2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形下列汉字中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕会场所在地园博园分为“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约平方米其中数据“”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
4.由四个大小相同的长方体搭成立体图形的左视图如图所示，则搭法不可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.二次函数的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
7.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，，按此规律排列下去，第个图形中实心圆点的个数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
9.如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，若，，则的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，中，，，点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.计算的结果是______．
12.在函数中，自变量的取值范围是______．
13.分解因式：______．
14.不等式组的解集是______．
15.在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______填“”“”或“”．
16.如图，是的直径，点，在上，若，则 ______度
17.一个扇形的面积为，弧长为，则此扇形的圆心角为______度
18.如图，在中，、、分别在、、上，，，，，，则的长为______．
19.矩形中，为对角线的中点，点在边上，且当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．
20.如图，在四边形中，，连接，且，，，则______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
21.某服装店去年月以每套元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额元，进入月份搞促销活动，每件让利元，这样销售额比月份增加了元，销售量是月份的倍．
求每件羽绒服的标价是多少元；
进入月份，服装店决定把剩余羽绒服按标价的九折甩货，若全部售出后这批羽绒服总获利不少于元，则这批羽绒服至少购进多少件？
四、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题分
先化简，再求值：，其中
23.本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，线段的端点，均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
在图中，以为底边画一个等腰；
在图中，以为一边画一个面积为的 ．
直接写出线段的长．
24.本小题分
江苏省第十九届运动会将于年月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目 人数
篮球
羽毛球
自行车
游泳
其他
合计
根据以上信息，请回答下列问题：
这次调查的样本容量是______，______．
扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为______．
若该校有名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
25.本小题分
如图，中，，是上的一点，，过点作，并截取．
求证：是等腰直角三角形；
延长至，使得，连结并与的延长线相交于点，求的度数．
26.本小题分
在中，为直径，为弦，弧弧．
如图，求证：；
如图，过点作的切线，交延长线于点，交延长线于点，求证：；
如图，在的条件下，为上一点，，，，求的长．
27.本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于，交正半轴于，交轴于，．
求抛物线的解析式；
如图，点是第三象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系；
如图，在的条件下，过点作的垂线，交轴于点，垂足为点，为上一点，连接，若，，求点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
根据实数的大小比较法则负数都小于，正数都大于，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小，比较即可
本题考查了对实数的大小比较的应用，主要考查了学生的判断能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
2.【答案】
【解析】解：“中”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，“中”是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，符合题意；
B、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，不符合题意；
C、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，不符合题意；
D、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，不合题意；
故选：．
找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．
此题考查由三视图判断几何体，解决本题的关键是理解左视图的定义及掌握其应用．
5.【答案】
【解析】解：由二次函数的解析式可知此函数的最小值是．
故选A．
根据函数的解析式直接解答即可．
此题比较简单，解答此题的关键是熟知二次函数顶点式即的形式．
6.【答案】
【解析】解：设个相同的小正方形的边长为，则个相同的大正方形的边长为，
点落在阴影部分的概率为，
故选：．
求出阴影部分的面积，根据概率公式即可求出概率．
本题考查几何概率的求法，注意结合概率的性质进行计算求解．用到的知识点为：概率阴影面积与整个图形面积之比．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第个图形中实心圆点的个数为的规律．
根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第个图形中实心圆点的个数为，据此求解可得．
【解答】
解：因为第个图形中实心圆点的个数，
第个图形中实心圆点的个数，
第个图形中实心圆点的个数，
所以第个图形中实心圆点的个数为，
即第个图形中实心圆点的个数为，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，米，
故选：．
设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在和中
≌，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
设，则，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
故选：．
先根据证明≌，可得，设，则，根据勾股定理列方程可得的长，最后由正切的定义可解答．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解，，，
，
当时，点在边上，如图所示，
此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
当时，，
，
当时，点在边上，如图所示，
此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，再分别求出和时的，的长，再用三角形的面积公式写出与的函数解析式即可．
本题考查直角三角形三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得．
故答案为．
根据分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，可得到答案．
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
点，在第一象限，随的增大而减小，
，
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，结合已知条件易得的度数，然后利用圆周角定理即可求得答案．
本题考查圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：设扇形圆心角的度数为度，半径为，
扇形的弧长为，面积为，
，解得．
，
．
故答案为：．
设扇形圆心角的度数为度，半径为，再由扇形的面积公式求出的值，根据弧长公式即可得出结论．
本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形 的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19.【答案】或
【解析】解：以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
如图，当时，
则，
四边形是矩形，
，
，
为对角线的中点，
，
，
；
如图，当时，
则，
为对角线的中点，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图，当时，如图，当时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得、的长度是解题的关键．
过点、分别作，，垂足分别为、，设，先求得用含的式子表示和的长，根据勾股定理可表示出，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：，然后根据锐角三角函数的定义可求得用含的式子表示的长，根据勾股定理可表示出，然后根据，列方程求解即可．
【解答】
解：过点、分别作，，垂足分别为、，设．
在中，，，
，．
，．
则，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
，
解得：，舍去．
．
故答案为．
21.【答案】解：设每件羽绒服的标价为元，则月份售出件，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：每件羽绒服的标价为元．
设这批羽绒服购进件，
月份售出件，月份售出件
根据题意得：
解得：，
所以至少是，
答：这批羽绒服至少购进件．
【解析】设每件羽绒服的标价为元，则月份售出件，等量关系：月份的销售量是月份的倍；
设这批羽绒服购进件，不等量关系：羽绒服总获利不少于元．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】解：．
原式，
当时，原式．
【解析】首先代入特殊角的三角函数值，化简的值，然后对所求的代数式进行化简，然后把的值代入即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，正确对分式进行化简是关键，需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
23.【答案】解：如图，等腰即为所求．
如图， 即为所求．
由勾股定理得，．
【解析】结合等腰三角形的性质画图即可．
根据题意，结合平行四边形的性质画图即可．
利用勾股定理计算即可．
本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质是解答本题的关键．
24.【答案】；；
；
该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数为：人
【解析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
依据，即可得到样本容量，进而得到的值；
利用圆心角计算公式，即可得到“自行车”对应的扇形的圆心角；
依据最喜爱的省运会项目是篮球的学生所占的比例，即可估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
解：样本容量是，
，
故答案为，；
“自行车”对应的扇形的圆心角，
故答案为；
见答案．
25.【答案】证明：，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形；
解：，，
，
≌已证，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【解析】根据已知条件由证明≌，从而得到，，故，即可得证；
由及可得四边形是平行四边形，所以．
本题考查了三角形全等的性质、等腰三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质是解题的关键．
26.【答案】证明：如图，连接，
，
，
；
证明：如图，连接，，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
即；
解：如图，连接，并延长交于，连接，，连接，并延长交于，交于，连接，
是的直径，
，即，
，
，
又是直径，
垂直平分，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】由圆周角定理可得，可证；
由圆周角定理可得，由外角的性质可得，即可求解；
由“”可证≌，可得，由勾股定理可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】解：由函数的表达式知，点，
而，则点，
将点的坐标代入函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，
则；
在轴左侧取点使，过点作于点，
则，
，，
，
，
．
，，，
≌，
，，
，，，
≌，
，
，，
≌，
，
而，
则，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和二次函数表达式得：，
解得：舍去或，
即点
【解析】由待定系数法即可求解；
求出直线的表达式为：，即可求解；
证明≌、≌和≌，得到，求出直线的表达式为：，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，综合性强，难度适中．
第1页，共1页
