如图，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
9．（2023 安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 ．
考向四 待定系数法求反比例函数解析式
10．（2023 青岛）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为 ．
11．（2023 陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
12．（2023 绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；
（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考向五 反比例函数与一次函数的交点问题
解题技巧/易错易混 反比例函数与一次函数综合的主要题型： （1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； （2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标； （3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； （4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
13．（2023 内蒙古）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0
C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
14．（2023 荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
15．（2023 滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
考向六 反比例函数的应用
解题技巧/易错易混 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题．
16．（2023 怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023 南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 N的力．
（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）
18．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
考向七 反比例函数综合题
19．（2023 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
20．（2023 淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
1．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023 无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 ．
4．（2023 丹东）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC＝2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k＝ ．
5．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 ，a的值为 ．
6．（2023 长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k＝ ．
7．（2023 通辽）已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
8．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为
9．（2023 株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
10．（2023 湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
11．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
12．（2023 常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．
13．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．
14．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
15．（2023 河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
16．（2023 盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
专题11 反比例函数
考向一 反比例函数的性质
解题技巧/易错易混 确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
1．（2023 安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），不过原点，即可判断函数y＝x2﹣bx+k﹣1的大致图象．
【规范解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，
由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），
∴﹣1+b＝k，
∴k﹣b＝﹣1，
∴b＝k+1，
∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），
∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，
∴方程＝﹣x+b有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴k﹣1≠0，
∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，
∴符合以上条件的只有A选项．
故选：A．
【真题点拨】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
2．（2023 广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】设A（m，），在y＝﹣中，令y＝得x＝﹣，令x＝m得y＝﹣，可得B（﹣，），D（m，﹣），即得C（﹣，﹣），故S2＝S4＝1，S3＝，根据，得1++1＝，解方程并检验可得答案．
【规范解答】解：设A（m，），
在y＝﹣中，令y＝得x＝﹣，令x＝m得y＝﹣，
∴B（﹣，），D（m，﹣），
∴C（﹣，﹣），
∴S2＝S4＝1，S3＝，
∵，
∴1++1＝，
解得k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，符合题意，
故选：C．
【真题点拨】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023 镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 ＞ y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．
【思路点拨】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得y1与y2的大小．
【规范解答】解：反比例函数y＝中，k＝5＞0，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
【真题点拨】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小．
考向二 反比例函数系数k的几何意义
解题技巧/易错易混 反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
4．（2023 湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD＝3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．
【规范解答】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数的图象上，
∴S矩形OCBD＝3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；
故选：B．
【真题点拨】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．
5．（2023 黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
【思路点拨】设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k．
【规范解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，
AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE，AE∥y轴，
∴CF＝3BF＝3b，
∴C（﹣3b，），
∴D（﹣3b，），
∴CD＝，BC＝4b，
∴S△BCD＝，
∴k＝﹣．
故选：C．
【真题点拨】对于反比例函数中图形的面积问题，常用一个未知数表示关键点的坐标，通过推导求其面积．
6．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 24 ．
【思路点拨】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决．
【规范解答】解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝12AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝kx（k＞0）上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（6a，6a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
【真题点拨】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．
考向三 反比例函数图象上点的坐标特征
解题技巧/易错易混 确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
7．（2023 济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【思路点拨】首先根据k＜0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定y1＞0，y2＞0，y3＜0，最后再根据﹣4＜﹣2得y1＜y2，据此即可得出答案．
【规范解答】解：∵，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
【真题点拨】此题主要考查了反比例函数（k≠0）的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数y＝k/x（k≠0），当k＞0时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两个分支在第二、四象限内
