2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中九年级（上）期末数学试卷（元月调考）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）⊙O的半径是5cm，圆心O到直线a的距离为8cm，直线a与⊙O的公共点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
4．（3分）解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后得到（x﹣3）2＝p，则p的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
5．（3分）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ）
A．2x2﹣3x+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣3x+1＝0
6．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+2x﹣3上．当x1＜﹣3，﹣1＜x2＜0，0＜x3＜1时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
7．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 …
那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
8．（3分）甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”、“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，将△ABC绕顶点A顺时针旋转，得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则旋转角的大小是（ ）
A．51° B．52° C．53° D．54°
10．（3分）如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.
11．（3分）写出一个两根是互为相反数的一元二次方程 ．
12．（3分）如图，阴影部分是分别以正方形ABCD的顶点和中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的概率是 ．
13．（3分）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是18cm，∠P＝50°，则的长是 cm．
14．（3分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（m，0），（2，0），其中0＜m＜1．下列结论：
①bc＞0；
②2b+3c＜0；
③不等式的解集为0＜x＜2；
④若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣2）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a．
其中正确的是 ．（填写序号）
16．（3分）如图是某游乐场一个直径为50m的圆形摩天轮，最高点距离地面55m，其旋转一周需要12分钟．圆周上座舱P距离地面50m处，逆时针旋转5分钟后，距离地面的高度是 m（结果根据“四舍五入”法精确到0.1）．（参考数据：≈1.732）
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）关于x的一元二次方程x2+bx﹣12＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点．
（1）画出△ABD关于点D对称的图形；
（2）若AB＝6，AD＝4，AC＝10，求证：∠BAD＝90°．
19．（8分）一个不透明的布袋中装有红、白两种颜色的袜子各一双，它们除颜色外其余都相同．
（1）从布袋中随机摸出一只袜子，直接写出颜色是白色的概率；
（2）用列表或画树状图法，求从布袋中随机一次摸出两只袜子恰好是同色的概率．
20．（8分）如图，A，B，C，D是⊙O上四点，AC＝AB．
（1）如图（1），∠BAC＝60°，BD是直径，BD交AC于点E．若BD＝d，先用含字母d的式子直接表示CD和DE的长，再比较CD+DE与BE之间的大小；
（2）如图（2），过点A作AE⊥BD，垂足为E．若CD＝3，DE＝1，求BE的长．
21．（8分）用无刻度的直尺完成下列画图．
（1）如图（1），△ACD的三个顶点在⊙O上，AC＝AD，∠CAD＝36°，F是AC的中点．先分别画出CD，AD的中点G，H，再画⊙O的内接正五边形ABCDE；
（2）如图（2），正五边形ABCDE五个顶点在⊙O上，过点A画⊙O的切线AP．
22．（10分）某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点．
（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；
（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；
（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．
23．（10分）在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一动点（不与点B重合），连接CE，DE．
（1）如图（1），AB＝BC，∠ABC＝∠DCE＝60°，求证：AD＝BE．
