【赢在高考】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A C D B C C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ABD ABD AC BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．充分不必要条件 14．63 15．(﹣∞，﹣2) 16. 4
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】 (1) ；bn＝n2﹣7n+14；(2)略.
【详解】 (1)∵，①
∴当n≥2时，，②
①﹣②，得2n﹣1an＝8，则， （1分）
在①中令n＝1，可得，
∴；（2分）
由已知可得b1＝8，b2＝4，b3＝2，则b2﹣b1＝﹣4，b3﹣b2＝﹣2，（3分）
∴数列{bn+1﹣bn}的公差为﹣2﹣(﹣4)＝2，则bn+1﹣bn＝﹣4+(n﹣1)×2＝2n﹣6，
∴bn＝b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+...+(bn﹣bn﹣1)
＝8+(﹣4)+(﹣2)+...+(2n﹣8)＝n2﹣7n+14；（5分）
证明：(2) ，
当k≥4时，单调递增，且f(4)＝1，（7分）
∴k≥4时，f(k)＝k2﹣7k+14﹣24﹣k≥1，
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，
∴不存在k∈N*，使得bk﹣ak∈(0，1)．（10分）
18．（12分）
【答案】 (1) 略；(2) .
【详解】(1)证明：由，得，
由于A+B+C＝π，则，（2分）
，
所以，sinA+sinC＝2sinB．
由正弦定理得a+c＝2b．（5分）
(2)解：由(1)得a+c＝2b，则，
当且仅当a＝c＝b 时，等号成立 （8分）
由于0＜B＜π，则，（9分）
所以，
所以的最大值为．（12分）
19．（12分）
【答案】 (1) 略；(2) .
【详解】(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，∠DCB＝90°，
∴PC⊥CD，PC⊥CB，DC⊥CB，
则建立以点C为坐标原点，直线CD、CB、CP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示：（1分）
则C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，
P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，
∴，
∴，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又∵CP∩CA＝C，PC、AC 平面PAC，
∴DE⊥平面PAC；（3分）
(2)设＝(x，y，z)是平面PDE的一个法向量，
，
则，取x＝2，则y＝1，z＝2，
∴平面PDE的一个法向量为＝(2，1，2)，（4分）
设直线PC与平面PDE所成角为α，且＝(0，0，2)，
，
∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为；（7分）
(3)设平面PDE的法向量为＝(x，y，z)，
，
则，取x＝2，则y＝2，z＝3，
∴平面PDE的法向量为＝(2，2，3)，（9分）
由(Ⅱ)得平面PDE的法向量＝(2，1，2)，
∴，
由图形得二面角D﹣PE﹣B的平面角是钝角，
∴二面角D﹣PE﹣B的余弦值为．（12分）
20．（12分）
【答案】 (1) ；(2) .
【详解】 (1)易知X的所有取值为1，2，（1分）
此时，（3分）
，
则；（5分）
(2)设第n轮比赛中，甲乙对打的概率为an，甲丙对打的概率为bn，甲丁对打的概率为cn，
由(1)知b1＝0，b2＝，（6分）
当n≥2时，，
整理得bn＝ (an﹣1+cn﹣1)，（8分）
又an+bn+cn＝1，
所以bn＝ (1﹣bn﹣1)，
即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，（10分）
此时，
整理得，
则，
即在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为．（12分）
21．（12分）
【答案】 (1) 相切；(2) 略；(3)略.
【详解】(1)直线与双曲线C相切，理由如下：
联立方程组，
∴①，（1分）
∵N∈C，∴，即，代入①得，
，
∴，
∴直线l与双曲线C相切；（3分）
(2)证明：由(1)知，
∵直线与双曲线的一支有2个交点，则：，（5分）
∵，
∴，
∵，
∴，
∴N∈Q；（7分）
(Ⅲ)证明：设，设，
∵,
∴，则，代入双曲线，利用M在l上，
即，整理得，，（9分）
同理得关于μ的方程，，
即λ、μ是的两根，
∴λ+μ=0，λ=-μ，
∴．（12分）
22．（12分）
【答案】 (1) 增区间是(﹣∞，1)，减区间是(1，+∞)；(2) ①0；②略.
