榕江县朗洞中学2023-2024学年度九年级下学期2月质量监测
数学 试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分.
1.在下列图案中,不是中心对称图形的是( )
2.如图所示的图形中,绕某点旋转180°后,不能与原来图形重合的是( )
3.如图所示,已知△OAB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是( )
A.150° B.120° C.90° D.60°
第3题图
4.在△ABC中,tan A=,cos B=,则∠C的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如图所示,点P在第二象限,OP与x轴负半轴的夹角是α,且OP=5,cos α=,则点P的坐标是( )
A.(3,4) B.(-3,4) C.(-4,3) D.(-3,5)
第5题图
6.正六边形ABCDEF内接于☉O,正六边形的周长是12,则☉O的半径是( )
A. B.2 C.2 D.2
7.如图所示,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC边上一点,∠DAC=
30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( )
A. B.2 C.3 D.
第8题图
9.如图所示,山顶一铁塔AB在阳光下的投影 CD的长为6 m,此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°,则铁塔AB的高为( )
第9题图
A.3 m B.6 m C.3 m D.2 m
10.如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则 tan∠OAP 的值是( )
A. B. C. D.3
第10题图
11.将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色,再把它分割成棱长为1的小正方体,将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀,随机取出一个小正方体,有三个面被涂色的概率为( )
A. B. C. D.
12.小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针,则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为( )
A. B.π C. D.π
二、填空题:每小题4分,共16分.
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A= .
14.在△ABC中,若|2sin A-|与(-2cos B)2互为相反数,则∠C= .
15.如图所示,已知△ABC的外接圆☉O的半径为3,AC=4,则sin B= .
第15题图
16.如图所示,测量船以20 n mile/h的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量,测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上,观测点C位于北偏东45°方向上,航行半个小时到达B点,这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上,若CD与AB平行,则CD= n mile(计算结果不取近似值).
第16题图
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文h字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
解下列一元二次方程:
(1)x2+x-1=0;
(2)x2+4x-1=0.
18.(本题满分10分)
(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=8,求AB和AC的长;
(2)在△ABC中,∠C=90°,a=,b=3,解这个直角三角形.
19.(本题满分10分)如图所示,把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知∠α=36°,求矩形卡片的周长(精确到1 mm,参考数据:sin 36°≈0.6,cos 36°≈0.8,tan 36°≈0.7).
20.(本题满分10分)如图所示,为测量一段笔直自西向东的河流的宽度,小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向,他以1.5 m/s的速度沿着河岸向东步行40 s后到达C处,此时测得大树位于北偏东45°方向,试计算此段河面的宽度(结果取整数,参考数据:≈1.732).
21.(本题满分10分)如图所示,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为E,若CD=5,sin∠BCD=.
(1)求BC的长;
(2)求∠ACB的正切值.
22.(本题满分10分)为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为 80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,≈1.73).
23.(本题满分12分)如图所示,AB是☉O的直径,点E是劣弧BD上一点,∠PAD=∠AED,且DE=,AE平分∠BAD,AE与BD交于点F.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若tan∠DAE=,求EF的长.
24.(本题满分12分)“五一”节期间,许多露营爱好者在郊区露营,为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”(如图所示),其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
(2)下雨时收拢“天幕”, 从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 65 °≈0.90,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14,≈1.41).
25.(本题满分12分)
阅读下列材料,并完成相应的任务.
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系:
如图(1)所示.sin α=,cos α=,
tan α=.
一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin α
cos β-cos αsin β.
例如:sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°
sin 30°=.
任务:
(1)计算:sin 75°= ;
(2)如图(2)所示,在△ABC中,∠B=15°,∠C=45°,AC=2-2,求AB和BC的长.答案：
1.(B)
2.(B)
3.(A)
4.(D)
5.(B)
6.(B)
7.(B)
8.(A)
9.(B)
10.(C)
11.(B)
12.(C)
13. .
14.∠C= 105° .
15.sin B= .
16.CD= (5-5)
17.解:(1)a=1,b=1,c=-1,
∵b2-4ac=12-4×1×(-1)=5,
∴x=,
解得x1=,x2=.
(2)移项,得x2+4x=1.
配方,得x2+4x+4=1+4,
即(x+2)2=5,
解得x=-2±,
即x1=-2+,x2=-2-.
18.解:(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=8,
∴AB===.
