专题08 数学文化
一、选择题（共12小题）
1．（2023秋 沈河区期末）《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数的著作．书中对开方开不尽的数叫做“面”．例如面积为3的正方形的边长为3“面”，关于3“面”的说法正确的是
A．它是无限循环小数 B．它是0和1之间的实数
C．它不存在 D．它是1和2之间的实数
2．（2023 永城市二模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，李约瑟称它是“东方最古老的消遣品之一”，图1是边长为4的大正方形，图2是王林同学将其分割制作的七巧板摆拼而成的“奔跑者”图，则图2中阴影部分的面积为
A．4 B． C．6 D．
3．（2022春 巴彦县期末）象棋，作为中国传统棋类益智游戏，用具简单，趣味性强，深受大众喜爱，其“马走日，相走田，小卒一去不会返”的口诀也被很多人熟知．如图，是一盘象棋的一部分，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，象棋中小正方形的边长视为一个单位长度，若“马”的坐标，“相”的坐标为，则“炮”的坐标为
A． B． C． D．
4．（2023 南昌二模）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为
A．9 B．8 C．6 D．4
5．（2023春 义乌市校级期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是
A．20 B．21 C．22 D．23
6．（2021秋 张店区期末）把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”图①，是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其的值为
A．2 B． C． D．
7．（2023秋 福清市期末）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作
A． B． C． D．
8．（2023秋 临邑县期末）四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买橡多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株橡．每株脚钱三文足，无钱准与一株橡”大意是：现请人代买一批橡，这批橡的价钱为6210文．如果每株橡的运费是3文，那么少拿一株橡后，剩下的橡的运费恰好等于一株橡的价钱，试问6210文能买多少株橡？（橡，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批橡有株，则符合题意的方程是
A． B． C． D．
9．（2023秋 保定期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中表示
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对
10．（2023秋 获嘉县期末）中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有辆车，则下列符合题意的方程是
A． B． C． D．
11．（2023秋 成都期末）我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载著这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，根据题意所列方程正确的是
A． B． C． D．
12．（2023秋 宁津县期末）为非负整数）当，1，2，3，时的展开情况如下所示：
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是
A．128 B．256 C．512 D．1024
二、填空题（共12小题）
13．（2023秋 江岸区期中）“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：．现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 ．
14．（2023秋 郑州期末）窗花是我国民间传统剪纸艺术，如图，蝴蝶窗花可以看作轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，对称轴是轴，，是一对对应点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
15．（2023秋 临渭区期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和相等，如表是一个未完成的幻方，则的值为 ．
21
5
19
16．（2022 于都县模拟）中国古代最初用“三分损益法”确定宫、商、角、徵、羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则的值是 ．
17．（2022 凤翔县一模）《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”，大约成书于公元前200年公元前50年，其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3400钱；每人出300钱，则多出100钱．问人数、金价各是多少？如果设有个人，那么可以列方程为 ．
18．（2023秋 仁寿县期末）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，，分别记为，，，，那么．的值是 ．
19．（2023秋 鹿城区校级期中）中国古代有一种求算术平方根的方法，称为开方术，该方法的原理是利用二项式定理，对根式逐位估值．假设为被开方数，为首根，为次根，若将根记为，则．以789.61为例：
（1）分节定位：以小数点为基准，每两位分一节得7，89，61；
（2）估首根：考虑被开方数的首节7，由于，故首根为2，由于，故继续开方；
（3）估次根：考虑余数的第一、二节389，考虑，尝试估出次根；
（4）重复如上操作．
则3757.69的算术平方根为 ．
20．（2023秋 邳州市期中）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是 个．
21．（2023秋 乐至县校级期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数．
根据上述规律， ．
22．（2023秋 北流市期末）《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”．《九章算术》大约成书于公元前200年公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章．
《九章算术》中有这样一个问题：
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？
其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱．问人数、金价各是多少？如果设有个人，那么可以列方程为 ．
23．（2023秋 博兴县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和的展开式（按的次数由大到小的顺序）的各项系数．例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，此三角形称为“杨辉三角”．若根据“杨辉三角”的特征写出的展开式，则其第三项的系数为 ．
24．（2023秋 晋安区期末）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，记，，，，那么的值是 ．
三、解答题（共12小题）
25．（2022秋 扶风县期末）饺子源于古代的角子，饺子原名“娇耳”，一个饺子皮加馅就可以做一个饺子．中国北方还流行一种面食一合子，含有团团圆圆的美好寓意，在两层饺子皮中间加一层馅，就可以包成一个合子．“元旦”这天，妈妈走进书房对正在学习的小刚说；“妈妈刚才在厨房包饺子，结果面和多了，做了106个饺子皮，最后包的饺子和合子一共是98个．”小刚说：“妈妈，我能用学过的数学知识列一元一次方程，求出妈妈包的饺子和合子分别是多少．”请你写出小刚的解答过程．
26．（2021秋 鼓楼区校级期中）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳五折测之，绳少一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成五等份，那么每等份绳长比水井深度少一尺．问绳长和井深各多少尺？
27．（2023秋 梁山县期末）列方程解应用题
我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数与车数．
28．（2023秋 海珠区期末）请阅读下列材料，并解答相应的问题：
“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图，是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．
表1
4 9 2
3 5 7
8 1 6
表2
表3
8 10
2
（1）设表2三阶幻方中间的数字是，用的代数式表示幻方中9个数的和为 ；每一行三个数的和为 ；
（2）表3是一个三阶幻方，那么标有的方格中所填的数是多少？请写出解题过程．
