2023-2024学年河南省南阳市社旗县七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则实数在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
2．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
3．如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
4．一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
5．能与相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的有（ ）个．
①如果表示一个有理数，那么它的相反数是②的倍与的平方的和，用代数式表示为：③某商品原价是元，提价后的价格是元④延长射线到，使．
A． B． C． D．
7．如图，直线与相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
9．某学校图书馆周三下午有位同学，七年级组织位同学来图书馆阅读，后来有位同学因上课要离开，那么图书馆内还剩下的同学数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．计算： ．
12．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．
13．同一平面内有三个点，，，其中点在点的西北方向，点在点的南偏东，那么的度数为 （）．
14．老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：，则所捂的二次三项式为 ．
15．是直角，是位于内的一条射线，平分，平分，则补角的度数为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（1）将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置：（使计算简便）
（2）计算：．
17．下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：． 解：原式= 第一步 = 第二步 = 第三步 = 第四步
任务1：①第一步先算括号里面的有理数加法，依据的法则是：异号两数相加__________________，．
并用较大的绝对值减去较小的绝对值；第二步将有理数的除法转化为乘法，
依据的法则是：除以一个数等于____________．
②运算从第______步开始出现错误．
任务2：正确的运算结果为____________．
18．如图，点是的边上的一点，点是内部的一点，按下述要求画图并填空：
①过点画的平行线；
②过点画的垂线，交于点．
③点到直线的距离是线段 的长度．
19．如图，，，．
(1)与有怎样的位置关系？为什么？
(2)与平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？
20．如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米．
(1)用含a、b的代数式表示护栏的总长度；
(2)若，，每米护栏造价80元，求建此停车场所需护栏的费用．
21．（1）如图，从地到地有四条道路，除它们外，可以再修一条从地到地的最短道路，请你在图上画出最短线路，并写出你这样画的理由．
（2）如果已知三点、、在同一条直线上，且，，并且取线段的中点，求线段的长．
22．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠
(1)周老师一次性购物400元，他实际付款_______元；
(2)若周老师在该超市一次性购物x元，当x小于500但不小于200时，他实际付款_______元；当大于或等于500时，他实际付款_______元（用含的式子表示）；
(3)如果周老师两次购物货款合计880元，其中第一次购物的货款为a元，请用含的式子表示两次购物周老师实际一共付款多少元．
23．【课题学行线的“等角转化”．
如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
解：过点作，
， ，
又．
．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数．
（3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系．
答案与解析
1．A
【分析】首先根据a的值确定a的范围，再根据a的范围确定a在数轴上的位置．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴点A在数轴上的可能位置是：
，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数与数轴，解题关键是确定负数的大致范围．
2．B
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选B．
【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.
3．B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
4．D
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握基本立体图形的三视图是解题的关键．
5．C
【分析】利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可．
【详解】解：方法一：；
方法二：的相反数为；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变．
6．B
【分析】根据相反数的定义、列代数式遵循“先读的先写”原则、商品销售问题中各个量之间的关系及射线的性质即可解决问题．
本题考查列代数式及有理数，熟知有理数的相关概念及射线的性质是解题的关键．
【详解】解：根据相反数的定义可知，
有理数的相反数可表示为．
故正确．
的倍可表示为，的平方可表示为，
所以的倍与的平方的和可表示为：．
故正确．
某商品的原价是元，
则提价后的价格可表示为：元．
故错误．
因为射线在方向上是无限延伸的，
所以不可以延长射线．
故错误．
故选：B．
7．B
【分析】利用对顶角相等得到，即可求解．
【详解】解：读取量角器可知：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．
8．C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当时，；故A不符合题意；
B、当时，；故B不符合题意；
C、当时，；故C符合题意；
D、∵，则，
∵，则，
∴；故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
9．C
【分析】本题考查了整式的加减运算，原有的人数加上七年级组织的人数再减去后来因上课要离开的同学，即此时的人数，读懂题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
