专题05 几何探究
一、填空题（共7小题）
1．（2023秋 太原期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，已知，射线在的内部，射线在的内部，平分．
特例分析：（1）若，求的度数；
拓展探究：（2）在图1的基础上，作射线平分，得到图2．小宁提出如下问题，请你解答：
①若，则的度数为
②若的度数为，则的度数为 ；
2．（2023秋 和县期末）已知：在中，，，分别是线线段，上的一点，且，
（1）如图1，若，是中点，则的度数为 ；
（2）借助图2探究并直接写出和的数量关系 ．
3．（2023秋 福田区期末）某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，求此时电脑顶部边缘上升的高度为
4．（2023秋 桦甸市校级期末）已知，是一条角平分线．
【探究发现】如图①，若是的角平分线．可得到结论：．
小红的解法如下：
过点作于点，于点，过点作于点，
是的角平分线，且，，
．
．
又，
．
【类比探究】
如图②，若是的外角平分线，与的延长线交于点．
求证：．
5．（2023秋 石家庄期中）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】如图1，在和中，，，，连接，、延长交于点．则 ；
【类比探究】若，其余条件不变，则 ．
6．（2023 安徽模拟）矩形对角线的交点为，点在边上，点在的延长线上，连接，，，．试探究：
（1）如图1，若垂直平分，，，则的长为 ；
（2）如图2，若，，则的长为 ．
7．（2023 香洲区校级一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于，．则四边形是等补四边形．
探究与运用：如图2，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，若，，则的长为 ．
二、解答题（共21小题）
8．（2023秋 许昌期末）【教材呈现】
活动2用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点，，是网格线交点，请在网格中画出筝形；
【性质探究】
（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，，．
求证：．
证明：
（3）如图3，连结筝形的对角线，交于点．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明；
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数．
9．（2023秋 鹤壁期末）【问题探究】
（1）如图1所示，在锐角中，，于点，在上取点，连接，使，求证：；
【问题拓展】
（2）如图2所示，在问题探究的条件下，为的中点，连接并延长至点，使，连接，判断线段与的数量关系，并说明理由；
【问题延伸】
（3）在上述问题探究和问题拓展条件及结论下，在图2中，若连接，则为怎样的三角形？请说明理由．
10．（2023秋 运城期末）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，王老师展示了一个问题：
如图1，是等边三角形，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题：
特例探究：
（1）当点与点重合时，请在图2中利用尺规作图按上述要求补全图形，连接，请你判断此时四边形的形状并证明；
类比拓展：
（2）当点与点不重合时，如图（1），试猜想与之间的数量关系并加以证明；
问题解决：
（3）当，时，直接写出的长．
11．（2023秋 庆阳期末）如图，点为线段上一点，分别以，为底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，．
（1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若，延长交于点，探究与的关系，并说明理由．
12．（2024 柳州一模）李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点．
【猜想证明】
（1）当时，四边形的形状为 ；（直接写出答案）
（2）如图2，当时，连接，求此时的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在，使点，，三点共线．若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
13．（2023秋 博罗县期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．
特例探究：
（1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即当时，则的度数为 ；（直接写出答案，不写过程）
（2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即当时，请你在图3中求的度数；
数学思考：
（3）请你在图1中，求的度数（用含有的式子表示）．
14．（2023秋 章贡区期末）综合与探究
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若，则的度数是 ，的度数 ，的度数是 ．
②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．
【类比探究】
（2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．
15．（2023秋 遵义期末）如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，．
（1）如图①，若，，的长是 ，的长是 ；
（2）如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明；
（3）当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，请探究，，之间的数量关系．
16．（2023秋 夏津县期末）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，，可知，此时是等腰直角三角形；
【问题提出】（1）如图2，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点、，使得点、、是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
【问题探究】（2）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点点在第一象限内，若是等腰直角三角形，直接写出点的坐标；
【问题解决】（3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点是轴上的点，点在第一象限内，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点是轴上的一动点，求的最小值．注：在平面直角坐标系内，，，则．
17．（2023秋 淅川县期末）综合与实践．
如图所示：是等边三角形，是边的中点，点在直线上运动，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点，试探究线段与的数量关系及的大小．