变化，且在每一个象限内y随x的增大而增大．
8．（2023 攀枝花）如图，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
【思路点拨】依据题意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，从而BO＝＝2，可得∠AOB＝30°，又结合题意，∠BOB'＝105°，进而∠BOX＝45°，故可得E点坐标，代入解析式可以得解．
【规范解答】解：如图，作EH⊥x轴，垂足为H．
由题意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，
∴BO＝＝2．
∴AB＝BO．
∴∠AOB＝30°．
又△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，
∴∠BOB'＝105°．
∴∠B'OX＝45°．
又点E是OB′的中点，
∴OE＝BO＝1．
在Rt△EOH中，
∵∠B'OX＝45°，
∴EH＝OH＝OE＝．
∴E（，）．
又E在y＝上，
∴k＝＝．
故答案为：．
【真题点拨】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
9．（2023 安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 4 ．
【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．
（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【规范解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴，
∴，
∵C是OB的中点，
∴OC＝BC＝AC＝2，
如图，过点C作CP⊥OA于P，
∴△OPC≌△APC（HL），
∴，
在Rt△OPC中，PC＝，
∴C（，1）．
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，
∴，
解得k＝．
故答案为：．
（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0），
则，
解得，
∴AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
∴联立得，
解得，，
当D的坐标为（2+3，）时，
BD2＝＝9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
当D的坐标为（2﹣3，）时，
BD2＝+＝9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
综上，OB2﹣BD2＝4．
故答案为：4．
【真题点拨】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用．
考向四 待定系数法求反比例函数解析式
10．（2023 青岛）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为 y＝ ．
【思路点拨】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【规范解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（m，），
∴＝m．
∴m＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝．
【真题点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数m是解题的关键．
11．（2023 陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 y＝ ．
【思路点拨】根据矩形的性质得到OC＝AB＝3，根据正方形的性质得到CD＝CF＝EF，设CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），设反比例函数的表达式为y＝，列方程即可得到结论．
【规范解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝3，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF＝EF，
∵BC＝2CD，
∴设CD＝m，BC＝2m，
∴B（3，2m），E（3+m，m），
设反比例函数的表达式为y＝，
∴3×2m＝（3+m） m，
解得m＝3或m＝0（不合题意舍去），
∴B（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴这个反比例函数的表达式是y＝，
故答案为：y＝．
【真题点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
12．（2023 绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；
（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围．
（2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题．
【规范解答】解：（1）由题知，
将A点坐标代入反比例函数解析式得，
k＝1×2＝2，
所以反比例函数的解析式为．
由函数图象可知，
在直线x＝0和x＝1之间的部分及直线x＝2右侧的部分，
反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方，
即y1＞y2．
所以x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2．
（2）将x＝2代入反比例函数解析式得，
y＝1，
所以点C的坐标为（2，1）．
则OC＝．
当OC＝OM时，
OM＝，
所以点M坐标为（0，）或（0，﹣）．
当CM＝CO时，
点C在OM的垂直平分线上，
又因为点C坐标为（2，1），
所以点M坐标为（0，2）．
当MO＝MC时，
点M在OC的垂直平分线上，
过点C作CN⊥y轴于点N，
令MO＝m，则MC＝m，MN＝m﹣1，
在Rt△CMN中，
CN2+MN2＝MC2，
即22+（m﹣1）2＝m2，
解得m＝．
所以点M的坐标为（0，）．
综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．
【真题点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及巧妙利用分类讨论的数学思想是解题的关键．
考向五 反比例函数与一次函数的交点问题
解题技巧/易错易混 反比例函数与一次函数综合的主要题型： （1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； （2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标； （3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； （4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
13．（2023 内蒙古）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0
C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【思路点拨】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据图示直接得出不等式的解集．
【规范解答】解：∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，
∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
又∵B（m，﹣2）在y＝﹣图象上，
∴m＝4，
∴B（4，﹣2），
∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
一次函数解析式为：y＝﹣x+2．
由图象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．
故选：B．
【真题点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数交点的坐标满足两个函数关系式．
14．（2023 荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 （，2） ．
【思路点拨】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【规范解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，
∴2＝．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG＝．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y＝上，
∴C（，2）．
故答案为：（，2）．
【真题点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
15．（2023 滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
【思路点拨】（1）依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点代入直线解析式可以得解；
（2）由题意，分成两种情形：一种是M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两一支上，然后根据图象可以得解；
（3）依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解．
【规范解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y＝，
∴2＝．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y＝﹣．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得，
∴．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y＝﹣，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此时由图象可得y1＞0＞y2，
即此时当x1＜x2时，y1＞y2．
（3）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【真题点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．
考向六 反比例函数的应用
解题技巧/易错易混 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题．
16．（2023 怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据函数的解析式判断函数的图形即可．
【规范解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．
∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D．
【真题点拨】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．
