2023-2024学年湖北省黄冈市武穴实验高中高一（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知为第二象限角，则所在的象限是( )
A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限
3.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
5.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6.设函数，则使得成立的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.函数，若，且，，，互不相等，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解精确度可取为( )
A. B. C. D.
10.以下说法正确的有( )
A. 实数是成立的充要条件
B. 对，恒成立
C. 命题“，使得”的否定是“，使得”
D. 若，，，则的最小值是
11.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B. 若函数的值域为，则实数
C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D. 若，则不等式的解集为
12.定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则( )
A. 的图象关于点成中心对称 B. 对任意整数，
C. 的值域为 D. 的实数根个数为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的单调减区间是______．
14.已知，，，则的最小值是______．
15.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间在物种入侵初期，可用对数模型为常数来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间单位：天之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为______天结果保留一位小数参考数据：，
16.已知定义在上的函数满足，，均有，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解关于的不等式：
；
已知，求的值．
18.本小题分
设全集，集合，，其中．
若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；
若命题“，使得”是真命题，求的取值范围．
19.本小题分
已知是定义在上的偶函数，当时，．
求；
求的解析式；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨，因可爱而闻名的冰墩增更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内以天计的销售情况进行调查发现；冰墩墩的日销售单价元套与时间被调查的一个月内的第天的函数关系近似满足常数，冰墩墩的日销量套与时间的部分数据如表所示：
套
已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：
，，．
选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；
根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入在哪天达到最低．
21.本小题分
已知二次函数．
当取何值时，不等式对一切实数都成立：
若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
22.本小题分
若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间”．
先判断“函数没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；直接写出结论即可
若是定义在上的奇函数，当时，求的“和谐区间”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由可得，解得，
所以，．
故选：．
先化简集合，然后利用集合交集的定义求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
先用不等式表示第二象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边所在的象限．
本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，属于基础题．
【解答】
解：是第二象限角，
，，
则，，
令，，
有，，则在第一象限；
，，
有，，则在第三象限；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，，当且仅的，即时等号成立．
故选：．
将原式整理为，然后利用基本不等式求最值即可．
本题考查基本不等式相关知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：的定义域为，
即，，则，
即的定义域为，
再由，得．
故的定义域为
故选：．
由的定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的范围得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，定义域为，
，所以函数为奇函数，排除选项C，；
当时，，排除选项B．
故选：．
根据函数解析式分析函数的定义域和奇偶性，再通过特殊值用排除法求解．
本题主要考查函数图象的判断，考查函数的性质及排除法的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为为偶函数，且在上单调递增，
因为，所以，
即，所以，
所以或．
故选：．
易得为偶函数，且在上单调递增，可将不等式化为，解不等式即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，且，，，互不相等，
不妨设，
则，，，
故，
所以，
所以，
因为，当且仅当时取等号，但，上述等号不成立，
故，
．
故选：．
由已知结合对数的运算性质及二次函数的性质可求得，，，的关系，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了对数运算性质，二次函数的性质，还考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性、奇偶性，以及函数不等式恒成立求参数范围的一般方法，属于中档题．
首先分析函数的性质：奇偶性、单调性，因此将题中不等式化简、分离参数，转化为求最值问题．
【解答】
解：由于定义域为，
则，
所以为奇函数，
由于和在上单调递增，则在上单调递增，
由奇函数的性质可知，在上单调递增，
于是等价于，
也等价于，
也即恒成立，由于当且仅当时取等号
则，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，，易得在上单调递增，
结合表格可知：
，，
此时，符合精确度要求，
所以方程的近似解在区间内．
故选：．
根据题意，结合函数的性质及零点存在定理，利用二分法求解即可得到答案．
本题考查二分法的应用，涉及函数零点判定定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断以及不等式的性质和基本不等式的应用，存在量词命题的否定，属于中档题．
利用充分性与必要性的判断与不等式的性质、基本不等式、命题的否定方法逐项判断．
