2023年广西桂林市资源县中考数学三模试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．1
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m．1nm用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣7m B．1×10﹣8m C．1×10﹣9m D．1×10﹣10m
4．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．车辆到达路口，遇到绿灯
B．任意画一个五边形，其外角和是360°
C．在标准大气压下，水的温度达到90℃时水沸腾
D．图形在旋转过程中面积不变
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明菱形ABCD是正方形，这个条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AB＝CD
6．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为10m，若在坡度为1：1.25的山坡上种树，也要求株距为10m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）
A． B． C．12m D．12.5m
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2 x3＝x6 B．（2x2）3＝6x6
C．x6÷x3＝x3 D．x2+x3＝x6
8．（3分）根据下列表格，判断出方程x2+x﹣1＝0的一个近似解（结果精确到0.1）（ ）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
x2+x﹣1 ﹣0.61 ﹣0.44 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
9．（3分）如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差y随加水时间x变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）某厂今年一月份新产品研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，该厂今年第一季度新产品的研发资金为400万元，可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝400
B．100（1﹣x）2＝400
C．100（1+x）+100（1+x）2＝400
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝400
11．（3分）某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，x3，…，xn（单位：km）．如果用x作为这条路线长度的近似值，要使得（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2的值最小，x应选取这n次测量结果的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最小值
12．（3分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB＝1m，CD＝4m，点P到CD的距离是2m，则点P到AB的距离是（ ）
A．m B．m C．m D．1m
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）若＝1，则y＝ ．
14．（2分）因式分解：3x2﹣12＝ ．
15．（2分）素描是写实绘画的基础，常说的素描五大调子是指高光、中间色、明暗交界线、反光、投影（如图所示）．美术老师想从这五大调子中先选择两大调子让学生重点练习，则正好选中高光与中间色的概率为 ．
16．（2分）如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC＝4，AB＝10，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时．若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ．
17．（2分）如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为（2，6），AB＝3，AD∥x轴，则点C的坐标为 ．
18．（2分）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，且G为BC的中点，连接BE，若AB＝2，则BE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：﹣12022+|2﹣11|×．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2．
21．（10分）如图所示，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°，BC交AF于点M，EF交AB于点P．
（1）试说明：∠EAB＝∠FAC；
（2）△ABC可以经过某种变换得到△AEF，请你描述这个变换；
（3）求∠AMB的度数．
22．（10分）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回家乡创业，承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两座山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数 ；
（2）分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；
（3）用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CM．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）求证：BD2＝AC BG；
（3）若BN＝OB，⊙O的半径为1，求tan∠ANC的值．
24．（10分）甲、乙两车分别从M，N两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为s（单位：km），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系如图所示．
（1）M，N两地之间的公路路程是 km，乙车的速度是 km/h，m的值为 ；
（2）求线段EF的解析式．
（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距140km．
25．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，5），并经过点（1，8），M是它的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）用配方法将二次函数的解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出△APE的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：如图所示，
，
∵四个数中﹣1.5在数轴的最左边，
∴最小的数是﹣1.5．
故选C．
2． 解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
3． 解：1nm＝0.000000001m＝1×10﹣9m．
故选：C．
4． 解：A．车辆到达路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意；
B．任意画一个五边形，其外角和是360°，是不可能事件，不符合题意；
C．在标准大气压下，水的温度达到90℃时水沸腾，是不可能事件，不符合题意；
D．图形在旋转过程中面积不变，是必然事件，不符合题意．
故选：A．
5． 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：A．
6． 解：∵相邻两棵树之间的水平距离为10m，坡度为1：1.25，
∴铅直高度为：＝8（m），
由勾股定理得：相邻两棵树间的坡面距离为：＝2（m），
故选：B．
7． 解：A、x2 x3＝x5，故错误，不合题意；
B、（2x2）3＝8x6，故错误，不合题意；
C、x6÷x3＝x3，故正确，符合题意；
D、x2+x3不能合并，故错误，不合题意；
故选：C．
8． 解：由表格数据可知，当x＝0.6时，x2+x﹣1的值为﹣0.04，最接近0，
故x＝0.6是方程x2+x﹣1＝0的近似解，
故选：D．
9． 解：∵大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，