（2）如图（2），CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝45°．
①通过特例可以猜想一般结论．请你画出一个符合条件的特殊图形，猜想AD与BE的数量关系；
②在一般情形下，证明你的猜想．
24．（12分）如图（1），抛物线L1：y＝x2﹣6x+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．将抛物线L1向左平移a（a＞0）个单位得到抛物线L2，C是抛物线L2与y轴的交点．
（1）求c的值；
（2）过点C作射线CD∥x轴，交抛物线L1于点D，E两点，点D在点E的左侧．若DE＝2CD，直接写出a的值；
（3）如图（2），若C是抛物线L2的顶点，直线y＝mx与抛物线L2交于F，G两点，直线y＝nx分别交直线CF，CG于点M，N．若OM＝ON，试探究m与n的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
【解答】解：硬币落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，这个事件是随机事件，
故选：C．
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
3．（3分）⊙O的半径是5cm，圆心O到直线a的距离为8cm，直线a与⊙O的公共点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距离为8cm，5＜8，
∴⊙O与直线a的位置关系是相离，直线a与⊙O的公共点个数是0个，
故选：A．
4．（3分）解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后得到（x﹣3）2＝p，则p的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
【解答】解：∵x2﹣6x﹣4＝0，
∴x2﹣6x＝4，
则x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴p＝13，
故选：A．
5．（3分）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ）
A．2x2﹣3x+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣3x+1＝0
【解答】解：A、∵在2x2﹣3x+1＝0中，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∵＝，
∴该方程的两个实数根不是互为倒数；故选项A不合题意；
B、在方程x2﹣x+1＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，故选项B不合题意；
∴该方程有两个相等的实数根；
C、∵在方程x2+x﹣1＝0中，Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∵＝﹣1，
∴该方程的两个实数根不是互为倒数；故选项C不合题意；
D、∵在方程x2﹣3x+1＝0中，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∵＝1，
∴该方程的两个实数根是互为倒数；故选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+2x﹣3上．当x1＜﹣3，﹣1＜x2＜0，0＜x3＜1时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），
当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（1，0），（﹣3，0），
∴x1＜﹣3，﹣1＜x2＜0，0＜x3＜1，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
7．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 …
那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
【解答】解：∵x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.29；
x＝1.3时，y＝ax2+bx+c＝0.14；
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，且更靠近点（1.3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.27．
故选：C．
8．（3分）甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”、“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
共有18种等可能的结果，其中取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的结果有：（数，学，美），（数，美，学），（学，数，美），（学，美，数），共4种，
∴取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的概率为＝．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，将△ABC绕顶点A顺时针旋转，得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则旋转角的大小是（ ）
A．51° B．52° C．53° D．54°
【解答】解：∵将△ABC绕顶点A顺时针旋转，得到△ADE．