，
故选：．
10．B
【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
【详解】解：由题意得∠ABC=90°，
∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，
∵，
∴∠2=∠3=50°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
11．
【分析】先化带分数为假分数，再计算平方．
此题考查了有理数乘方的运算能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并进行正确地计算．
【详解】解：，
故答案为：．
12．##度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．##165度
【分析】由方向角的定义得到，，即可求出的度数．
本题考查方向角，关键是由方向角的定义得到，．
【详解】 解：点在点的西北方向，点在点的南偏东，
，，
．
故答案为：．
14．
【分析】设图片捂的整式为，利用减法、差、被减数的关系得结论．
本题考查了整式的运算，掌握整式的加减法是解决本题的关键．
【详解】解：设所捂的二次三项为．
由题意，，
．
故答案为：．
15．##135度
【分析】先根据题意得出，再根据角平分线的定义得出，于是问题得解．
本题考查了余角和补角，角平分线，熟练掌握角之间的和差计算是解题的关键．
【详解】解：是直角，是位于内的一条射线，
，
平分，平分，
，，
，
，
补角的度数为，
故答案为：．
16．（1）；（2）
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先写成省略加号和的形式，再利用交换律使得运算简便；
（2）先算乘除法，再算加法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17．取绝对值较大的数的符号；乘这个数的倒数；三；4
【分析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则求解可得．
【详解】解：任务1：①第一步先算括号里面的有理数加法，依据的法则是：异号两数相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；第二步将有理数的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个数等于乘这个数的倒数．
②运算从第三步开始出现错误．
任务2：解：原式= 第一步
= 第二步
= 第三步
= 第四步
正确的运算结果为4，
故答案为：取绝对值较大的数的符号；乘这个数的倒数；三；4．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
18．①作图见解析；②作图见解析；③
【分析】①根据平行线的判定画图；
②根据垂线的定义画图；
③根据点到直线的距离即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，垂线，点到直线距离，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：①如图所示：
②如图所示：
③点到直线的距离是线段的长度；
故答案为：．
19．(1)与的位置关系是：，理由见解析
(2)与不平行，添加条件①或②；③时，，理由见解析
【分析】（1）先由得，进而得，由此得，然后根据平行线的判定可得出与的位置关系；
（2）与不平行，加上条件或时，．
此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】（1）解：与的位置关系是：，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
；
（2）与不平行，添加条件或时，，理由如下：
当时，
，
，
；
当时，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
．
20．(1)护栏的长度为：（米）
(2)建此停车场所需护栏的费用是19600元
【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算的应用；解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长公式，整式加减运算法则．
（1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可；
（2）把，代入求值即可．
【详解】（1）解：停车场的宽为：米，
护栏的长度为：米．
（2）解：当，时，
（元），
故建此停车场所需护栏的费用是19600元．
21．（1）见解析；（2）的长为或
【分析】本题考查了作图—应用设计作图，注意分类讨论是解（2）的关键．
（1）根据两点之间线段最短作图即可；
（2）分当点在线段延长线上与在线段上两种情况分别求解．
【详解】解：（1）如图所示，线段即为所求，根据两点之间线段最短即可得出结论；
（2）如图，
，，
，
是的中点，
，
；
如图，
，，
，
是的中点，
，
，
综上所述，的长为或．
22．(1)
(2)，
(3)元
【分析】本题主要考查了列代数式与整式的加减运算的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将400元按8折付款进行计算即可；
（2）根据题意，当小于500元但不小于200时，整体打八折，据此求解即可；然后根据当大于或等于500元时，其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠进一步计算化简即可；
（3）根据题意可知王老师前后两次购物货款为元以及元，然后按照相应的优惠政策进一步列出式子并加以化简即可．
【详解】（1）解：（元），
∴周老师一次性购物400元，他实际付款元，
故答案为：；
（2）解：当x小于500但不小于200时，整体按照八折付款，则付款为元
当大于或等于500时，
其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠，付款为：元，
故答案为：，；
（3）解：由题意得：第一次购物货款为元，且，
∴第一次付款为：元，
第二次购物货款为：元，且，
∴第二次付款为：（元），
∴两次购物王老师实际付款为：（元），
答：两次购物王老师实际付款为元．
23．（1）；；；（2）；（3），理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：
（1）过点作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
（2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）过点作，
，，
又，
，
故答案为：；；；
（2）过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
理由：过点作，
，
，
∴，
，
，
．
