2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十七章相似压轴题特训
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C.
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长.
2．如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
3．如图，在 中， ， ， ，动点P从点A出发，沿 以每秒5个单位长度的速度向终点C匀速运动，设点P的运动时间为t秒（ ），过点P作 的垂线交 于点M．
（1） ．
（2）求 的长，（用含有t的代数式表示）
（3）若将点P绕点M逆时针旋转 于点N．
①求 的长（用含t的代数式表示）
②在点P运动的同时，作点B关于点N的对称点Q，连结 ．当 为等腰三角形时，直接写出t的值．
4．在中，D为AB边上一点，过点D作交AC于点E，以DE为折线，将翻折，设所得的与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3
（1）如图1，若，，，，则y的值为 ；
（2）如图2，若，，D为AB中点，则y的值为 ；
（3）若，，，设.
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.
5．如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ．
（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
6．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．
7．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC AE；
（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．
8．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，连接BE，EF⊥BE交AD于点F．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ，设五边形AFEPQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD＝33∶64？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
9．在正方形中，为射线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交直线于点．
图1 图2 图3
（1）如图1，若点、分别在线段上，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，过作于，若点恰为的中点，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）若，直接写出的值．
10． 如图，在正方形中，点是对角线上一点不与点，重合，交边于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：∽；
（2）求的度数；
（3）若正方形的边长为，点是延长线上一点，交的延长线于点，且恰好经过的中点，如图，其他条件不变，求的值．
11．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
12． 如图，正方形的边长为3，、为线段上两动点（不与，点重合），且.
（1）求证：∽；
（2）试说明无论点，在线段上怎样运动，总有；
（3）如图2，过点，分别作，的垂线相交于点，垂足分别为，，求的值.
13．在矩形ABCD中，点E为AB边上一动点（不与点A，B重合），连接CE，过点E作EF⊥CE．连接AC、AF、CF，CF与EF分别交AD于点G，H．
（1）如图1，当矩形ABCD为正方形时，且EF＝CE．求证：△BCE∽△ACF；
（2）在（1）的条件下，且点E为AB的中点，求的值；
（3）如图2，已知：AB＝8，BC＝6，，连接CF交AD于G，EF与AD交于H，若FG＝FH，求BE的长度．
14．如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）求的值；
（3）如图2，若，经过的中点K，求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴ ，
∵DC＝10cm，BE＝18cm，
∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB＋ BE ＝28cm，
即
∴DE＝6 cm.
2．【答案】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，由等边对等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设半径为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴的长为6．
3．【答案】（1）8
（2）解：由题意得AP=5t，
∵PM⊥ ，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△AMP∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴PM=3t；
（3）解：①∵点P绕点M逆时针旋转 于点N， ，
∴点N在射线AB上，
∵ ，AP=5t，PM=3t，
∴ ，
∴AN=AM+MN=AM+MP=4t+3t=7t，
∴当 时，BN=AB-AN=10-7t；
当 时，BN=AN-AB=7t-10；
②能，分三种情况：
当AQ=PQ时，
∵PQ= ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
解得t=0（舍去）或t= ；
当AP=AQ时，
∵ ， ，AQ+BQ=AB=10，
∴ ，
解得 ；
当AP=PQ时，
∵ ， ，AB+BQ=AQ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴舍去；
综上，当 为等腰三角形时， t= 或 ．
4．【答案】（1）
（2）12
（3）解：①当时，；
当时，.
②当时，，
当时，；
当时，.
，，
当时，.
综上所述，当时，y有最大值，最大值是10.
5．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
，
由（1）已证： ，
∴ ，即 ，
解得 ．
6．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3=90°
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点
∴BF=AB，
设CD=BF=x
∵△CDE∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵x＞0，
∴x= ，
即CD的长为
7．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）
∴AM＝AN；
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN＝AC AE，
∵AN＝AM，
∴AM2＝AC AE；
（3）ON＝2OM，理由：如图，
在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，
根据勾股定理得，BM＝＝，
过点B作BF⊥MN于F，
∴∠OFB＝∠A＝90°，
由（1）知，AM＝AN，
∵∠MBN＝90°，
∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABC＝45°＝∠MBF，
∴∠ABM＝∠FBO，
∴△ABM∽△FBO，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，
∴ON＝2OM．
8．【答案】（1）解：∵AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，
∴CE＝12cm，
在Rt△ECB中，根据勾股定理，得BE＝ 20（cm），
过P作PG⊥QB于G，
若点P在线段BQ的垂直平分线上，
则PQ＝PB，GB＝ BQ＝ （24﹣3t），
