七年级数学下册第八章平行线的有关证明难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（ ）
A． B． C． D．
2、当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°，那么这个“特征三角形”的最大内角的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．120°
3、如图， （ ）
A．180° B．360° C．270° D．300°
4、如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在上），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5、下列语句中，属于命题的是（ ）
A．将27开立方
B．画线段
C．正数都小于零
D．任意三角形的三条高线交于一点吗？
6、下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
7、下列命题是真命题的是（ ）
A．无理数的相反数是有理数
B．如果，那么，
C．两直线平行，同位角的角平分线也平行
D．若，则
8、如图，点E在的延长线上，能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
9、记的三边分别为a，b，c，则无法判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
10、下列语句是命题的是（ ）
A．垃级分类是一种生活时尚 B．今天，你微笑了吗？
C．多彩的青春 D．一起向未来
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、 “的算术平方根是2”这个命题是______命题．（填“真”或者“假”）
2、请将命题“坐标轴上的点至少有一个坐标为0”改写成“如果那么”的形式__．
3、如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为__________度．
4、如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做________．题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做________．
5、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成图中的填空部分）．
证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（ ）
∵MN∥AB，
∴∠A＝（ ）（ ）
∵MN∥CD，
∴∠D＝ （ ）
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数．
2、如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
3、如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠RAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．
(1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．
①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝ °；
②若∠CPA＝70°，求此时t的值；
(2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
4、定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
5、在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证；
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
由折叠得，求出，得到=45°，即得答案．
【详解】
解：由折叠得
∵在中，，，
∴∠ABC=60°，
∵，
∴，
∴=45°，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记折叠的性质得到是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最大内角即可．
【详解】
解：由题意得：α=2β，α=60°，则β=30°，
180°-60°-30°=90°，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．
3、A
【解析】
【分析】
利用三角形外角定理及三角形内角和公式求解即可．
【详解】
解：
∵∠7=∠4+∠2，∠6=∠1+∠3，
∴∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4，
∵∠5+∠6+∠7=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
根据三角尺可得，根据三角形的外角性质即可求得
【详解】
解：
故选B
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
根据命题的定义对各选项进行判断．
【详解】
解：A．“将27开立方”为陈述句，它不是命题，所以选项不符合题意；
B．“画线段”为陈述句，它不是命题，所以选项不符合题意；
C．“正数都小于零”为命题，所以选项符合题意；
D．“等任意三角形的三条高线交于一点吗？”为疑问句，它不是命题，所以选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题，解题的关键是掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成．
6、D
【解析】
【分析】
根据同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理依次判断．
【详解】
解：A. 同位角不一定相等，故该项不符合题意；
B. 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则ac，故该项不符合题意；
C. 相等的角不一定是对顶角，故该项不符合题意；
D. 在同一平面内，如果ab，bc，则ac，故该项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查了语句的判断，正确掌握同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
利用无理数的定义、不等式的性质、平行线的性质及绝对值的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、无理数的相反数是无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、如果，那么，或，，故原命题错误，不符合题意；
C、两直线平行，同位角的角平分线也平行，正确，是真命题，符合题意；
D、若，则，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无理数的定义、不等式的性质、平行线的性质及绝对值的意义，难度不大．
8、B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【详解】
A. ，，故该选项不符合题意；
B. ，，故该选项符合题意；
C. ，，故该选项不符合题意；
D. ，，故该选项不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
9、A
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】
解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=×180°=°，故不能判定△ABC是直角三角形；
B、∵32+42=25=52，∴∠C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠C=∠A-∠B，∴∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故能判定△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
10、A
【解析】
【分析】
根据命题的定义“判断事物的语句叫命题”逐项判断即可．
【详解】
A. 垃级分类是一种生活时尚，对问题作出了判断，是命题，符合题意；
B. 今天，你微笑了吗？是疑问句，不是命题，不符合题意；
C. 多彩的青春，是描述性语言，不是命题，不符合题意；
D. 一起向未来，是描述性语言，不是命题，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查判断是否为命题．掌握命题的定义是解答本题的关键．
二、填空题
1、假
【解析】
【分析】
根据算术平方根的性质，得的算术平方根是，再结合命题的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵
∴的算术平方根是
∴“的算术平方根是2”这个命题是假命题
故答案为：假．
【点睛】
本题考查了算术平方根、命题的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根、命题的性质，从而完成求解．
2、如果一个点在坐标轴上，那么这个点至少有一个坐标为0
【解析】
【分析】
命题是由题设与结论两部分组成，如果后面的是题设，那么后面的是结论，根据定义直接改写即可.
