2023-2024学年数学九年级下册北师大版第一章直角三角形的边角关系压轴题特训
1．如图，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若， ．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
2．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在 处测得灯塔 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达 处，此时测得灯塔 在北偏东30°方向上．
（1）求 的度数；
（2）已知在灯塔 的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
3． 如图，在中，边绕点顺时针旋转得到线段，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是的中点．
（1）以点为对称中心，作点关于点的对称点，连接，．
依题意补全图形，并证明；
求证：；
（2）若，且于，直接写出用等式表示的与的数量关系．
4．如图， 的面积为，，点在边上点与点不重合，连接，作点绕点顺时针旋转的对应点，连接．
（1）点到直线的距离是 ．
（2）当点在 内部时，求长的取值范围．
（3）连接，求的最小值．
（4）点为边的中点，当直线与 的一边垂直时，直接写出的长．
5． 在平面直角坐标系中，对于和点不与点重合给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．
（1）已知，
若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；
是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；
（2）直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．
6． 问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动．
（1）动手实践：如图，已知正方形纸片，勤奋小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，易知点、、共线，则 度．
（2）拓展应用：如图，腾飞小组在图的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，使得点的对应点为点，他们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上．
则 度．
设与的交点为点，运用、操作所得结论，求证：≌．
（3）解决问题：在图中，若，请直接写出线段的长．
7．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角.综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得m，m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）.
8．如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为保留作图痕迹，不写作法；
（2）在（1）所作的图中，连接，．
求证：∽；
若，求的值．
9．如图，在中，．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿边向终点匀速运动．过点作交射线于点，当点不与点重合时，作点关于的对称点，连结，设点运动的时间为秒．
（1）边的长为 ．
（2）用含的代数式表示的长．
（3）设与边的交点为；当是锐角三角形时，求的取值范围．
（4）当时，直接写出的值．
10．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段的方向以每秒1单位长度的速度向终点A运动，以点P为旋转中心，将线段顺时针旋转90°，得到线段，连接，设与重合部分的面积为，点P运动时间为秒（）．
（1） ；
（2）当点落在上时，求的值；
（3）点运动过程中，求与的关系式；
（4）当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，直接写出此时的值．
11．小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
12．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点A作于点F，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
2．【答案】（1）解：由题意得， ， ，
，
（2）解：由（1）可知 ，
（海里）
过点 作 于点 ，在 中，
（海里）
海监船继续向正东方向航行是安全的．
3．【答案】（1）解：证明：如图所示：
边绕点逆时针旋转得到线段，
，
点是的中点，
，
点与点关于点对称，
，
，
≌，
，
；
证明：边绕点顺时针旋转得到线段，
，
设，，
则，
在四边形中，
，
≌，
，
，
，
≌，
；
（2）解：．
理由如下：
如图，连接，
由知：≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
即．
4．【答案】（1）
（2）解：当点落在上时，如图：
，
由知，，
，
当点落在上时，过点作，如图：
，，
，，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：连接，过点作，在上取一点，使得，过作，如图：
则，，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
点在过点且与成角的直线上运动，即点的运动轨迹是直线，过点作，当点运动到点时，最小，
，
，
，
，
，，
，
的最小值为；
（4）或
5．【答案】（1）解：，，
，，则，
，
，则，
点与点重合，点与点重合，
，，
过点作轴于点，
依题意，则，，
，，
，
的“翻折点”的坐标为；
点与点关于对称，
为线段的垂直平分线，
当点运动到点时，，
，
当点运动到点时，，
．
（2）
6．【答案】（1）45
（2）解：
证明：是等腰直角三角形，
，
，，
，
在和中，，
≌；
（3）
7．【答案】（1）解：在中，
（2）解：如图，延长交于点，
中，
是等边三角形
答：灯管支架的长度约为.
8．【答案】（1）解：如图，
（2）解：①如图2，由旋转得，，，
，，
，
∽；
②如图，延长AD交CE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
9．【答案】（1）3
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
当Q点在线段上时，
∴，
∵D点与Q点关于对称，
∴，
∴；
当Q点在的延长线上时，，
∴；
综上所述：
（3）解：当时，过点P作交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵D点与Q点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
解得，
∴当时，是锐角三角形；
当，此时与重合，不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴当时，是锐角三角形；
综上所述：时，是锐角三角形；
（4）解：t的值为或．
10．【答案】（1）10
（2）解：当点落在上时，如图：
由旋转性质可知：，，
∴，
又∵，
∴，解得：，
∴（秒）
答：当点落在上时，的值为；
（3）解：当时，点在内部或边上，如图：
此时，与重合部分的面积为的面积，
∴，
当时，点在外，与交于点N，与交于点M，过点N做，垂足为H，如图：
此时，，
∴，
与重合部分的面积为四边形的面积，
∴，
由（2）可知：，
，
∴
综上所述：
（4）解：
11．【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
12．【答案】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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