17．（2023 南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省 100 N的力．
（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）
【思路点拨】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入L＝1.5和L＝2求得力的大小即可．
【规范解答】解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，
∴函数的解析式为F＝，
当L＝1.5时，F＝＝400，
当L＝2时，F＝＝300，
因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，
故答案为：100．
【真题点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
18．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 20 mL．
【思路点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．
【规范解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，
∵V＝100ml时，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
当p＝75kPa时，V＝＝80，
当p＝100kPa时，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴气体体积压缩了20mL，
故答案为：20．
【真题点拨】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
考向七 反比例函数综合题
19．（2023 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【思路点拨】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，求得反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到＝，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【规范解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y＝得，4＝，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴＝，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵ |xB﹣xC|＝，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组得，，
∴P（﹣，），
∴，
，
∴m＝．
【真题点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
20．（2023 淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
【思路点拨】（1）将A（2，3）代入双曲线y＝，求出m的值，从而确定双曲线的解析式，再将点B（n，1）代入y＝，确定B点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由平行求出直线CD的解析式为y＝﹣x﹣1，过点D作DG⊥AB交于G，设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，可推导出∠HDG＝∠HFO，再由cos∠HFO＝，求出DG＝DH＝2，则△ABD的面积＝2×2＝10；
（3）数形结合求出x的范围即可．
【规范解答】解：（1）将A（2，3）代入双曲线y＝，
∴m＝6，
∴双曲线的解析式为y＝，
将点B（n，1）代入y＝，
∴n＝6，
∴B（6，1），
将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB向下平移至CD，
∴AB∥CD，
设直线CD的解析式为y＝﹣x+n，
将点C（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，
∴1+n＝0，
解得n＝﹣1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1），
过点D作DG⊥AB交于G，
设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，
∴H（0，4），F（8，0），
∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，
∴∠HDG＝∠HFO，
∵OH＝4，OF＝8，
∴HF＝4，
∴cos∠HFO＝，
∵DH＝5，
∴DG＝DH＝2，
∵AB＝2，
∴△ABD的面积＝2×2＝10；
方法2：S△ABD＝S△HBD﹣S△HAD
＝HD（xB﹣xA）
＝5×4
＝10；
（3）由图可知2＜x＜6或x＜0时，﹣x﹣1＞．
【真题点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键．
1．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【思路点拨】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即可得到一次函数y＝ax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【规范解答】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【真题点拨】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出a、b的正负情况．
2．（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（，），确定D（，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．
【规范解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（，），
∵点D在AB上，且 AD＝AB，
∴D（，b），
∴BD＝a，
∴S△BDM＝BD h＝×a×（b﹣）＝ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ab＝4，
故选：C．
【真题点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
3．（2023 无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 6 ．
【思路点拨】作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义求得S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，根据等边三角形的性质得出OB＝3，OA＝3，易证得△A′OD∽△OB′E，从而得出＝3，即，解得k＝6．
【规范解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，
∴S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，
∵边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OA⊥BC，
∴OB＝3，OA＝3，
由旋转的性质可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝3，
∴＝，
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，
∴△A′OD∽△OB′E，
∴＝3，即，
∴k＝6．
故答案为：6．
【真题点拨】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
4．（2023 丹东）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC＝2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k＝ 4 ．
【思路点拨】过点D作DE交AB的延长线于E，设点A的坐标为（m，n），则k＝mn，OC＝m，AC＝n，AB＝3n，证四边形ODEC为矩形得DE＝OC＝m，然后根据△ABD的面积是6可得mn＝4，由此可得k的值．
【规范解答】解：过点D作DE交AB的延长线于E，如图：
设点A的坐标为（m，n），
∵x＞0，点A在第一象限，
∴m＞0，n＞0，k＝mn，
∵AC⊥x轴于点C，
∴OC＝m，AC＝n，
∴BC＝2AC＝2n，
∴AB＝BC+AC＝3n，
∵AC⊥x轴，DE⊥AB，∠DOC＝90°，
∴四边形ODEC为矩形，
∴DE＝OC＝m，
∵△ABD的面积是6，
∴S△ABD＝AB DE＝6，
即： 3n m＝6，
∴mn＝4，
∴k＝mn＝4．
故答案为：4．
【真题点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的解析式，满足反比例函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键．
5．（2023 宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 12 ，a的值为 9 ．
【思路点拨】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面
积为14，即可得解．
【规范解答】解：设A（m，），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m ＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝DB （+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b） （） m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【真题点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
6．（2023 长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k＝ ．
【思路点拨】由k的几何意义可得＝，从而可求出k的值．
【规范解答】解：△AOB的面积为＝，
所以k＝．
故答案为：．
【真题点拨】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键．
7．（2023 通辽）已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【思路点拨】根据反比例函数的图象和性质，由x1＜0＜x2，可判断y1＞0＞y2，进而得出答案．
【规范解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，而x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第二象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第四象限反比例函数的图象上，
∴y1＞0＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
故选：D．