【详解】
解：将命题“坐标轴上的点至少有一个坐标为0”改写成“如果那么”的形式：
如果一个点在坐标轴上，那么这个点至少有一个坐标为0．
故答案为：如果一个点在坐标轴上，那么这个点至少有一个坐标为0．
【点睛】
本题考查的命题的组成，把一个命题改写成“如果那么”的形式，平面直角坐标系坐标轴上点的坐标特点，掌握“命题是由题设与结论两部分组成”是解本题的关键.
3、50
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和三角形的外角性质解答即可．
【详解】
解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠BCD=∠ACB，∠EBC=∠MBC，
∵∠MBC=∠MAN+∠ACB，∠EBC=∠BDC+∠BCD，∠MAN=100°,
∴∠BDC=∠EBC－∠BCD=∠MBC－∠ACB=∠MAN=50°，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．
4、 真命题 假命题
【解析】
略
5、距离
【解析】
略
三、解答题
1、基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：∠AGD＝∠A-∠D；应用拓展：42°．
【解析】
【分析】
基础问题：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；
类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．
应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，则∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，则∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．
【详解】
解：基础问题：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；
类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．
应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，
∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，
∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，
∵AH平分∠BAG，
∴∠BAG=2∠BAH=108°，
∴∠AGM=108°，
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
2、110°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．
【详解】
解：在△AEC 中，FA⊥EC，∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝90°－∠C＝70°．
∵∠FBC是△ABF的一个外角，
∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．
【点睛】
本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出∠A的度数是解题关键．
3、 (1)①40°；②26
(2)12或48．
【解析】
【分析】
①当t=20（秒）时，∠ECP=60°，∠BAP=40°，可得∠CAP=20°，即得∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°；②根据∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，且AB∥CD，∠BAC=60°，可得（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，即可解得t=26；
（2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案．
(1)
①如图：
当t=20（秒）时，∠ECP=20×3°=60°，∠BAP=20×2°=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAP=∠BAC-∠BAP=20°，
∴∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°，
故答案为：40°；
②如图：
根据题意知：∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，
∵AB//CD，∠BAC=60°，
∴∠CAP=60°-2t°，∠ACP=180°-3t°，
∵∠CPA=70°，
∴（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，
解得t=26，
∴t的值是26；
(2)
存在AM//CN，
分两种情况：
（Ⅰ）如图：
∵AM//CN，
∴∠ECN=∠CAM，
∴3t°=60°-2t°，
解得t=12，
（Ⅱ）如图：
∵AM//CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∴180°-3t°=2t°-60°，
解得t=48，
综上所述，t的值为12或48．
【点睛】
本题考查一次方程的应用，涉及平行线与相交线、三角形内角和等知识，解题的关键是分类画出图形，找到等量关系列方程．
4、.
【解析】
【分析】
只要证明CD⊥AB即可解决问题．
【详解】
解：如图②中，
∵点D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
，
在Rt△ABC中，
，
∴BC= ，
∵,
．
【点睛】
本解考查了直角三角形判定和性质，理解新定义是解本题的关键．
5、见解析
【解析】
【分析】
根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】
解：已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．
∵BE∥AC，
∴∠1=∠4，∠5=∠3，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
即∠A+∠ABC+∠C=180°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