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE＝64°，旋转角为∠BAD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵AE∥BC，
∴∠BDA＝∠DAE＝64°，
∴∠BAD＝180°﹣64°﹣64°＝52°．
故选：B．
10．（3分）如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设大圆的半径为R，则小圆的半径都为R，
根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体，
∴圆锥的底面圆的周长等于2πR＝πR，
扇形弧长为：＝πR，
∴n＝180°，
∴扇形圆心角等于180°，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.
11．（3分）写出一个两根是互为相反数的一元二次方程 x2﹣1＝0 ．
【解答】解：∵两根互为相反数的一元二次方程的一次系数为0，
∴满足条件的一元二次方程为x2﹣1＝0．
故答案为x2﹣1＝0．
12．（3分）如图，阴影部分是分别以正方形ABCD的顶点和中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的概率是 ．
【解答】解：如图，令正方形的边长为2a，
则阴影部分的面积为2××π a2+2（a2﹣×π a2）＝πa2+2a2﹣πa2＝2a2，
所以针头落在阴影部分区域内的概率是＝．
故答案为：．
13．（3分）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是18cm，∠P＝50°，则的长是 23π cm．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接AO、BO，
∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝130°，
∴优弧对应的圆心角为360°﹣130°＝230°，
∴优弧的长是：，
故答案为：23π．
14．（3分）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 50% ．
【解答】解：设“衰分比”是a．
乙分配的奖金：100（1﹣a）；
丙分配的奖金：100（1﹣a）（1﹣a）
∴100+100（1﹣a）+100（1﹣a）（1﹣a）＝175，
a＝0.5或a＝2.5（不符合题意，舍去），
故答案为：50%．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（m，0），（2，0），其中0＜m＜1．下列结论：
①bc＞0；
②2b+3c＜0；
③不等式的解集为0＜x＜2；
④若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣2）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a．
其中正确的是 ②③④ ．（填写序号）
【解答】解：如图，
∵a＞0，抛物线与x轴交于点（m，0），（2，0），
∴抛物线的对称轴在y的右侧，∴a、b异号，
∴b＜0，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∵c＞0，
∴bc＜0，所以①错误；
把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得4a+2b+c＝0，
∴a＝，
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴+b+c＜0，
即2b+3c＜0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
直线y＝﹣x+c经过点（0，c），（2，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣x+c相交于点（0，c），（2，0），
∵0＜x＜2时，ax2+bx+c＜﹣x+c，
∴不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（m，0），（2，0），
∴抛物线解析式可设为y＝a（x﹣m）（x﹣2），
当直线y＝﹣1与抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣2）有交点时，关于x的方程a（x﹣m）（x﹣2）＝﹣1有实数根，
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣1的下方或在直线y＝﹣1上，
即≤﹣1，
而a＞0，
∴b2﹣4ac≥4a，所以④正确．
故答案为：②③④．
16．（3分）如图是某游乐场一个直径为50m的圆形摩天轮，最高点距离地面55m，其旋转一周需要12分钟．圆周上座舱P距离地面50m处，逆时针旋转5分钟后，距离地面的高度是 21.2 m（结果根据“四舍五入”法精确到0.1）．（参考数据：≈1.732）
【解答】解：如图，设⊙O为摩天轮，MN为地面，AB为它的直径，且AB⊥MN于点C，由题意得：AB＝50m，AC＝55m，则BC＝5m，OC＝30m．
圆周上座舱P距离地面50m处，逆时针旋转5分钟后旋转到点P′处．
∵摩天轮旋转1周需要12分钟，
∴每分钟旋转360°÷12＝30°，
∴5分钟转过150°，
∴∠POP′＝150°．
连接OP，过点P作PE⊥MN于点E，则PE＝50m，延长P′O交PE于点F，则∠POF＝30°，过点O作OG⊥PE于点G，过点P作PD⊥AB于点D，过点P′作P′K⊥AB于点K，P′H⊥MN于点H，
∵OG⊥PE，AB⊥MN，PE⊥MN，