∵∠C＝∠PGB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠PBG＝∠BEC，
∴△PBG∽△BEC，
∴ ，即 ，
∴t＝ ，
∴当t＝ 时，点P在线段BQ的垂直平分线上；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝24cm，BC＝16cm，点E为边CD的中点，
∴DE＝CE＝12，∠C＝∠D＝90°，∠DEF＋∠DFE＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠DEF＋∠CEB＝90°，
∴∠DFE＝∠CEB，
∴△DFE∽△CEB，
∴ ，即 ，
∴DF＝9，
由（1）知，△PBG∽△BEC，
∴ ，即 ，
∴PG＝ ，
∴五边形AFEPQ的面积y＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S△DEF﹣S△PBQ
＝24×16﹣ ×12×16﹣ ×12×9﹣ （24﹣3t）×
＝ ，
∴y与t的函数关系式为：y＝ ；
（3）解：∵S五边形AFEPQ∶S矩形ABCD＝33∶64，
∴ ＝ ×24×16，即t2﹣8t＋15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5，
∴存在，t的值为3或5
（4）解：过Q作QM⊥EF于M，若点Q在∠AFE的平分线上，则QM＝QA，分别延长EF、BA相交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△OAF∽△EDF，
∴ ，
∴OA＝ ，
∴OB＝AB＋OA＝24＋ ＝ ，
∵QM⊥EF，EF⊥BE，
∴QM∥BE，
∴ ，即 ，
∴QM＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ．
答：存在，t的值是 ．
9．【答案】（1）证明：如图，过M分别作ME//AB交BC于E，MF // BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，
四边形ABCD是正方形，
∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=∠BME=45°，
ME=BE，
平行四边形BEMF是正方形，
ME=MF，CM⊥MN，∠CMN=90°，
∠FME=90°，
∠CME=∠FMN，
△MFN≌△MEC(ASA)，
MN=MC；
（2）解：由(1)得FM // AD，EM // CD，
，AF=2.4，CE=2.4，
△MFN≌ΔMEC，FN=EC=2.4，
AN=4.8， BN=6-4.8=1.2，
AN=4BN
（3）解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转 90°得到△BHC，连接GH，
△DMC≌△BHC，∠BCD=90°，
MC=HC，DM= BH，∠CDM =∠CBH，∠DCM=∠BCH=45°，
∠MBH=90°，∠MCH=90°，
MC=MN，MC⊥MN，
△MNC是等腰直角三角形，
∠MNC=45°，NCH=45°，
△MCG≌△HCG(SAS)，MG=HG，
BG：MG=3：5，
设BG=3a，则MG=GH=5a，
在Rt△BGH中，BH=4a，则MD=4a，
正方形ABCD的边长为6，BD=DM+MC+BG=12a=，a=，
BG=，
∠MGC=∠NGB，∠MNG=∠GBC=45°，
MGC∽NGB，
10．【答案】（1）证明：四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
由正方形性质可知，是等腰直角三角形，
，
，
又，
∽；
（2）解：由的∽，，
，
四边形为平行四边形，
，即：，
，
（3）解：，，，
，，
∽，
，
为中点，
，
，
，，
≌，
，则，，
，，
，
，
，
，
．
11．【答案】（1）解：①如图2中，结论：△AGD≌△CED．
理由：∵四边形EFGD是正方形，
∴DG=DE，∠GDE=90°，
∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠GDE=∠ADC，
∴∠ADG=∠CDE，
∴△AGD≌△CED（SAS）．
②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．
∵△AGD≌△CED，CD=CE，
∴AD=AG=4，
∵AT⊥GD，
∴TG=TD=1，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：①如图3中，设AD交PC于O．
∵△AGD≌△CED，
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，
∴∠AOP+∠DAG＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴CP⊥AG．
②∵∠CPA＝90°，AC是定值，
∴当∠ACP最小时，PC的值最大，
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），
∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，
∴EC＝，
∵EF＝DE＝2，
∴CP＝CE+EF＝2+，
∴PC的最大值为2+．
12．【答案】（1）证明：四边形为正方形，，，
又，∽.
（2）解：∽，，则，
同理可证∽，，则，
.
（3）解：可证∽，则，，
又，，，
，，，
又，，.
13．【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ACB＝45°，
∴，
∵BF⊥CE，且EF＝CE，
∴∠ECF＝45°，，
∴，
∵∠ACB＝∠FCE＝45°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠FCB﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BEC∽△AFC；
（2）解：作FM⊥AD于点M．
由（1）可得△BEC∽△AFC，
∠FAC＝∠B＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠FAM＝45°，
∵∠AMF＝90°，
∴∠AFM＝45°，
∴AM＝FM．
∵AM2+FM2＝AF2
∴AF＝AM＝MF，
∵△BEC∽△AFC，
∴＝，
∴AF＝BE，
∴AM＝FM＝BE，
∵E为AB中点，
AE＝BE＝AB．
∴MF＝AE，
∴＝．
∵∠EAH＝∠FMH，∠AHF＝∠MHF，AE＝MF．
∴△AEH≌△MFH（AAS），
∴AH＝HM＝AM＝AD．
∵∠FMG＝∠CDG，∠FGM＝∠CGD，
∴△FMG∽△CDG，
∴＝，
∴GM＝MD，
∴GM＝AD．
∴HG＝HM+MG
＝AD+AD
＝AD．
∵GD＝2GM＝AD，
∴＝．
（3）解：Rt△CEF中，设CE＝3x，EF＝4x，
∵CE2+EF2＝CF2．
∴CF＝5x．
∵FG＝FH．
∴∠FHG＝∠FGH．
∵∠FHG＝∠2，∠FGH＝∠1，
∴∠1＝∠2．
∠2+∠AEH＝90，∠AEH+∠3＝90，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠D．
∴△CBE∽△CDG，
∴，
．
∴CG＝4x，
∵CF＝5x，
∴FG＝x，
∴FH＝FG＝x，
∵EF＝4x，
∴EH＝EF﹣FH＝3x，
∴EH＝CE，
∵∠2＝∠3，∠B＝∠D，
∴△AEH≌△BCE（AAS），
∴AE＝BC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝2．
14．【答案】（1）证明∵，
∴四边形是矩形.
在正方形中，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴
∴.
∴四边形是正方形.
（2）解：连接交于点O，由（1）可得.
又，
∴.
∴.
又，
∴
∴，.
∴
∴.
∴；
（3）解：连接.
由题意得，则.
由（2）可知，，
∵，
∴.
所以.
设，则，在中，由勾股定理得，
则，
又，
∴，
则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴.
所以．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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