【解答】
解：由，或，或，
故实数是成立的充分不必要条件，故A错误；
由得，，成立，故B正确；
命题“，使得”的否定是“，使得，故C正确；
因为，，，
则
，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：因为的定义域为，
所以恒成立，解得：，故正确；
B.因为的值域为，
所以，解得，故正确；
C.因在区间上为增函数，由复合函数的单调性可知：，解得；
当时，，满足题意，所以的取值范围为，故不正确；
D.当时，，
由，可得，解得，故错误．
故选：．
A.由题意可得恒成立，求解即可；
B.由题意可得，求解即可；
C.由题意可得求解即可；
D.由题意可得，求解即可．
本题考查了函数的基本性质，难点在于完整找到每一选项中的等价条件，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由可得函数以为周期，
又由函数为偶函数可得，
所以函数的一条对称轴为，
又由时，，所以作出函数图象如下：
所以由图可知，的图象不关于点成中心对称，A错误；
对任意整数，，B正确；
的值域为，C正确；
由，可得，
令，
作出，如图，
注意到，，，
所以的图象和的图象共有个交点，
即的实数根个数为，D正确．
故选：．
利用函数的对称性、周期性以及时，，可作出的部分图象，数形结合求解．
本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，解得，
的定义域为，
设，
则的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调可知的单调递减区间为：．
故答案为：．
求出定义域，再结合复合函数的单调性判断即可．
本题考查了复合函数的单调性，易错点在于确定函数的定义域，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
又由，
则，
进而由基本不等式的性质可得，
，
当且仅当时取等号，
故答案为：．
由对数的运算性质，，结合题意可得，；再利用的代换结合基本不等式求解即可．
本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，的代换．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，，
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则天，
故答案为：．
根据已知数据可求出，设初始时间为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，利用，结合对数运算性质可求出结果．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，
因为，
则，
所以为奇函数，
因为，均有，
当时，，即，
当时，，，
综上，在上单调递增，
所以在上为单调递增的奇函数，
由得，
即，
所以，
所以．
故答案为：．
构造函数，结合已知先判断函数的单调性及奇偶性，然后利用奇偶性及单调性可求．
本题主要考查了单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：等价于，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式等价于，不等式的解集为，
当时，不等式等价于，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
因为，所以，，
由换底公式和对数的运算性质可得：
．
【解析】不等式分类讨论问题，结合题意，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．
将指数式化成对数式，利用对数的运算性质计算即可．
本题考查不等式的解法，属于中档题．
18.【答案】解：由可得，，
，即，
“”是“”成立的必要不充分条件，，
，解得，
即的取值范围为；
若命题“，使得”是假命题，则，
，或，
当时，，解得，
当时，则，无解，
命题为假命题时，的取值范围为，
命题为真命题时，的取值范围为．
【解析】由题意可知，由此列出关于的不等式组，求出的取值范围即可；
先求出命题为假命题时的取值范围，取其补集即可．
本题主要考查了集合间的包含关系，考查了集合的基本运算，属于中档题．
19.【答案】解：因为是偶函数，所以．
设，则，因为是定义在上的偶函数，
所以当时，，
也可表示为．
由及是偶函数得，
当时，是单调递增函数，
所以由得，
平方得，，解得，
即的取值范围是．
【解析】根据函数奇偶性的性质进行转化求值即可，
根据偶函数的对称性进行转化求解即可，
根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用偶函数的对称性进行转化是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：模型最合适，理由如下：
对于模型：为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型不合适；
对于模型：为二次函数模型，其图象关于直线对称，则，与表中数据不符，故模型不合适；
对于模型：，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型，
则，解得，
，
又，均满足表中数据，
故使用模型来描述销售量与时间的关系最合适；
第天冰墩墩的日销售单价元套，
第天的日销售收入为元，
，
，
由所选模型，当且时，则元，当且仅当，即时，等号成立，
故在第天时，该商品的日销售收入达到最低元．
【解析】根据对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型的特点，结合表中数据及其增速较慢，即可得出答案；
由表中数据和第天日销售收入，分别求出第问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查待定系数法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，对一切实数不成立，故；
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为；
当时，只需，
即，解得，且，
当时，即时，，零点为，符合题意，
当或，即，解得，或，解得，
检验在内都有一个解．
综上所述，实数的取值范围为或．
【解析】分类讨论与的关系，进而求解；
先分类讨论判别式等于，大于和，或的，进而求解．
本题主要考查了二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，
且函数为奇函数，
当时，函数为减函数，
任意的，则，
所以当时，函数没有“和谐区间”，
同理当时，函数没有“和谐区间”，
所以“函数没有“和谐区间””是正确的，
函数在上递减，
则在定义域内任取区间，则，
由是函数的“和谐区间”，
得，解得，，
所以函数的“和谐区间”为；
因为当时，，
所以当时，，所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以．
所以当时，，
设，因为在上单调递减，
所以，，
所以，，
所以，是方程的两个不相等的正数根，
即，是方程的两个不相等的正数根，所以，，
所以在区间上的“和谐区间”是，
同理可得，在区间上的“和谐区间”是，
所以的“和谐区间”是和．
【解析】根据“和谐区间”的定义判断函数即可；
根据函数为奇函数求出函数的解析式，再利用“和谐区间”的定义结合函数的单调性求出函数的“和谐区间”即可．
本题考查了函数的新定义问题，实际上考查的是理由函数的单调性求函数的值域，考查了根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度．
第1页，共1页