∴四边形OCEG为矩形，
∴EG＝OC＝30m，
∴PG＝PE﹣GE＝50﹣0＝20m．
同理：四边形ODPG为矩形，
∴OD＝PG＝20m，
∴PD＝OG＝＝15m．
过点F作FQ⊥OP于点Q，则FQ＝OF，
设FQ＝k，则OF＝2k，OQ＝k，PQ＝25﹣k，
∵∠PQF＝∠PGO＝90°，∠FPQ＝∠OPG，
∴△PQF∽△PGO，
∴，，
∴，
∴k＝．
∴OF＝2k＝．
∴，
∴PF＝，
∴FG＝PG﹣PF＝20﹣＝，
∵P′K⊥AB，OG⊥PE，AB∥PE，
∴∠OP′K＝∠FOG，
∵∠P′KO＝∠OGF＝90°，
∴△P′OK∽△OFG，
∴，
∴，
∴OK＝≈9.82m，
∴CK＝OC﹣OK＝21.18≈21.2m．
∵P′K⊥AB，P′H⊥MN，AB⊥MN于点C，
∴四边形P′HCK为矩形，
∴P′H＝CK＝21.2m，
∴座舱P距离地面的高度是21.2m，
故答案为：21.2．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）关于x的一元二次方程x2+bx﹣12＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣12，
解得t＝﹣6，b＝4，
即b的值为4，方程的另一个根为﹣6．
18．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点．
（1）画出△ABD关于点D对称的图形；
（2）若AB＝6，AD＝4，AC＝10，求证：∠BAD＝90°．
【解答】（1）解：如图，△A'CD即为所求．
（2）证明：∵△ABD与△A'CD关于点D对称，
∴△ABD≌△A'CD，
∴A'C＝AB＝6，A'D＝AD＝4，∠CA'D＝∠BAD，
∴AA'＝8，
∵AC＝10，
∴AC2＝AA'2+A'C2，
∴∠CA'D＝90°，
∴∠BAD＝90°．
19．（8分）一个不透明的布袋中装有红、白两种颜色的袜子各一双，它们除颜色外其余都相同．
（1）从布袋中随机摸出一只袜子，直接写出颜色是白色的概率；
（2）用列表或画树状图法，求从布袋中随机一次摸出两只袜子恰好是同色的概率．
【解答】解：（1）由题意得，从布袋中随机摸出一只袜子，颜色是白色的概率是＝．
（2）列表如下：
红 红 白 白
红 （红，红） （红，白） （红，白）
红 （红，红） （红，白） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
共有12种等可能的结果，其中从布袋中随机一次摸出两只袜子恰好是同色的结果有：（红，红），（红，红），（白，白），（白，白），共4种，
∴从布袋中随机一次摸出两只袜子恰好是同色的概率为＝．
20．（8分）如图，A，B，C，D是⊙O上四点，AC＝AB．
（1）如图（1），∠BAC＝60°，BD是直径，BD交AC于点E．若BD＝d，先用含字母d的式子直接表示CD和DE的长，再比较CD+DE与BE之间的大小；
（2）如图（2），过点A作AE⊥BD，垂足为E．若CD＝3，DE＝1，求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，BD是直径，
∴∠D＝∠BAC＝60°，∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，∠D＝60°，BD＝d，
∴cos∠D＝，sin∠D＝，
∴CD＝BD cos∠D＝d cos60°＝，BC＝BD sin∠D＝d sin60°＝，
∵∠BAC＝60°，AC＝AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠CEB＝180°﹣（∠ACB﹣∠CBD）＝180°﹣（60°+30°）＝90°，
在Rt△BCE中，∠CBD＝30°，BC＝，
∴cos∠CBD＝，
∴BE＝BC cos∠CBD＝ cos30°＝，
∴DE＝BD﹣BE＝d﹣＝，
∴CD+DE＝+＝，
∴CD+DE＝BE；
（2）过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AD，如图所示：
∴∠ABD＝∠ACD，即∠ABE＝∠ACF，
∵AE⊥BD，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠F＝90°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE＝AF，BD＝CF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴DE＝DF，
∵CD＝3，DE＝1，
∴CF＝CD+DF＝CD+DE＝3+1＝4，
∴BE＝CF＝4．
21．（8分）用无刻度的直尺完成下列画图．
（1）如图（1），△ACD的三个顶点在⊙O上，AC＝AD，∠CAD＝36°，F是AC的中点．先分别画出CD，AD的中点G，H，再画⊙O的内接正五边形ABCDE；
（2）如图（2），正五边形ABCDE五个顶点在⊙O上，过点A画⊙O的切线AP．
【解答】解：（1）连接AO并延长交CD于G，连接DF交AG于K，连接CK并延长交AD于H，连接OF并延长交⊙O于B，连接并延长OH交⊙O于E，如图：
点G即为CD中点，点H即为AD中点，五边形ABCDE即为⊙O的内接正五边形；
理由：由圆和等腰三角形的对称性可知G为CD中点；
∵F是AC中点，
∴K为△ABC重心，
∴H为AD中点；
∵AC＝AD，∠CAD＝36°，
∴∠ACD＝∠ADC＝72°，＝，＝72°，
∵F为AC中点，H为AD中点；
∴＝＝＝＝72°，
∴＝＝＝＝，
∴CD＝AB＝BC＝AE＝DE，
∴五边形ABCDE即为⊙O的内接正五边形；
（2）延长BA，DE交于M，连接OM交AE于N，连接BN，CE并延长交于P，过A，P作直线AP，如图：
直线AP即为所求；