【真题点拨】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
8．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 2﹣2 ．
【思路点拨】构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【规范解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，
∴∠MOA＝∠NAB，
∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．
∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m＝（m+2）（2﹣m），
解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍去），
∴点A的坐标为（﹣1+，2），
∴k＝xy＝2（﹣1）＝2﹣2．
【真题点拨】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．
9．（2023 株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
【思路点拨】（1）根据点P（1，2）在函数 的图象上，代入即可得到k的值；
（2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OA＝﹣t，根据正方形的性质得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根据二次函数的性质即可得到结论．
【规范解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数 的图象上，
∴2＝，
∴k＝2，
即k的值为2；
（2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上，
∴OA＝﹣t，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴，
∴△BCP的面积为S＝×（﹣t）×（2﹣t）＝t2﹣t，
∴T＝2S﹣2t2＝2（t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1．
【真题点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2023 湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
【思路点拨】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【规范解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝2，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点C′，
∴k＝2×4＝8，
∴该反比例函数的表达式为y＝；
（2）作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（4，1），
设一次函数的解析式为y＝ax+b，
把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，，
解得，
∴该一次函数的表达式为y＝x+．
【真题点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
【思路点拨】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
【规范解答】解：∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP＝＝．
故答案为：．
【真题点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
12．（2023 常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．
【思路点拨】（1）把B（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数，即可求出m的值和反比例函数的解析式；
（2）先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1＞y2时x的取值范围．
【规范解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣3+m，﹣1＝，
解得m＝2，k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y2＝﹣；
（2）解方程组，得或，
∴A（﹣1，3），
观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
【真题点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交
点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无
解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式．
13．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．
【思路点拨】（1）求出A（0，2），B（﹣2，0），由AB＝BC，知A为BC中点，故C（2，4），用待定系数法可得k的值为8；（2）由可解得D（﹣4，﹣2），再用三角形面积公式可得答案．
【规范解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∵AB＝BC，
∴A为BC中点，
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y＝得：
4＝，
解得k＝8；
∴k的值为8；
（2）由得：或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△DOC＝S△DOB+S△COB＝×2×2+×2×4＝2+4＝6，
∴△CDO的面积是6．
【真题点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法和函数图象上点坐标的特征．
14．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2＝（x＞0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b，可用待定系数法确定一次函
数的解析式；
（2）由题意即求y1＞y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，则Q（p，），求得PQ＝﹣2p+9﹣，根据三角形面积公式得到S△POQ＝（﹣2p+9﹣） p＝3，解得即可．
【规范解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1＝．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．
把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），
∴．
∴．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，
∴Q（p，）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣．
∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣） p＝3．
解得p1＝，p2＝2．
∴P（，4）或（2，5）．
【真题点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
15．（2023 河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【思路点拨】（1将A（，1）代入y＝中即可求解；
（2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
（3）先计算出S菱形AOCD＝2，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO＝，从而问题即可解答．
【规范解答】解：（1）将A（，1）代入到y＝中，
得：1＝，
解得：k＝；
（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A（，1），
∴AG＝1，OG＝，
OA＝＝2，
∴半径为2；
∵AG＝OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴圆心角的度数为：60°；
（3）∵OD＝2OG＝2，
∴S菱形AOCD＝AC×OD＝2，
∴S扇形AOC＝×π×r2＝，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO＝＝，
∴S△FBO＝2×＝，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣．
【真题点拨】本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键．
16．（2023 盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
【思路点拨】（1）设C（m，），然后过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，证明△ACM≌△CBN，得到CN＝AM，BN＝CM，建立方程即可解决；
（2）根据（1）中结论可得C（2，2），由A（1，0），利用两点距离公式求得AC＝，再由CE∥x轴，），∠DAC的平分线交直线EC于点F，证明CF＝CA，即可分别求出F的横纵坐标．
【规范解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
设C（m，），
∵B（0，3），A（1，0）
则CM＝，M（m，0），N（m，3），
∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠BCN＝∠MAC，
又∵AC＝BC，
∠BCN＝∠MAC，
∠AMC＝∠BNC＝90°
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM，BN＝CM，
∴3﹣＝m﹣1，m＝，
∴k＝m2，
∴3﹣m＝m﹣1，
m＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
（2）由（1）可得C（2，2），
∵A（1，0），
∴AC＝＝，
分两种情况：
当D在A点右侧时：如（1）中图所示，
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝∠DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝，
∴F点横坐标为2+，
∴F（2+，2），
当D在A点左侧时，如图：
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝∠DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝，
∵C（2，2），
∴F点横坐标为2﹣，
∴F（2﹣，2），
综上所述：F（2+，2）或（2﹣，2）．
【真题点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，两点间的距离公式，平行线的性质，角平分线的定义，理解题意是解决问题的关键．
