2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
3.设角满足条件，则所在的象限是( )
A. 一、二 B. 二、三 C. 二、四 D. 不能确定
4.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
；
对任意，恒有成立；
任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；
存在三个点、、，使得为等边三角形；
其中真命题的序号为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数的定义域是______．
6.将化为有理数指数幂的形式为______．
7.已知全集，，则 ______．
8.已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是”是______命题填“真”或“假”．
9.设函数是偶函数，且时，，则 ______．
10.设、为正数，且，则 ______填“，，，”．
11.在中，：：：：，则最大角的余弦值是______．
12.若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______．
13.若命题“，”是真命题，则的取值范围为______．
14.若，则 ______．
15.设，方程的解集为______．
16.已知关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
平面直角坐标系中，单位圆与轴正半轴交于点，角的终边与单位圆的交点位于第二象限．
若弧的长为，写出的坐标，并计算扇形的面积；
角的终边绕点逆时针旋转后恰与角的终边重合，若，求的值．
18.本小题分
已知，且．
化简并求值：；
若，求．
19.本小题分
某城市年月日的空气质量指数与时间单位：小时的关系满足如图连续曲线，测得当天的最大值为当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数且图象的一部分，根据规定，空气质量指数的值大于或等于时，空气就属于污染状态．
求函数的解析式；
该城市年月日这一天有哪些时段的空气属于非污染状态？
20.本小题分
已知函数是定义域在上的奇函数．
求实数的值；
判断函数的单调性并证明；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调增函数；当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”．
证明：是函数的一个“翻倍区间”；
判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；
已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，不成立，
B.，根据不等式的基本性质，，，故B正确
C.，，不成立，
D.时，，不成立．
故选B．
利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出．
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设幂函数，将点代入，得，
，则幂函数为，由于定义域，且，
则函数图象只分布在第一象限，且单调递减．
故选：．
先待定系数法将幂函数解析式设出，再将点坐标代入，可得函数解析式，确定函数图像．
本题考查幂函数性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，解得或，
若，则，，此时所在象限是第四象限；
若，则，，此时所在象限是第二象限，
所以为第二象限或第四象限角．
故选：．
由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：若为有理数，则是有理数，则，若为无理数，则是有理数，则；故错误，
若为有理数，则为有理数，此时，，即成立，
若为无理数，则为无理数，此时，，即成立，综上对任意，恒有成立；故正确，
若为有理数，则为有理数，此时，，即成立，
若为无理数，则为无理数，此时，，即成立，
综上任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立；故正确，
对任意有理数，存在三个点、、是边长为的等边三角形，故正确，
故选：．
根据狄利克雷函数的定义，分别讨论是有理数和无理数，然后进行计算即可．
本题主要考查命题的真假判断，根据狄利克雷函数的定义，分别讨论是有理数和无理数时，是否满足结论是解决本题的关键，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：对于函数，有，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：．
故答案为：．
根据分数指数幂的定义与运算求解．
本题考查有理数指数幂与根式的互化，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题全集，，
所以．
故答案为：．
根据补集的定义直接求解．
本题考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】假
【解析】解：因为关于的方程解集为，则，即，且，
由得，
当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为；
当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为．
故原命题为假命题．
故答案为：假．
由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论．
本题主要考查了一次方程与一次不等式转化关系的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为时，，
所以，
因为为偶函数，
所以．
故答案为：．
由已知先求出，然后结合函数的奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为、为正数，且，
所以，
所以，当且仅当，即，时等号成立．
故答案为：．
由已知结合基本不等式即可比较大小．
本题主要考查了利用基本不等式比较大小，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在中，：：：：，由正弦定理可得，可以设，，．
故角为最大角，故最大角的余弦值是，
故答案为：．
根据题意及正弦定理设，，，最大角的余弦值是，运算求出结果．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，设出，，，是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由，
因为不等式成立的一个充分不必要条件是，
所以有，等号不同时成立，解得．
故答案为：
根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可．
本题考查充分必要条件的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
当时，恒成立，
当时，，解得，
综上，的取值范围是．
故答案为：
考虑与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：由题意，
或，
或．
故答案为：或．
直接运用倍角公式计算．
本题考查了倍角公式的运用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，
当时，方程化为，，恒成立，
当时，方程化为，不符合题意，
当时，方程化为，，解得，
当时，方程化为，，恒成立，
综上所述，程的解集为．
故答案为：．
利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集．
本题主要考查零点分段去绝对值，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，，
易知函数恒过定点，
画出两个函数的图象，如图所示：
若不等式恰有一个整数解，则，且，
即，
解得，
即实数的取值范围是
故答案为：
设，，画出两个函数的图象，数形结合求解．
本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
17.【答案】解：弧的长为，
，解得，
若点位于第二象限，且在单位圆上，
设，扇形的面积为，
故有，，故，
结合扇形面积公式得；
易知角的终边绕点逆时针旋转后恰与角的终边重合，，
故，即．
【解析】利用弧长公式求出角，联立求坐标，再用扇形面积公式计算即可；
依据角的旋转关系结合两角正切的和差公式求解即可．
本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式以及两角正切的和差公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以，
又，所以，
所以，
当时，原式．
因为，，所以，
所以．
【解析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得；
求出，再由两角差的余弦公式计算可得．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，将代入得：，
当时，，
由的图象是一条连续曲线可知，点在的图象上，
当时，设，将代入得：，
；
由题意可知，空气属于污染状态时，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上：，即，
当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态．
【解析】先用待定系数法求得时的解析式，再算得当时的函数值，再由待定系数法可得时的解析式；
根据，分段解不等式即可．
本题考查了分段函数模型的应用，解分段函数不等式，属于中档题．
20.【答案】解：函数是定义域在上的奇函数，
由，得，即有，
下面检验：，
且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合．
在上是增函数．证明如下：
设任意，，
由于，则，即有，则有，
故在上是增函数．
因为对任意的，不等式恒成立，
所以对于恒成立，
因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立，
又在上是增函数，所以，即对于恒成立，
而函数在上的最大值为，所以，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证．
根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明．
根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
21.【答案】解：证明：由函数在上单调增函数知，的值域为，
故是函数的一个“翻倍区间”；
假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数，有，
解得：，，，，，，
由知所有“翻倍区间”为，，；
由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，
而，
可得，解得，
由知，可得，是方程的两个根，
等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，
即方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，
则有或，
解得或，
综上，实数的取值范围为．
【解析】根据指数函数的性质证明；
假设存在一个“翻倍区间”，则有，解出，的值，再结合求出所有“翻倍区间”即可；
函数有“翻倍区间”，等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，再结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了函数的单调性和值域，考查了二次函数的性质，属于中档题．
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