2024年中考数学重点专题：函数综合
1．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将点先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的点恰好落在反比例函数的图象上．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）已知点是该反比例函数图象上一点，当时，请根据图象直接写出横坐标的取值范围．
2．如图，直线L1： 与 轴， 轴分别交于A，B两点，点P（ ，3）为直线AB上一点，另一直线L2： 经过点P．
（1）求点A、B坐标；
（2）求点P坐标和 的值；
（3）若点C是直线L2与 轴的交点，点Q是 轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标
3．已知：如图，一次函数y＝ x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E.
（1）直线CD的函数表达式为 ；（直接写出结果）
（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ.
①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
4．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 A，B 两点，与y轴相交于点C，且点 A的横坐标为2.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）求出点 B的坐标，并结合图象直接写出不等式 的解.
（3）若 E 为y轴上一个动点，且 则点 E 的坐标为 .
5．如图，直线l1：y＝x＋3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
（3）在x轴上是否存在点P，使以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且，点在反比例函数的图象上.
（1）求的值；
（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的值最小，求点的坐标；
（3）点关于轴的对称点为，把向右平移个单位长度到的位置，当取得最小值时，请你在横线上直接写出的值， .
7．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当为等腰直角三角形时，点N的坐标为 ．
8．已知在以点为原点、所在直线为轴的平面直角坐标系中，圆内接四边形的对角线、相交于，经过的内心，且抛物线经过、、三点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）、、四边形的面积分别记为，、S，求同时满足以下三个条件的抛物线的解析式；
①，
②，
③四边形的周长为.
9．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并根据图象直接写出的解集；
（3）将直线向上平移后与轴交于点，与双曲线在第二象限内的部分交于点，如果的面积为12，求平移后的直线表达式．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，连接，满足．
（1）求直线的解析式；
（2）已知直线经过点B．
①若点D为直线上一点，若，求点D的坐标；
②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点，使得为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．综合与探究：如图①，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴轴交于点，，点是线段的中点，点与点关于轴对称，作直线．
图① 图② 图③
（1）求，两点的坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）若点是直线上的一个动点．
请从，两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．
A．如图②，连接，．求为直角三角形时点的坐标．
B．如图③，连接，过点作轴于点．求为等腰直角三角形时点的坐标．
12．如图1，已知抛物线y= x2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为OQ的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧AB上的一个动点．
（1）直接写出点P，A，B的坐标：P ；A ；B 。
（2）求tan∠ACB的值
（3）将抛物线y= x2+4沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若BC经过点D时，求线段AC，PC的长；
（4）若BC的中点为EAE交翻折后的抛物线于点F，直接写出AE的最大值和此时点F的坐标。
13． 已知，如图1，直线AB：y＝kx﹣k﹣4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线CD：y＝﹣2x+2与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点E（a，﹣a）；
（1）求点E的坐标和k的值；
（2）如图2，点M是y轴上一动点，连接ME，将△AEM沿ME翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求ME所在直线解析式；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得∠ECP＝45°，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于、两点，交轴于点．其中点坐标．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作，交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作，交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边长的菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的一种情况的过程．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，
点先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
点C的坐标为，
将点C代入反比例函数
求得
该反比例函数的表达式
（2）解：或
2．【答案】（1）解：如图
由题意可知，直线AB的关系式为y＝﹣x＋2，
令y＝0，
∴﹣x＋2＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）
（2）解：∵P点在直线y＝﹣x＋2上
∴－m＋2＝3
∴m＝－1
∴P点（－1，3）
∵直线y＝kx＋4经过点P．
∴－k＋4＝3
∴k＝1
（3）解：由（2）知直线L2关系式为y＝x＋4
∵点C是直线L2与x轴的交点
令y＝0，
∴x＋4＝0，
∴x＝－4，
∴C（－4，0）
S△CPQ＝ CQ yP＝ ×CQ×3＝3
∴CQ＝2
∴Q（－6，0）或者（－2，0）
3．【答案】（1）y＝3x﹣6
（2）解：①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，
∴S△BEQ＝ S△BDE或S△BEQ＝ S△BDE.