（1）初步探究：如图①，当点在线段上时，请直接写出：
①与的数量关系为 ；
② ；
（2）深入探究：如图②，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点在线段的延长线上时，若等边三角形的边长为8，，，请你直接写的长度．
18．（2023秋 中山市期末）综合与探究
问题情境：
如图，已知为的直径，点为上异于，的一点，过点作的切线，过点作于点，连接．
探究发现：
（1）证明：无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；
探究引申：
（2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；
探究规律：
（3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是： ．
19．（2023秋 新化县期末）（1）理解计算：如图①，，．射线平分，平分，求的度数；
（2）拓展探究：如图②，，，为锐角）．射线平分，平分，求的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段，延长线段到，使得，点，分别为，的中点，求的长．
20．（2023秋 阎良区期末）【基础巩固】
（1）已知等边内接于，点为上的一个动点，连接、、．
①如图1，当线段经过圆心时， ；（填“”“ ”或“”
②如图2，点为的任意一点（点不与点、点重合），试探究线段，，之间满足的等量关系，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图3，内接于，，点是上一点，连接，作于点，在上截取，连接并延长交于点，连接，，求的长．
21．（2023秋 赣州期末）再学习完三角形全等的判定方法，，，和直角三角形全等的判定方法后，裘老师带领欧谭数学兴趣小组继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究．
【提出问题】
（1）是角平分线上的点，在、上各取一点、．如图1，若取，，此时显然与不全等．但是与有一定的数量关系，请猜想与的数量关系 ．
（2）欧谭兴趣小组对图1进行继续研究，他们在图1的基础上绘制了图2、图3，请选择一个图形并添加一个条件，并证明（1）的结论．
你选择图 ，添加的条件是 ．
证明：
【拓展探索】
（3）如图4，在中，为的中点．，分别在，上，且．
求证：．
22．（2023秋 枣庄期末）综合与实践：【问题情境】：为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中，，．
【探究实践】：老师引导同学们在边上任取一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点，．老师让同学们探究：当点在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．
（2）如图3，小明发现：“当是的中点时，延长交于点，连接，则是的中点”．请你分别判断两人的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】：
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．
23．（2024 道里区校级开学）如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
（1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．
（2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上．连结，若，，求菱形的面积．
24．（2023秋 西峡县期末）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
（2）探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
（3）拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
25．（2023秋 大洼区期末）在等边中，，点是边上的点（不与点，重合），连接．
【初步感知】如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：；
【深入探究】如图②，是的外角的角平分线，若，求证：；
【拓展运用】如图②，当的周长取最小值时，求的长．
26．（2023秋 沙坪坝区校级期末）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．
已知：在四边形中，，，平分，平分．
求证：．
证明：平分，
．
，
．
，
．．
在和中，
，
．
．
同理可得：
．
小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么 ．
27．（2023秋 陵城区期末）【问题背景】在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ；
【解决问题】
（2）如图2，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标；
【类比迁移】
（3）如图3，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（4）如图4，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，请求出与的面积之和．
28．（2023秋 遂川县期末）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点，．
操作发现
（1）当时，的度数为 ，的度数为 ；
数学思考
（2）连接，当为中点时，求证：；
拓展应用
（3）若，是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．
一、填空题（共7小题）
1．【答案】（1）；（2）①，②90．
【解答】解：（1），，
，
平分，
，
；
所以的度数为；
（2）①，，
，，
平分，平分，
，，
；
的度数为；
故答案为：；
②，
，，
平分，平分，
，，
；
的度数为．
故答案为：90．
2．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），，
，
，
，，是中点，
，
，
即，
；
故答案为：．
（2），，
，
，
，
，
，
即，．
故答案为：．
3．【答案】13．
【解答】解：根据题意，得，，，
在中，由勾股定理，得，
，
，，
在中，由勾股定理，得，
此时电脑顶部边缘上升的高度为：．
故答案为：13．
4．【答案】【探究发现】；；；
【类比探究】证明过程见解答．
【解答】解：【探究发现】如图①，若是的角平分线．可得到结论：，
小红的解法如下：
过点作于点，于点，过点作于点，
是的角平分线，且，，
，
，
又，
，
故答案为：；；；
【类比探究】
证明：过点作于，过点作于，过点作于点，
平分，
，
，
又，
．
5．【答案】（1）30；
（2）或．
【解答】解：（1）如图1，设交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：30．
