第10章 分式
10.7 分式的求值问题（重难点培优）
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x可能是（ ）
A．0、1、2 B．﹣1、﹣2、﹣3 C．0、﹣2、﹣3 D．0、﹣1、﹣2
2．已知a+b＝5，ab＝3，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
3．若x﹣y＝2xy≠0，则分式（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
4．已知x﹣y＝5，xy＝3，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知a+b＝5，ab＝3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若a+b﹣1＝0，则代数式的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．1 D．﹣3
7．若xy＝x﹣y，则分式（ ）
A． B．y﹣x C．﹣1 D．1
8．已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
9．已知非零实数x满足x2﹣3x﹣1＝0，则x2的值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
10．若a、b为实数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋 高邮市期末）若mn＝n﹣m≠0，则分式的值为____________．
12．（2021秋 长安区校级期末）如果a，那么分式（1）的值是____________．
13．若x且0＜x＜1，则x2____________．
14．当时，计算的结果等于____________．
15．已知a+b＝3，ab＝﹣5，____________．
16．已知2a2﹣3a﹣2＝0，则a2____________，4a2﹣5﹣6a＝____________．
17．已知m﹣n＝2，则 （）的值为____________．
18．已知a25，则a的值是____________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．化简式子（1），并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为m的值代入求值．
20．先化简（1），再从﹣1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值．
21．先化简再求值：（），其中m满足（m﹣9）（m+1）＝0．
22．已知a2+a＝1，求代数式的值．
23．已知W＝（）．
（1）化简W；
（2）若a，2，4恰好是等腰△ABC的三边长，求W的值．
24．阅读下面材料：小颖这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小颖发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式．她还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是小颖把mn和m+n称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：
（1）①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+xz中，属于神奇对称式的是____________（填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①q＝____________（用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式____________；
③若q，求神奇对称式m2+n2的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C
【分析】根据分式有意义的条件得到x≠±1，把分式化简，根据题意解答即可．
【解析】由题意得，x2﹣1≠0，
解得，x≠±1，
，
当为整数时，x＝﹣3、﹣2、0、1，
∵x≠1，
∴满足条件的整数x可能是0、﹣2、﹣3，
故选：C．
2．B
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【解析】∵a+b＝5，ab＝3，
∴
，
故选：B．
3．D
【分析】将原式通分，然后利用整体思想代入求值．
【解析】原式，
∵x﹣y＝2xy≠0，
∴原式2，
故选：D．
4．B
【分析】根据分式的减法可以化简所求的式子，然后将x﹣y＝5，xy＝3代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】，
当x﹣y＝5，xy＝3时，原式，
故选：B．
5．C
【分析】根据完全平方公式求出a2+b2，根据分式的加法法则把原式变形，代入计算即可．
【解析】∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝25﹣2×3＝19，
则，
故选：C．
6．A
【分析】先化简分式，然后将a+b﹣1＝0代入求值．
【解析】
＝3（a+b）．
∵a+b﹣1＝0，
∴a+b＝1，
∴原式＝3×1＝3．
故选：A．
7．C
【分析】原式进行通分计算，然后代入求值．
【解析】原式，
∵xy＝x﹣y，
∴原式1，
故选：C．
8．A
【分析】方法一：先把所求式子通分，然后将分子变形，再根据两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，可以得到ab≠0，再将a+b＝0代入化简后的式子即可解答本题．
方法二：根据a+b＝0，得到a＝﹣b，然后代入所求式子，即可得到所求式子的值．
【解析】方法一：
，
∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴ab≠0，
当a+b＝0时，原式2，
故选：A．
方法二：∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴
＝﹣1+（﹣1）
＝﹣2，
故选：A．
9．A
【分析】根据分式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解析】∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x3，
∵（x）2＝x22，
∴x22＝9，
∴x211，