【详解】 (1) （1分）
令f′(x)＞0，得 x∈(﹣∞，1)，令f′(x)＜0，得x∈(1，+∞)，
故函数f(x)的增区间是(﹣∞，1)，减区间是(1，+∞)．（3分）
(2)①e2f(x+2)﹣x+2＝0 e2(x+2)ea﹣x﹣2﹣x+2＝0
(x+2)ea﹣x﹣x+2＝0 ea(x+2)﹣ex(x﹣2)＝0，
设方程ea(x+2)﹣ex(x﹣2)＝0的两根分别是 x0 和﹣x0，（4分）
故 (Ⅰ)，
，即 (Ⅱ)，
(Ⅰ)﹣(Ⅱ)可得： (Ⅲ)，（5分）
令g(x)＝x+2+(x﹣2)ex，则g'(x)＝1+ex+(x﹣2)ex＝(x﹣1)ex+1，
易证g'(x)≥0，所以g(x)单调递增，又g(0)＝0，所以当且仅当x＝0时，g(x)＝0，
所以，若x0＝0时，由(Ⅰ)式可知：ea＝﹣1，不可能成立，
故x0≠0，即g(x0)≠0，由(Ⅲ)式可知：ea﹣1＝0，可得a＝0．（7分）
②证明：因为 a＝0，可得，则，
设f(x)在x＝m(0＜m＜1)处的切线斜率为k，则，
又，则f(x)在x＝m处的切线方程为，
设，则，且p′(m)＝0，（8分）
设，则，又0＜x≤1，则q(x)＞0，
所以q(x)在(0，1]上单调递增，且q(m)＝0，
则当0＜x＜m时，p′(x)＝q(x)＜0；当m＜x≤1时，p′(x)＝q(x)＞0，
则p(x)≥p(m)＝0，即，（10分）
若xi＞0，且，
则，
令得：． （12分）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝( )
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．(1，4} D．{﹣1，4}
2．若复数z满足(2﹣i)z＝i2023，则( )
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，，为EF的中点，则( )
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为，则椭圆离心率为( )
A． B． C． D．
5．在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：x2+y2＝1上一动点，若直线l：kx﹣y﹣2k+3＝0上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注．地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为( )(参考数据：lg6.3≈0.8，100.05≈1.1)
A．8×1011焦耳 B．1.1×1011焦耳 C．8×1012焦耳 D．1.1×1013焦耳
7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是( )
①事件A1与A2相互独立；
②A1，A2，A3是两两互斥的事件；
③；
④；
⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知，，，其中e为自然对数的底数，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：92，93，95，95，97，98，则下列关于该样本的说法中正确的有( )
A．均值为95 B．极差为6
C．方差为26 D．第80百分位数为97
10．已知函数，则下列说法正确的是( )
A．
B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)的对称轴方程为
D．函数f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到
11．已知函数，则所有正确的结论是( )
A．函数f(x)是增函数 B．函数f(x)的值域为
C．曲线y＝f(x)关于点对称 D．曲线y＝f(x)有且仅有两条斜率为的切线
12．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，点M在平面ABCD上，且AM＝λAD(0＜λ＜1)，则( )
A．存在λ，使得直线PB与AM所成角为
B．不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM
C．当λ一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为4(λ2+1)2π
D．若，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琟P﹣ABCD各面的交线长为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，那么D是C的 条件．(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一)
14．二项式的展开式中含x2的系数为 ．
15．若x＝2是函数f(x)＝x2+2(a﹣2)x﹣4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是 ．
16．已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，点P为抛物线C外一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若PA⊥PB，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且对任意的n∈N*都成立，数列{bn+1﹣bn}是等差数列．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)证明：不存在k∈N*，使得bk﹣ak∈(0，1)．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：a+c＝2b；
(2)若△ABC的面积为S，求的最大值．
19．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．
(Ⅰ)证明：DE⊥平面PAC；
(Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
(Ⅲ)求平面PED与平面PEB夹角的余弦值．
20．（12分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
21．（12分）已知双曲线上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．
(1)若，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
(2)若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：；
(3)若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．
22．（12分）已知函数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程的两根互为相反数．
①求实数a的值；
②若xi＞0，且，证明：．
试卷第2页，共22页