在y＝ x+3中，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝6.
∴B（0，3），D（4，6）.
在y＝3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6.
∴E（0，﹣6）.
∴BE＝9.
如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝4.
∴S△BDE＝ BE DH＝ ×9×4＝18.
∴S△BEQ＝ ×18＝6或S△BEQ＝ ×18＝12.
设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0.
过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t.
∴ ×9×t＝6或 ×9×t＝12.
解得t＝ 或 .
当t＝ 时，3t﹣6＝﹣2；当t＝ 时3t﹣6＝2.
∴Q的坐标为（ ，﹣2）或（ ，2）.
②当点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中.
由（2）知B（0，3），D（4，6），
∴BH＝BO＝3.
由翻折得BD＝BD1.
在Rt△DHB和Rt△D1OB中，
，
∴Rt△DHB≌Rt△D1OB.
∴∠DBH＝∠D1BO.
由翻折得∠DBQ＝∠D1BQ.
∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°.
∴BQ∥x轴.
∴点Q的纵坐标为3.
在y＝3x﹣6中，当y＝3时，x＝3.
∴Q（3，3），
当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中.
过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N.
由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ.
∴QM＝QN.
由（2）知S△BDE＝18，即S△BQD+S△BQE＝18.
∴ BD QM+ BE QN＝18.
在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝5.
∴ ×5 QN+ ×9 QN＝18.
解得QN＝ .
∴点Q的横坐标为 .
在y＝3x﹣6中，当x＝ 时，y＝ .
∴Q（ ， ）.
综合知，点Q的坐标为（3，3）或（ ， ）.
4．【答案】（1）解：∵ 一次函数 经过点A ，且点 A的横坐标为2，
∴ 将x=2代入中，可得y=6.
∴点A（2，6）.
将A（2，6）代入 中，可得，解得m=12.
∴反比例函数的表达式为y=.
（2）解：x<0或2
5．【答案】（1）解：把（1，m）代入y＝x＋3得m＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx＋b，
代入（1，4），（3，0）得
∴ ，
解得 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x＋6
（2）解：在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a＋3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a＋6），
MN＝|a＋3﹣（﹣2a＋6）|＝|3a﹣3|，
∵MN＝AB，
∴|3a﹣3|＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
（3）解：如图2，
∵B（-3，0），C（1，4）．
∴BC= ．
设P（x，0），
当PC=BC时，此时点P与点B关于直线x=1对称，则P1（5，0）；
当PC=PB时， ．
解得 x=1．
此时P2（1，0）；
当BP=BC时， ，
解得 或 ．
此时P3（ ，0），P4（ ，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P1 （5，0），P2 （1，0），P3（ ，0），P4（ ，0）．
6．【答案】（1）解：当时，，
，即.
，，.
又点在直线上.
.解得，.
点在反比例函数的图象上，
，即.
（2）解：过点作关于轴的对称点，连接，交轴的正半轴于点，则点即为所求，此时的值最小.
点是反比例函数图象上的点，
，即，，.
设直线的函数表达式为.
把，代入得，直线的函数表达式为.
当时，.
.
