8.2立体图形的直观图高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为
( )
A. B. C. D.
2.如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为
( )
A. B. C. D.
3.用斜二测画法作水平放置的的直观图，如图所示，其中是的边的中点，，分别与轴、轴平行，则三条线段，，中
( )
A. 最长的是，最短的是 B. 最长的是，最短的是
C. 最长的是，最短的是 D. 最长的是，最短的是
4.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的水平放置的平面图形的直观图，，，则平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的边的长度为
( )
A. B. C. D.
6.如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为
( )
A. B. C. D.
7.如图，是用斜二测画法画出的直观图且，，，则的周长为
．( )
A. B. C. D.
8.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选已知水平放置的正方形一条边在轴上，其由斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为，则此正方形的面积可以为( )
A. B. C. D. 无法确定
10.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是( )
A. 是钝角三角形
B. 的面积是的面积的倍
C. 是等腰直角三角形
D. 的周长是
11.关于斜二测画法，下列说法正确的是
( )
A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为
C. 一个梯形的直观图仍然是梯形
D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
12.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是
( )
A. 的边上的高为 B. 的边上的高为
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图所示，，，，则这块菜地的真实面积为 ．
14.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ．
15.如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．
16.用斜二测画法画一个水平放置的边长为的正三角形的直观图，则该直观图的面积为________．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，在中，，边上的高．
画出水平放置的的直观图；
求直观图的面积．
18.本小题分
用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．
求原平面图形的面积
将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
19.本小题分
如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，．
画出原四边形；
分别求出原四边形与梯形的面积．
20.本小题分
如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
画出它的原图形，
若，的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法
作出 的原图形，结合三角形的几何性质可求得 中 边上的中线长．
【解答】
解：在直观图中， ，且 ，则 ，故 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
故 为等腰直角三角形，所以， ，故 轴，
依据题意，作出 的原图形如下图所示：
延长 至点 ，使得 ，则 为 的中点，
由题意可知， ， ， ，且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查斜二测画法的应用，属于中档题．
设的边上的高为，因为，列出关于的方程，即可求解．
【解答】
解：设的边上的高为，
因为，
所以．
又，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，是中档题．
由斜二测画法的规则可知，在原图中，，为边上的中线，从而是直角三角形，由此能求出得出结论．
【解答】
解：因为的直观图为，，分别与轴、轴平行，是边的中点，所以由斜二测画法规则可知，在中，，为边上的中线，
则是以，为直角边，为斜边的直角三角形，
故AC．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法解决问题，属于基础题．
由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，根据勾股定理即可求解．
【解答】
解：由斜二测画法的直观图知：
， ， ， ， ，
原图形 中， ， ， ， ， ，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了斜二测画法，属于基础题．
运用斜二测画法将直观图还原成原图后计算面积即可．
【解答】
解：由题意知， ， ，
所以 ， ，
直观图还原的原图如图所示，
所以原图形的面积为 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画直观图，考查直观想象能力与运算求解能力，属于基础题．
把直观图还原原图形，求出三角形的边长，则答案可求．
【解答】解：把直观图还原原三角形如图，
可知为等腰直角三角形，，，则的周长为
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了画平面图形直观图的斜二测画法，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，属于中档题．
根据斜二测画法的规则，原图形的各边长度即可．
【解答】
解：如图，
，在中， ，
．
四边形的周长为．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的直观图与斜二测画法，属于基础题．
根据空间几何体的直观图与斜二测画法的基础知识点即可得出．
【解答】
解：等于的一边在原图形中可能等于，也可能等于，所以正方形的面积为或．
故选AB．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法的原理，考查学生空间想象能力，属于中档题．
根据斜二测画法规则可知在原图形中为的中点，且，，则是等腰直角三角形，再分别求得和的面积，即可得出结论．
【解答】
解：根据斜二测画法规则可知在原图形中为的中点，
因为，
所以，，
又原坐标轴中、轴互相垂直，即，
则是斜边为的等腰直角三角形，
故的周长是，面积是，故A错误，、D正确，
中，，过作轴的垂线，垂足为，
则，为等腰直角三角形，
，所以的面积为，故B错误．
故选CD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法．
根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项．
【解答】
解：对于，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；
对于，对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图，
在中， ，其面积 ，
在其直观图图中，
作 ，则直观图的面积
，
因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，
在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的 ，
故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为 ，B正确；
对于，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；
对于，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
过点作轴，交轴于点，即可求出相关量，作出原图，即可判断．
【解答】
解：
如图，过点作轴，交轴于点
则，
又与轴垂直，且，
则，，
故在原图中，，且，即
的边上的高为，
又点在上，可得，
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的关系的应用，考查计算能力．
求出直观图中，然后还原成平面图形，求出平面图形的面积．
【解答】
解：如图，在直观图中，过点作，垂足为．
在中，，，
．
又四边形为矩形，，
，
由此还原为原图形如图所示，是直角梯形在梯形中，
，，．
这块菜地的面积
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法的规则，属于中档题．
结合题设直观图特征判定平面图特征并求得平面图形的边长，再求周长即可．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知平面图为平行四边形且原图形中，
设与交于点，
由，，，
得原图中，
则，
则原图形的周长是．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测法画直观图，熟练掌握斜二测画法中原图与直观图对应边长之间的关系，是解答的关键．
如图，由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．
【解答】
解：由题意正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以，对应原图形平行四边形的高为，
所以原图形中，，
，
故原图形的周长为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了斜二测画法与应用问题，属于基础题．
根据题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则求出的面积．
【解答】
解：如图是边长为的正三角形的直观图，
则，为正三角形的高的一半，
即，
则高，
的面积为．
17.【答案】解以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
画出对应的轴、轴，使，
在轴上取点，，使，，
在轴上取点，使，
连接，，
则即为的直观图，如图．
在图中，作，为垂足，
，，
，
【解析】略
18.【答案】解：如图所示：还原平面图形，作交于点，
因为，，，
所以，，，
故
将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱减去一个以为底面半径的圆锥组合成，
所以所形成的几何体的表面积为
所形成的几何体的体积为
．
【解析】本题考查斜二测画法，考查圆柱和圆锥的表面积和体积，属于一般题．
作出原图形，作交于点，进而求解；
将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱减去一个以为底面半径的圆锥组合成，，运用圆锥和圆柱的表面积和体积求解．
19.【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
在轴上截取，．
在过点的轴的平行线上截取．
在过点的轴的平行线上截取，连接，
即可得到原四边形．
原四边形是直角梯形，且，，．
所以其面积为．
易得直观图中梯形的高为，
又，，
所以其面积为．
【解析】本题考查斜二测画法的规则，属于中档题．
先根据题设要求依据斜二测画法规则还原平面图形，再结合题设数据以及画法规则抽象计算，判定梯形形状，利用公式计算面积即可．
20.【答案】解：原图形如下：
由作图知，原图形中，于点，
则为原图形中边上的高，且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，
所以，
所以．
故原图形中边上的高为，原图形的面积为．
【解析】本题考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于中档题．
根据斜二测画法画出直观图；
根据斜二测画法确定各量的变化关系即可．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