（2）如图1，点在线段上，
，
，
在和中，
，
，
，
；
如图2，点在线段的延长线上，则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
6．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设与交于点，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，延长交于点，连接，
在矩形中，，，，
，
，
，，
，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，
．
，
故答案为：．
7．【答案】．
【解答】解：如图所示，连接，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
平分，
，
四边形是等补四边形，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
．
故答案为：．
二、解答题（共21小题）
8．【答案】【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析；
【概念理解】（1）见解析；
【性质探究】（2）见解析；
（3）有一条对角线平分一组对角（答案不唯一）；
（4）或．
【解答】解：【教材呈现】
猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和，
证明：，，，
，
，，，
即平分和，
垂直平分．
【概念理解】（1）如图1，四边形即为所求；
【性质探究】（2）如图2，连接，
在与中，
，
，
；
（3）有一条对角线平分一组对角（答案不唯一），
证明：在与中，
，
，
，，
即平分，；
【拓展应用】（4）分两种情况：①当四边形是筝形时，时，如图3，
；
②当四边形是筝形时，时，如图 4，
，
，
，
综上所述，或．
9．【答案】（1）证明见解答过程；
（2），理由见解析过程；
（3）是等腰直角三角形，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：为等腰直角三角形，理由如下：连接，
由（1）可知：，
，
由（2）可知：，
，
，
，
，即，
，
为等腰直角三角形．
10．【答案】（1）补全图形见解答，四边形是菱形，证明见解答；
（2），证明见解答；
（3）的长为1或3．
【解答】解：（1）如图2，分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，
四边形就是所求的图形．
理由：，
是等边三角形，
，
点与点重合，
，，
点、线段及四边形就是所求的图形．
四边形是菱形，
证明：是等边三角形，
，
由旋转得，，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形．
（2），
证明：如图1，连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
（3）的长为1或3，
理由：如图3，作于点，则，
，，
，，
，，
，且，，
，
解得或，
，
或，
的长为1或3．
11．【答案】（1），理由见解答过程；
（2），理由见解答过程．
【解答】解：（1）与的数量关系是：，理由如下：
、分别是以，为底边的等腰三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
在和
，
，
；
（2）与的关系是：，理由如下：
由（1）可知：，，
，
，
，，
又，
，
，
．
12．【答案】（1）正方形；
（2）；
（3）或．
【解答】解：（1）如图1，
四边形是矩形，
，
将边绕点逆时针旋转得到线段，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
故答案为：正方形；
（2）如图2，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，当点在上时，连接，
，，，
，
，
设，则，
根据旋转的性质得：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：；
如图4，当点在的延长线上时，
同理，，
设，则，，
，
解得：，
综上所述，或．
13．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解答】解：（1）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
；
故答案为：；
（2）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
；
（3）因为，所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以
．
14．【解答】解：（1）①，
；
②，；
（2）答：当与没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．
理由：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，．
所以上述②中发现的结论依然成立．
故答案为：，，．
15．【答案】（1），；
（2），证明见解析；
（3）第（2）问中的结论不成立，．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
故答案为：，；
（2），证明如下：
如图②，延长至，使，连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
；
（3）第（2）问中的结论不成立，，理由如下：
如图③，在上截取，连接，
同（2）得：，
，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
16．【答案】（1）见解析．
（2）；，；
（3）．
【解答】解：（1）如图，以点为圆心长为半径作弧交于点，
以点为圆心，长为半径作弧交于点，
连接，，．
点、即为所求；
（2）如图，当，时，
过点作于点，过点作于点，
点，点，
，，，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
点坐标为；
如图，当，时，
过点作，过点作交延长线于点，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
点坐标为；
如图，当，时，
过点作于点，过点作于点，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
点坐标，，
综上所述：点坐标为：、、，；
（3）点，点，，
，，
过作轴于，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则此时的值最小，且等于，
过作轴于，
则四边形是矩形，
，，
点关于轴的对称点，
，
，
，
故的最小值为．
17．【答案】（1）①；
②；
（2）（1）中的结论还成立，理由见解答过程；
（3）．
【解答】解：（1）①和是等边三角形，
，，，
，，
，
，
；
故答案为：；
②点是边的中点，是等边三角形，
，，
由①可知，
，
，
；
