2024年中考数学一轮复习
《勾股定理》考点课时精练
一 、选择题
1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )
A.25 B.14 C.7 D.7或25
2.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )
3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )
A.13 B.8 C.12 D.10
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝( )
A.4 B. C. D.
5.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( )
①a＝7，b＝24，C＝25； ②a＝1.5，b＝2，c＝7.5；
③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝，c＝.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是( )
A.30 B.40 C.50 D.60
7.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动( )
A.40cm B.80cm C.90cm D.150cm
8.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
A.2.5 B.2 C. D.
9.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP＋BP＋CP的最小值为( )
A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.8
10.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )
A.12秒 B.16秒 C.20秒 D.30秒.
二 、填空题
11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为 ．
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.
13.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为 .(结果保留根号)
14.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .
15.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN的长为____________．
16.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .
三 、作图题
17.在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；
(1)画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上(即小正方形的顶点)，且AB＝2；
(2)以(1)中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；
(3)△ABC的周长为 ，面积为 ．
四 、解答题
18.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．
(1)证明：△ABC是直角三角形．
(2)请求图中阴影部分的面积．
19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC的度数.
(2)若AC＝2，求AD的长.
20.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.
(1)求证：EO＝FO；
(2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？
21.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)
22.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。求覆盖在顶上(如右图阴影部分)的逆料薄膜的面积。
23.如图，正在执行巡航任务的海监船以50海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求∠APB的度数．
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问：海监船继续向正东方向航行是否安全？
24.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
25.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．(图2，图3备用)
参考答案
1.C
2.B.
3.B.
4.C
5.C
6.A
7.B
8.D
9.D.
10.B.
11.答案为：60．
12.答案为：等腰直角三角形.
13.答案为：4＋2.
14.答案为：5.
15.答案为：4或.
16.答案为：()n-1.
17.解：(1)如图所示：AB即为所求；
(2)如图所示：△ABC即为所求；
(3)周长为：2＋＋＝2(＋)，
面积为：9﹣×1×3﹣×2×2﹣×1×3＝4．
18.解：(1)证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，
∴AC＝10(取正值)．
在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
(2)解：S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△ACD
＝×10×24﹣×8×6＝96．
19.解：(1)∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
(2)∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AD＝DC，
∵AC＝2，
∴AD＝.
20.解：(1)∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OE＝OC，
同理可得OF＝OC，
∴OE＝OF；
(2)∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵CF是∠OCD的平分线，
∴∠4＝∠5，
∴∠ECF＝90°，
在Rt△ECF中，由勾股定理得EF＝5.
∴OE＝OF＝OC＝0.5EF＝2.5.
21.解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴AB＝12(m)，
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8(m)，
∴(m)，
∴)(m)．
答：船向岸边移动了)m．
22.解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边为5m，
再根据矩形的面积公式，得：5×40＝200m2．
23.解：(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°.
(2)如解图，过点P作PH⊥AB，交AB的延长线于点H.
∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BP＝BA＝50×1＝50(海里)．
在Rt△PBH中，∵∠PBH＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BPH＝30°，∴BH＝BP＝25海里，
∴PH＝＝25(海里)>25海里，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
24.解：(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
(2)设BF上点D，DA＝200千米，则还有一点G，有AG＝200千米．
因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD＝GC，
在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，CD＝120千米，则DG＝2DC＝240千米，
遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6(小时)．
25.解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6
由勾股定理有：AB＝10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB＝AD＝10时，
∵AC⊥BD，
∴CD＝CB＝6m，
∴△ABD的周长＝10＋10＋2×6＝32m．
②如图2，当AB＝BD＝10时，
∵BC＝6m，
∴CD＝10﹣6＝4m，
∴AD＝4m，
∴△ABD的周长＝10＋10＋4＝(20＋4)m．
③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣6，
由勾股定理得：AD＝＝x，解得，x＝
∴△ABD的周长为：AD＋BD＋AB＝＋＋10＝m．
