2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数精选题
一、选择题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B． C． D．
2．将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，有最小值是3
B．对称轴是直线，有最大值是3
C．对称轴是直线，有最大值是3
D．对称轴是直线，有最小值是3
6．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
7．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣5(x﹣1)2，上述函数中满足“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．对于题目：在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点，过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，若抛物线与线段有唯一公共点，求的取值范围.甲的计算结果是；乙的计算结果是，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确
D．甲与乙的结果合在一起也不正确
二、填空题
9．若点在二次函数的图像上，以P为圆心，为半径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 .
10．已知二次函数y＝x2＋bx＋c．当－1≤x≤1时，y的取值范围是－1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的值是 .
11．平移抛物线y=2x2，使其顶点为（2，3），平移后的抛物线是
12．在函数中，当x 时，y随x的增大而减小.
13．如图是王明正在设计的一动画示意图，×轴上依次有A，B，C三个点，且AB=2，在BC上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD=10．从点A处向右，上方沿抛物线y=-x2+4x+12发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ．
14．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，
)图象上的最低点是 .
15．已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：
x ... －1 0 1 2 ...
y ... 0 3 4 3 ...
该二次函数图象向左平移 个单位，图象经过原点.
16．在二次函数y=-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表．
x -3 -2 -1 1 2 3 4 5
y -14 -7 -2 2 m n -7 -14
则m-n的值为 ．
三、综合题
17．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第一象限的抛物线上一点，
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
19．已知抛物线经过点.
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值.
20．已知抛物线.
（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（2）若，且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，请说明理由.
21．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为．已知
（1）求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式；
（2）连接BD，求的面积．
22．已知：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0）．
（1）求该抛物线的函数解析式和直线AB的函数解析式；
（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】
10．【答案】 或 -1
11．【答案】y =2（x-2）2 +3
12．【答案】
13．【答案】（5，7）
14．【答案】（1，2）
15．【答案】3
16．【答案】3
17．【答案】解：由题意得：y=x× =﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
18．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
∴
解得
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，
设直线AB的解析式为y=kx+4，则直线LM的解析式为y=kx+n，
∵直线AB过A、B点，
∴0=2k+4，解得k=-2
∴直线LM的解析式为y=-2x+n，
∵直线LM与抛物线相切，只有一个交点，
∴，
即
∴△=
∴n=6，
∴M（0，6），
则AM=6-4=2
∵LM∥AB
∴，
∴
∴，即
∴AN=
∴DE=AN=
∵D在第一象限，
∴0
此时对称轴x=
∴D（1，4）
当四边形AFGD是菱形时，满足四边形AFGD既是轴对称图形，又是中心对称图形，如图，
设直线FD的解析式为y=，D点坐标为（x，），G（x，-2x+4）
∴
解得x=
∴D（ ）
故D点坐标为（1，4）或（）
19．【答案】（1）解：把x=1与y=0代入抛物线y=ax2-6ax-5，
得：a-6a-5=0，
解得：a=-1，
函数表达式为y=-x2+6x-5，
其顶点横坐标为：，
当x=3时，y=-32+6×3-5=4，
顶点坐标为（3，4）；
（2）解：∵a（1，0），对称轴为直线x=3，由对称性可知B（5，0）
∴AB=4，
∵AB=2CD，
∴CD=2，
由对称性可得，点C的横坐标为：
当x=2时，
.
20．【答案】（1）解：∵
∴
即
该抛物线与x轴公共点的坐标为 和
（2）解：当a=b=1时，抛物线y = 3x2＋2x+ c与x轴有公共点，则所对应方程的根的判别式△=4-12c≥0，有c≤
①当 时，由 ，得 ，符合题意；
②当 时，x1=-1 时， y1=1+c， 当 x=1时，y=5+c.由已知 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，且对称轴为 ，应有 ，即1+c≤0，5+c＞0解得-5
综合可得， 或
（3）解：在0＜x＜1的范围内，抛物线与x轴有两个公共点
理由：∵x1=0，y1＞0，
∴c＞0，
∵x2=1，y2＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∵a+b+c=0
∴2a+b＞0，
∵b=-a-c，
∴2a-c-a＞0，即a-c＞0，
∴a＞c＞0；
当y=0时，3ax2+2bx+c=0
∴4b2-12ac=4（-a-c）2-12ac=4[（a-c）2+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴的下方，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
∴-2a＜b＜-a，
∴
∴对称轴大于0小于1，
∴在0＜x＜1的范围内，抛物线与x轴有两个公共点
21．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，
∴点，则，
∵，
∴，，
∴点，
将点代入，得，
∴二次函数的解析式为；
∵，
∴点，
将点代入，得，
∴直线CD的解析式为；
（2）解：∵点，，，
∴
22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0），
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，
设直线AB的函数解析式为y＝kx＋m，由题意，得
，解得，
∴直线AB的函数解析式为y＝－x＋3．
（2）解：设点M的坐标为（a，－a2＋2a＋3），则N点坐标为（a，－a＋3），
∵M，N在第一象限，
∴MN＝－a2＋2a＋3－（－a＋3）＝－a2＋2a＋3＋a－3
＝－a2＋3a
＝－＋，
∴当a＝时，点M与点N之间的距离的最大，最大值为，此时点M的坐标为，点N的坐标为．
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