故答案为：；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（3）是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，
即，
在和中，
，
，
，，
是等边三角形，是的中点，
，，
，，
，
，
．
18．【答案】（1）见解答；
（2）．理由见解答；
（3）．
【解答】（1）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；
（2）解：．
理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
；
（3）解：为正三角形，
，，
，
，
，，
，
，
而，
．
故答案为：．
19．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解答】解：（1），
射线平分，
，
平分，
，
．
（2），
射线平分，
，
平分，
，
．
（3），，
，
点，分别为，的中点，
，，
．
故答案为：．
20．【答案】（1）①；②，理由见解析过程；
（2）5．
【解答】解：（1）①是直径，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
故答案为：；
②，理由如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），，
，
，
又，，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）；
（2）2，于点，于点，证明见解答；（答案不唯一，如：3，在上截取，连接，证明见解答）
（3）证明见解答．
【解答】（1）解：观察图形，可猜想与互补，
故答案为：．
（2）解：选择图2，添加条件：于点，于点，
证明：于点，于点，
，
是角平分线上的点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：2，于点，于点．
注：答案不唯一，
选择图3，添加条件：在上截取，连接，
证明：是角平分线上的点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3，在上截取，连接，
（3）证明：如图4，延长到点，使，连接、，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
．
22．【答案】（1）小莹的结论正确，理由见解析；
（2）小明的结论正确，理由见解析；
（3）6．
【解答】解：（1）小莹的结论正确，
理由：将沿翻折，点的对应点为，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
故小莹的结论正确；
（2）小明的结论正确，
理由：，，
，
将沿翻折，点的对应点为，
，，，
，，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
在与中，
，
，
，
，
是的中点，
故小明的结论正确；
（3）是的中点，
，
，，
，
，
，
由（2）知，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
23．【答案】（1）证明见解析；
（2）25．
【解答】【问题解决】
解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，
四边形是矩形 （有三个角是直角的四边形为矩形），
由折叠的性质得：，
四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），
故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形，，有一组邻边相等的矩形是正方形；
【问题拓展】
连接，
四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
，，
，
故答案为：25．
24．【答案】（1），2；
（2），理由见解析过程；
（3）．
【解答】解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
△，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
△，
，
，即，
故答案为：，2；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
，即；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
△，
，
，，
△，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．
25．【答案】【初步感知】见证明过程；
【深入探究】见证明过程；
【拓展运用】．
【解答】【初步感知】
证明：，
，
等边，
，，
即，
，
在和中，
，
，
；
【深入探究】
证明：在上取，连，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，又，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
；
【拓展运用】
解：由（2）知，
，，
周长，
当最小时，的周长最小，
故时，最小，
如图：
由三线合一得．
26．【答案】，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
【解答】解：，见作图；
证明：平分，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
故答案为：，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．
27．【答案】（1）；
（2）；
（3）问题（1）中结论仍然成立，理由见解答过程；
（4）4．
【解答】解：（1），
，
，
又，，
，
，，
，
故答案为：；
（2）如图2，过作轴于点，过轴于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，
同理（1），，
，，
，
点的坐标为；
（3）问题（1）中结论仍然成立，理由如下：
，
，
，
又，，
，
，，
；
（4）解：，，
，
在和中，
，
，
，
设的底边上的高为，则的底边上的高为，
，，
，
，
，
与的面积之和为4．
28．【答案】（1），；
（2）；
（3）存在，的最小值是5．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）过点作交延长线于，于，则，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形为矩形，
将逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，，
为的中点，
，
，
四边形为正方形
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）存在．
连接，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理可知，
当取最小值时，有最小值，
而，
当取最大值时，有最小值时，
即：当取最大值时，有最小值，
设，，则，
由（2）可知，，
，
，
，
，
时，有最大值1，
此时，，则，
，
即：当时，存在最小值，此时取得最小值为5．