∴小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的，
∴注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的，
∴小烧杯、大烧杯内水面的高度差y随加水时间x变化的图象可能是选项C．
故选：C．
10． 解：二月份的研发资金总和为：100（1+x）万元；
三月份的研发资金总和为：100（1+x）2万元；
由题意，可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2＝400．
故选：D．
11． 解：设y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣xn）2
＝x2﹣2xx1+x12+x2﹣2xx2+x22+x2﹣2xx3+x32+…+x2﹣2xxn+xn2
＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2），
则当x＝﹣＝，
二次函数y＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2）最小，
x所取的这个值与平均数有关系．
故选：C．
12． 解：作PE⊥CD于E，交AB于F，如图，
由题意得，AB∥CD，AB＝1，CD＝4m，PE＝2，
∴PF⊥AB，△PAB∽△PCD，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝，
∴点P到AB的距离是m．
故选B．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：∵＝1，
∴y﹣2＝1，
解得y＝3．
故答案为：3．
14． 解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
15． 解：记高光、中间色、明暗交界线、反光、投影分别为A，B，C，D，E．
共有20种等可能，正好选中高光与中间色有两种可能，
∴正好选中高光与中间色的概率＝＝．
故答案为：．
16． 解：当AB与⊙O相切时，PB的值最大，如图，
设AB与⊙O相切于点E，连接OE，则OE⊥AB，
过C作CF⊥PB于F，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥OE∥PB，
∴四边形ABFC是矩形，
∴CF＝AB＝10，
∵CO＝OP，
∴AE＝BE，
∴OE是梯形ABPC的中位线，
∴OE＝（AC+PB），
设PB＝x，则OE＝（4+x），
∴PC＝2OE＝4+x，PF＝x﹣4，
由勾股定理得：102+（x﹣4）2＝（4+x）2，
解得：x＝，
∴BP最大值为；
故答案为：．
17． 解：∵点A的坐标为（2，6），AB＝3，
∴B（2，3），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AD∥x轴，
∴BC∥x轴，
∴C点的纵坐标为3，
设C（x，3），
∵矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数的图象上，
∴k＝3x＝2×6，
∴x＝4，
∴C（4，3），
故答案为（4，3）．
18． 解：如图，过点E作EH⊥CD，EN⊥直线BC于N，
∴四边形EHCN是矩形，
∴EH＝CN，CH＝EN，
∵G为BC的中点，
∴BG＝CG＝1，
∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，
∴AD∥CB，DG＝DE，∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠ADG＝∠DGC，∠ADG＝∠EDH，
∴∠DGC＝∠EDH，
又∵∠EHD＝∠DCG＝90°，
∴△DEH≌△GDC（AAS），
∴EH＝CD＝2，DH＝GC＝1，
∴CN＝2，CH＝1＝EN，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：原式＝﹣1+9×﹣（﹣2）×3
＝﹣1+1+6
＝6．
20． 解：原式＝÷（）
＝
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝﹣1．
21． 解：（1）∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC；
（2）∵∠EAB＝25°，
∴△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知，∠EAB＝∠FAC＝25°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠C＝∠F＝57°，
∴∠AMB＝∠C+∠FAC＝57°+25°＝82°．
22． 解：（1）∵甲山4棵枣树产量为34、36、40、50，
∴甲山4棵小枣树产量的中位数为＝38（千克）．
故答案为：38；
（2）＝＝40（千克），
＝＝40（千克），
∴两山的样本产量相同；
（3）（40×100+40×100）×0.97＝7760（千克），
答：用样本平均数估计甲乙两座山小枣产量总和为7760千克．
23． 证：（1）如图1，
连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACD＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵NM⊥AC，
∴∠AMN＝90°，
∴∠DAC+∠ADM＝90°，
∴∠ODA+∠ADM＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）由（1）知，
∠ADC＝90°，BD＝CD，
∴∠ADC＝∠DMC＝90°，
∵∠ACD＝∠DCM，
∴△CMD∽△CDA，
∴＝，
∴CD2＝AC CM，
∴BD2＝AC CM，
在△BGD和△MCD中，
，
∴△BGD≌△CDM（AAS），
∴BG＝CM，
∴BD2＝AC BG；
（3）如图2，
连接OD，OC，
由（1）∠ODN＝90°，
∵OD＝OB＝BN＝1，
∴cos∠DON＝＝，
∴∠DON＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，OC＝AC cos60°＝，
∴tan∠ANC＝＝．
24． 解：（1）由图象和题意可知M、N两地之间公路路程是300km；
乙车的速度为：＝60（km/h），
甲车的速度是：210÷（3﹣）﹣60＝80（km/h），
∴m＝（3﹣）×80÷60+3＝5h，
故答案为：300，60，5；
（2）设EF的表达式为：s＝kt+b（≤t≤3），
将（，210）、（3，0）代入表达式得，
，
解得：
∴s＝﹣140t+420（≤t≤3），
（3）两车相遇前：（300﹣140﹣×60）÷（60+80）＝h，
两车相遇后：140÷（60+80）+（3﹣）＝h，
故甲车出发h或h，两车相距140km．
25． 解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），
则有：，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4）+5+4＝﹣（x﹣2）2+9，
∴二次函数的解析式化为y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点M的坐标为（2，9）；
（3）存在，理由如下：
如图，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接PA，此时PA+PC的值最小．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣5）（x+1）知A（﹣1，0），B（5，0），
∵B（5，0），C（0，5），设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则有
，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．
∵抛物线的对称轴x＝2，
∴P（2，3）．
26． 解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°﹣∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°﹣∠DAP＝120°﹣∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC．
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝＝＝2，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP＝×（2）2＝7，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，
∴S△AEP＝×（2）2＝31，
综上所述，△AEP的面积为7或31．
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