故选：A．
10．D
【分析】由于a、b为实数，且满足，所以a﹣1＝0，b﹣2＝0，所有可求得a＝1，b＝2，所求代数式变形为1，化简求值即可．
【解析】∵a、b为实数，满足，
又无论a，b为何值，（a﹣1）2≥0，，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴
＝1
．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11． ﹣3
【分析】先根据分式的减法运算进行化简整理，然后将mn＝n﹣m代入原式即可求出答案．
【解析】原式
，
∵mn＝n﹣m，
∴原式
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12． 3
【分析】先根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解析】（1）
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
当a时，原式＝（）2﹣（）＝3，
故答案为：3．
13．
【分析】根据题意得到x0，根据完全平方公式求出x，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．
【解析】∵0＜x＜1，
∴x，
∴x0，
∵x，
∴（x）2，即x2+2，
∴x2﹣24，
∴（x）2，
∴x，
∴x2（x）（x）（），
故答案为：．
14．
【分析】先将分式的分子分母分解因式，同时将分式的除法转化为乘法，然后约分即可将所求式子化简，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解析】
＝x，
当x时，原式，
故答案为：．
15．
【分析】a+b与ab的值求出a2+b2的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
【解析】∵a+b＝3，ab＝﹣5，
∴（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝a2+b2﹣10＝9，
∴a2+b2＝19，
则原式．
故答案为：．
16．，﹣1
【分析】根据2a2﹣3a﹣2＝0求出a，4a2﹣6a＝4，再变形后代入，即可求出答案．
【解析】∵2a2﹣3a﹣2＝0，
∴2a2﹣2＝3a，
∴a2﹣1a，
除以a得：a，
∴两边平方得：（a）2＝a22a，
∴a22，
∵2a2﹣3a﹣2＝0，
∴2a2﹣3a＝2，
∴两边乘以2得：4a2﹣6a＝4，
∴4a2﹣5﹣6a＝4﹣5＝﹣1，
故答案为：，﹣1．
17．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，整体代入计算即可．
【解析】原式
，
当m﹣n＝2，即n﹣m＝﹣2时，原式，
故答案为：．
18．
【分析】先根据完全平方公式得出（a）2＝a22 a ，代入后求出（a）2＝7，再开平方即可．
【解析】∵a25，
∴（a）2＝a22 a 5+2＝7，
∴a±，
故答案为：±．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】（1）
＝[]
＝（）
，
∵当m＝﹣1，0，1，2时，原分式无意义，
∴当m＝﹣2时，原式1．
20．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
【解析】原式（）
，
∵x≠±1且x≠2，
∴x＝3，
则原式2．
21．
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，再求出m的值后代入，即可求出答案．
【解析】（）
＝[]
，
∵m满足（m﹣9）（m+1）＝0，
∴m﹣9＝0或m+1＝0，
∴m＝9或﹣1，
∵m（m﹣3）≠0，m﹣9≠0，m≠0，
∴m不能为0，3，9，
∴m只能为﹣1，
当m＝﹣1时，原式．
22．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2+a＝1代入计算即可．
【解析】原式
，
当a2+a＝1时，
原式2．
23．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可；
（2）先根据等腰三角形的定义和三角形三边关系得出a的值，再代入计算即可．
【解析】（1）W＝[]
；
（2）∵a，2，4恰好是等腰△ABC的三边长，
∴a＝4，
则W．
24．
【分析】（1）根据神奇对称式的概念求解即可；
（2）①由（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn，（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q知x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，据此可得答案；
②由x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q知p＝m+n，q＝mn，结合p＝3，q＝﹣2知m+n＝3，mn＝﹣2，再代入求解即可；
③由（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q知p＝m+n，q＝mn，继而得m2n2（m+n）2﹣2mnp2﹣2q，根据q得m2n2p2﹣2q（p+2）2，由（p+2）2≥0可得答案．
【解析】（1）代数式①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是①④．
故答案为①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn，（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q，
∴x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴q＝mn．
故答案为mn；
②∵x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴p＝m+n，q＝mn．
∵p＝3，q＝﹣2，
∴m+n＝3，mn＝﹣2，
∴
．
故答案为；
③∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴p＝m+n，q＝mn．
∴m2n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝p2﹣2q．
∵q，
∴m2n2p2﹣2q
＝p24p
＝p2+4p+4﹣4
＝（p+2）2，
∵（p+2）2≥0，
∴．
