仁寿重点学校2023级高一下入学考试
数学科试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4.用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
5.已知角的终边经过点， ，则（ ）
A． B． C． D．
6.一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）
A． B． C． D．
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
10.．若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
填空题
13.幂函数的图像经过点，则 .
14.化简求值： ．
15.函数，的值域是 .
16.已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为 ．
解答题
17.已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求m的取值范围.
18.已知是第二象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
19. 已知函数.
（1）求函数的周期以及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
20.在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．
(1)求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；
(2)问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．
21.已知函数（且）的图象经过点和．
(1)求函数的解析式；
(2)令，求的最小值及取最小值时x的值．
22.已知函数，．
(1)若为奇函数，求实数a的值；
(2)若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
仁寿重点学校2023级高一下入学考试
数学科试题参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
4.用二分法求函数在内零点近似值的过程中，得到，则函数 的零点落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
5.已知角的终边经过点， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6.一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8.已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、多选题
9.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】ABC
10.．若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】AD
11.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
【答案】AB
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
【答案】BCD
填空题
13.幂函数的图像经过点，则 .
【答案】
14.化简求值： ．
【答案】2
15.函数，的值域是 .
【答案】
16.已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为 ．
【答案】1
解答题
17.已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
所以.
（2）因为，所以，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
所以m的取值范围为：.
18.已知是第二象限角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）由，
可得，即，
解得或.
因为是第二象限角，所以.
19. 已知函数.
（1）求函数的周期以及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
【答案】19.（1） ，
（2）最大值为，相应的；最小值为，相应的.
【解析】（1）由可得：函数的周期为.
令，
解得：，
∴的单调递增区间为，．
（2）令，因为，所以.
所以当，即时，在区间上可取得最大值，最大值为；
当，即时，在区间上可取得最小值，最小值为.
故在区间上最大值为，相应的；最小值为，相应的.
20.在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．
(1)求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；
(2)问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．
【答案】(1)
(2)生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
【解析】（1）因为
所以
（2）时，，时，最大值，
时，，当且仅当，即时等号成立．
综上，生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
21.已知函数（且）的图象经过点和．
(1)求函数的解析式；
(2)令，求的最小值及取最小值时x的值．
【答案】(1)
(2)的最小值为，且取最小值时x的值为.
【解析】（1）依题意可得，解得，所以.
（2）由（1）知，，所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，此时.
所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
22.已知函数，．
(1)若为奇函数，求实数a的值；
(2)若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【答案】(1)1(2)
【解析】（1）∵是奇函数，，
∴，即，
即，∴．
（2），
在区间上单调递减，为增函数，
所以函数在区间上单调递减，
由题意得
即，即，
即，．
令，．
∵，∴．
∴函数在上递增，
当时，y有最小值，
∴实数a的取值范围是．