∴AC=ABcos 60°=×=.
(2)在△ABC中,∠C=90°,a=,b=3,
∴tan A==.
∴∠A=30°.∴c=2a=2.
∴∠B=90°-∠A=60°.
∴c=2,∠A=30°,∠B=60°.
19.解:如图所示,作BE⊥l于点E,DF⊥l于点F,
∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°,
∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠ADF=∠α=36°.
根据题意,得BE=24 mm,DF=48 mm.
在Rt△ABE中,sin α=,
∴AB=≈=40 (mm).
在Rt△ADF中,cos∠ADF=,
∴AD=≈=60 (mm).
∴矩形ABCD的周长约为2×(40+60)=200(mm).
20.解:如图所示,作AD⊥BC于点D.由题意,知
BC=1.5×40=60(m),∠ABD=90°-60°=30°,
∠ACD=90°-45°=45°.
∴AD=CD.
在Rt△ABD中,∵tan∠ABD=tan 30°=,
∴BD=.
∵BC=BD-CD=-AD=60 m,
∴AD=30(+1)≈82(m).
答:此段河面的宽度约82 m.
21.解:(1)∵DE⊥BC,
∴∠BED=∠CED=90°.
∵CD=5,sin ∠BCD=,
∴DE=CD·sin ∠BCD=3.
∴CE===4.
∵∠B=45°,∴∠BDE=90°-45°=45°.
∴∠BDE=∠B.∴BE=DE=3.
∴BC=BE+EC=3+4=7.
(2)过点A作AF⊥BC于点F,如图所示.
∵CD是AB边上的中线,
∴BD=AB.
∵DE⊥BC,
∴DE∥AF.
∴===.
∵AF=2DE=6,BF=2BE=6,
∴CF=BC-BF=1.
∴tan∠ACB==6.
22.解:如图所示,延长DC交AB于点E,则DE⊥AB,
设CE=x m,在Rt△AEC中,∠ACE=60°,
∴AE=EC·tan 60°=x(m).
在Rt△BEC中,∠BCE=40°,
∴BE=EC·tan 40°=0.84x(m).
在Rt△AED中,∠D=30°,
∴DE===3x(m).
∵CD=80 m,∴DE-CE=CD.
∴3x-x=80.∴x=40.
∴AB=AE+BE≈40×(1.73+0.84)=102.8≈103(m).
∴桥墩AB的高度约为103 m.
23.(1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵=,∴∠AED=∠ABD.
∵∠PAD=∠AED,∴∠PAD=∠ABD.
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°,
即∠PAB=90°.
∴PA是☉O的切线.
(2)解:如图所示,连接OE,EB,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE.
∴BE=DE=.
∴OE⊥BD.
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠DAE=∠AEO.
∴AD∥OE.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADF=∠BEF=90°.
∵=,∴∠DAE=∠DBE.
∴tan∠EBF=tan∠DAE=.
∴=.
∴EF=EB=1.
24.解:(1)由题意,得△ACD是轴对称图形,
∴∠AOC=∠AOD=90°,OC=OD=CD.
∵AC=AD=2 m,∠α=65°,
∴OD=AD·sin α=2sin 65°≈1.80(m).
∴CD=2OD=3.6 m.
即当α=65°时,遮阳宽度CD约为3.6 m.
(2)如图所示,设点E下降到点E′,过点E作EM⊥AB于点M,过点E′作 E′N⊥AB于点N,
则四边形BFEM和四边形BFE′N都是矩形,
∴EM=BF=3 m,E′N=BF=3 m,BM=EF,BN=E′F.
∴BM-BN=EF-E′F,即MN=EE′.
当∠α=65°时,AM=≈1.40 m,
当∠α=45°时,AN==3 m,
则EE′=MN=AN-AM≈1.6 m.
即点E下降的高度约为1.6 m.
25.解:(1)
(2)如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,在BC上找点E,使BE=AE,
∵∠C=45°,AC=2-2,∴∠DAC=45°.
∴AD=CD,sin C=,即=.
∴AD=-.
∵∠B=15°,sin B=,即=,
∴AB=4.
∵BE=AE,∴∠B=∠EAB=15°.
∴∠AED=30°.
∴AE=2AD=2-2.
tan∠AED=,即=,
∴ED=3-.
∴CB=BE+DE+DC=2-2+3-+-=2.