理由：由圆和正五边形的对称性可知，N为AE的中点，
∵正五边形每个内角为108°，
∴∠ABC＝∠BCD＝108°＝∠CDE，
∴∠ECD＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠BCE＝72°，
∴∠ABC+∠BCE＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠BAN＝∠NEP＝108°，∠ABN＝∠EPN，
∴△ABN≌△EPN（AAS），
∴AB＝PE，
∴AE＝AB＝PE，
∴∠EAP＝∠EPA＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠OAB＝∠OAE＝108°÷2＝54°，
∴∠OAE+∠EAP＝90°，
∴OA⊥AP，
∵OA是⊙O半径，
∴直线AP是⊙O的切线．
22．（10分）某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点．
（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；
（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；
（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．
【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴．
∴．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）工程车不能正常通过．理由如下：
∵工程车高5m，
∴令y＝5，即5＝﹣x2+2x+3．
∴x＝3±．
∴纵坐标为5时，两点的距离为3+﹣（3﹣）＝2≈3.46＜4．
故高5m，顶部宽4m的工程车不能正常通过．
（3）由题意，如图，
设A（m，﹣m2+2m+3）．
当OB＝3时，令y＝3＝﹣m2+2m+3，
∴m＝0或m＝6．
∴B（0，﹣m2+2m+3）．
∵B在墙面上，
∴m≥6．
由AB+AC＝m﹣m2+2m+3
＝﹣m2+3m+3
＝﹣（m﹣）2+，
又当m＞时，（AB+AC）的值随m的增大而减小，
∴当m＝6时，（AB+AC）取最大值，最大值为9．
∴钢架BAC的最大长度为9m．
23．（10分）在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一动点（不与点B重合），连接CE，DE．
（1）如图（1），AB＝BC，∠ABC＝∠DCE＝60°，求证：AD＝BE．
（2）如图（2），CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝45°．
①通过特例可以猜想一般结论．请你画出一个符合条件的特殊图形，猜想AD与BE的数量关系；
②在一般情形下，证明你的猜想．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝∠ABC，
∴△BCE≌△ACD（ASA），
∴AD＝BE；
（2）①解：猜想：BE＝AD，
证明：连接AC，当AB⊥AC时，如图，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠ABC，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
∴BE＝AD；
②证明：过点D作DF⊥AD，交BA的延长线于F，
∵AD∥BC，∠ABC＝∠DCE＝45°．
∴∠FAD＝∠ABC＝45°，∠CEB+∠BCE＝45°．
∴∠F＝∠FAD＝45°，
∴∠ABC＝∠F＝45°，AD＝FD，
∵CD＝ED，∠DCE＝45°．
∴∠CED＝45°．
∴∠CDE＝90°，∠CEB+FED＝135°，
∴CE＝ED，∠BCE＝∠FED，
∴△BCE∽△FED，
∴，
∴BE＝FD，
∵AD＝FD，
∴BE＝AD．
24．（12分）如图（1），抛物线L1：y＝x2﹣6x+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．将抛物线L1向左平移a（a＞0）个单位得到抛物线L2，C是抛物线L2与y轴的交点．
（1）求c的值；
（2）过点C作射线CD∥x轴，交抛物线L1于点D，E两点，点D在点E的左侧．若DE＝2CD，直接写出a的值；
（3）如图（2），若C是抛物线L2的顶点，直线y＝mx与抛物线L2交于F，G两点，直线y＝nx分别交直线CF，CG于点M，N．若OM＝ON，试探究m与n的数量关系．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣6x+c＝0，
∴xA+xB＝6，xA xB＝c，
∴AB＝＝4，
解得c＝5；
（2）∵c＝5，
∴抛物线L1的解析式为y＝x2﹣6x+5，
∵将抛物线L1向左平移a（a＞0）个单位得到抛物线L2，
∴抛物线L2的解析式为y＝（x﹣3+a）2﹣4，
∴C（0，a2﹣6a+5），
∵CD∥x轴，
∴D（3﹣，a2﹣6a+5），E（3+，a2﹣6a+5），
∴DE＝2，CD＝3﹣，
∵DE＝2CD，
∴2＝6﹣2，
解得a＝或a＝；
（3）∵C是抛物线L2的顶点，
∴3﹣a＝0，
解得a＝3，
∴抛物线L2的解析式为y＝x2﹣4，
设F（xF，﹣4），G（xG，﹣4），
当x2﹣4＝mx时，x2﹣mx﹣4＝0，
∴xF+xG＝m，
直线CF的解析式为y＝xFx﹣4，直线CG的解析式为y＝xGx﹣4，
当xFx﹣4＝nx时，M（，），
当xGx﹣4＝nx时，N（，），
∵OM＝ON，
∴xF+xG＝2n，
∴m＝2n．
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