（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图2所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，，，求的值．
29．（2023 合肥模拟）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一
雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别
聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，
如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？
30．（2023 烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
31．（2023 金安区一模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗翻酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？
32．（2023 北湖区校级开学）“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果是九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？
33．（2022秋 城关区校级期末）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？
34．（2023秋 峡江县期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：．
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图，即“一线三等角”模型和“字”模型．
（1）请在图2中选择其中一个模型进行证明．
【模型应用】
（2）如图3，正方形中，，，求的面积．
（3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积．
35．（2023秋 碑林区校级期末） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
36．（2023秋 驿城区校级期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，．
（1）请你利用这个图形，推导勾股定理：；
（2）若直角三角形的面积为54，，求小正方形的边长．
一、选择题（共12小题）
1．【答案】
【解答】解：，
，
“面”它是1和2之间的实数，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：将图1都分割成最小的三角形，发现一共可以分成16个．
又图2中的阴影部分可以分割成6个这样的小三角形，
所以阴影部分的面积占正方形面积的．
又正方形的边长为4，则面积为16．
所以阴影部分的面积为：．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：由“马”的横坐标是4，“相”的纵坐标为3，
可求得该平面直角坐标系的原点如图中点，
“炮”的坐标为，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：第一行的数字之和是15，
第一行第一个数字为，
第三列的数字之和是15，
三列最后一个数字为，
斜对角线的数字之和也为15，
三列最后一个数字为，
，
解得：．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：设九宫格最中间的数为，
根据题意知，，
即，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：一条对角线上的数字之和为：．
每行、列、对角线上的数字之和相等，
最右一列最下面格上的数组为：．
．
．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：这批椽有株，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
一株椽的价格为文，
根据题意得：．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，
表示慢马的速度，表示快马的速度；
把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，
表示规定的时间．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：由题意可得，．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：依题意得：．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
当时展开式所有系数的和为．
故选：．
二、填空题（共12小题）
13．【答案】．
【解答】解：
，
故答案为：．
14．【答案】．
【解答】解：点的坐标为，与点关于轴对称，
点的坐标为，
故答案为：．
15．【答案】9．
【解答】解：根据题意，得第一行最左边的数是，
第二行中间的数是，
第二行最左边的数是，
第三行最左边的数是，
，
解得，
故答案为：9．
16．【答案】54．
【解答】解：根据题意可得，
，
解得：．
故答案为：54．
17．【答案】．
【解答】解：设有个人，
依题意，得：．
故答案为：．
18．【答案】．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
19．【答案】613．
【解答】解：
故答案为：613．
20．【答案】183．
【解答】解：由题意可得：（个，
即这位古人当天采摘果实的个数是183个，
故答案为：183．
21．【答案】．
【解答】解：．
故答案为：．
22．
【解答】解：设有个人，
依题意，得：．
故答案为：．
23．【答案】45．
【解答】解：根据“杨辉三角”的特征可得：
的第三项的系数为0，
的第三项的系数为0，
的第三项的系数为1，
的第三项的系数为，
的第三项的系数为，
的第三项的系数为，
，
的第三项的系数为，
故答案为：45．
24．【答案】0．
【解答】解：由题知，
所选取的这列数为：1，3，6，10，15，，
因为；
；
；
；
；
，
所以这列数的第个数可表示为：；
当时，
，
即．
当时，
，
即．
所以．
故答案为：0．
三、解答题（共12小题）
25．【答案】90个，8个．
【解答】解：设妈妈包了个饺子，由题意得：
，
，
，
（个，
答：妈妈包的饺子和合子分别是90个，8个．
26．【答案】绳长是尺，井深是尺．
【解答】解：设井深为尺，则绳长为：，依题意得：
．
解得，
则．
答：绳长是尺，井深是尺．
27．【答案】有39人，有车15辆．
【解答】解：设有人，则有车辆，根据题意得：
，
解得，
有车（辆，
答：有39人，有车15辆．
28．【答案】（1），；
（2）21，解答过程见解析；
（3）．
【解答】解：（1）由题意可得，幻方中9个数的和为，
每一行三个数的和为．
故答案为：，；
（2）如图，设第三行第一列的数为，中间数为，
8 10
2
由题意得，
解得，
又，
，
，
；
（3），，，
．
29．【答案】每只雀重斤，每只燕重斤．
【解答】解：设每只雀重斤，每只燕重斤，
根据题意，得，
解得，
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
30．【答案】（1）《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
31．【答案】清酒、醐酒各2斗．
【解答】解：设清酒有斗，则醐酒有斗．
根据题意，得，
．
答：清酒2斗，醐酒有2斗．
32．【答案】甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱．
【解答】解：设甜果买了个，苦果买了个，依题意得：
，
解得：，
，．
答：甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱．
33．
【解答】解：设快马天可以追上慢马，
依题意，得．
解得．
答：快马18天可以追上慢马．
34．【答案】（1）证明见解析过程；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：例如选第一个图形可证（同理可证第二个），如图2，
，，
，
又，，
；
（2）解：过作延长线的垂线，垂足为，
则由（1）易得
，
，
即边上的高为4，
．
（3）解：分别过和作延长线的垂线、，垂足分别为、，
则由（1）易得，
又四边形是矩形，
，
，
，即边上的高为1，
．
35．【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）25．
【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积，
整理得，；
（2）在中，，，，
，
，
；
（3）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
，，
，
，
，
即的值为25．
36．【答案】（1）见解答；
（2）3．
【解答】解：（1）正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，，
，
整理，得；
（2）直角三角形的面积为54，，
，，
，
小正方形的面积，
小正方形的边长为3．