（3）4.75
7．【答案】（1）解：把A（4，0），B（1，3）代入抛物线中，
得，
解得，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴；
（3）（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）
8．【答案】（1）证明：与是弧所对圆周角
又与是弧所对圆周角
，
（2）证明：经过的内心
平分，
又，
又，
，
又，
，
（3）解：解：设、面积分别为、
，
，
，
，
又，
，
，
有
，
，
，
四边形为矩形
又，
四边形为正方形
又周长为，
，
，，
设抛物线解析式为，代入得
解得：
9．【答案】（1）解：在一次函数中，令y＝1，则，
解得：x＝﹣3，即点A的坐标为（﹣3，1），
∵点A（﹣3，1）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：由对称性可知：xB＝﹣xA，
∵xA＝﹣3，
∴xB＝3，∴点B的坐标为（3，﹣1）
由图象可知，的解集为﹣3＜x＜0或x＞3．
（3）解：连接AC、BC如图所示．
设平移后的解析式为，
∵该直线平行直线AB，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵△ABD的面积为36，
∴，
∴，
∴b＝4，
∴平移后的直线的函数表达式为．
10．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点C在y轴的负半轴，
∴，
设直线的解析式为，
将点B、点C的坐标代入可得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线经过点B，
∴，解得，
∴直线，
设直线与y轴交于一点E，
则当时，，
此时点，
①当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，如图所示：
，
由（1）可得，
∵，
∴，
即，
解得：，
代入的直线方程可得：，
∴；
当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，如图所示：
，
此时设点，
，
即，
解得：，
∴，
综上，点D的坐标为：或；
②当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，如图所示：
则，
故；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，如图所示：
根据题意，得，
解得，
∴；
过点F作交直线于点G，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
根据题意，得，
解得，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
综上所述，存在这样的点N，且或．
11．【答案】（1）解：当时，，
点，当时，则，
解得，点；
（2）解：点是线段的中点，
，点与点关于轴对称，
点，设直线的解析式为，
则，在直线上，
，则，
，将代入得
直线的解析式为；
（3）解：选择A．
当时，则点的横坐标为2，
则，
点的坐标为；
当时，则点的横坐标为4，
则，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．或选择．
为等腰直角三角形，
，
设点，则，
①当点在之间时，则，解得：，
点；
②当点在点左侧时，则，
解得：，点；
③若点在点右侧时，则，
解得：（不合题意，舍去）；
综上所述：点的坐标为或
12．【答案】（1）(0，2)；(-4，0)；(4，0)
（2）解：连结MA，MB
设⊙M半径为r，则MP=MA=MB=r
∵在R△OMB中，MB=r，OB=4，OM=r-2，
由勾股定理可得，r2=42+(r-2)2，解得r=5
∵MA=MB，MO⊥AB
∴∠AMO=∠BMO= ∠AMB
∵在⊙M中，∠ACB= ∠AMB
∴∠ACB=∠OMB
tan∠ OMB=
tan∠ACB=
（3）解：连结AD
AD=BD=42
CD=AD．tan∠ACB=3
AC=5
过点C作y轴垂线CH
可证△BOD∽△CHD，可求
∴CH=3，DH=3
PH=9
∴PC=
（4）解：如图，
由题意可知点M（0，-3），
当点E在优弧AB上运动时，E为BC的中点，
∴BE的长始终为BC的一半，
∴点E的运动路径也是圆弧OMB，这条弧的半径为，
∴NE=2.5
当线段AE经过弧OMB的圆心时，AE有最大值，
弧OMB的圆心N（2，），
过点N作NH⊥AB于点N，AE交y轴于点G，
∴AG=，
∵NH∥OG，
∴△AOG∽△AHN，
∴即
解之：
∴AE的最大值为AN+NE=；
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴
解之：x1=3，x2=-4（舍去）
当x=3时y=
∴点F.
13．【答案】（1）解：点E的坐标为（2，﹣2），k的值是2
（2）解：ME所在直线解析式为y＝x﹣或y＝﹣x；
（3）解：在直线AB上是否存在点P，使得∠ECP＝45°，P的坐标为（，）或（﹣8，﹣22）
14．【答案】（1）解：解：抛物线过点，
将，代入到中：
解得
（2）解：
\
设动点的坐标为，
点坐标为
，
，
当时，，
此时点的坐标为.
（3）解：，，，为顶点的四边形是菱形，在（2）问条件下，
，，，，为顶点的四边形是以为边长的菱形，设点的坐标为
①或
，或，
②或
，或，
综上，符合条件的点的坐标是：；；；.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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