2023—2024学年第一学期期末考试
八年级数学
说明：本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：1．试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上．
2．要作图或画表，要先铅笔进行画线、绘画，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列描述，能确定具体位置的是（ ）
A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.1415926 C． D．
3．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4； B．6，10，8； C．，2，； D．1，2，3
4．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则周长C与r的函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．下列算式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．801班拟从甲、乙、丙三人中选一人参加校运会的跳高比赛，最近的十次练习中，他们的平均成绩都是，方差分别是，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
7．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为2，则下列说法正确的是（ ）
A．y的值随x的增大而增大 B．该函数图象一定经过第一、二、四象限
C．k的值为或 D．在在范围内，y的最大值为1
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡相应位置）
11．比较大小： 2（填“”、“”或“”）．
12．2023年立冬（11月8日）后某市一周内每天的最高气温如下表：
日期 9日 10日 11日 12日 13日 14日 15日
最高气温（℃） 28 28 24 24 19 18 23
分析表格中的数据可知，这周每天的最高气温的极差是 ℃；
13．计算： ．
14．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的度数是 ；
15．若是方程的一组解，则实数m的值为 ；
16．如图射线①是公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，目前该线路亏损．射线②是公司提高票价后的函数图象，两射线与x轴的交点坐标分别是、，则当乘客为1万人时，提高票价后的收支差额较提价前增加 万元．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
18．解方程组：
19．已知：如图，点E、F在线段上，，且，，求证：．
20．由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示．通过剪贴，可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形．
(1)拼成的大正方形的边长为________；
(2)将剪贴示意图画在网格图中．
21．某校积极响应“弘扬传统文化”的号召，开展经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果，学校在活动初期，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，并根据调查结果绘制成不完整的条形、扇形统计图如图所示：
大赛后学生“一周诗词诵背数量”统计表
一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首
人数 9 11 15 42 23 20
诗词大赛结束后一个月，再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成右上方统计表：
请根据上述调查的信息分析：
(1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为_______（首）；
(2)估计大赛后该校学生（总数1200人）“一周诗词诵背数量”不少于6首的人数；
(3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
22．如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，直线l与x轴平行且经过点．
(1)画出与关于y轴对称的；
(2)画出与关于直线l对称的图形；
(3)点关于直线l的对称点为，则点P的坐标是_______；
23．综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短 （计算过程中的取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 10.3
4 10 9.85
3 a 9.49 b
（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等
24．赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．
(1)“勾股定理”用文字叙述是__________________；
(2)类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的是等边三角形．点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为2，求的面积；
(3)在长方形内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边、、、上，当，时，求小正方形的边的长度；
25．综合应用
如图1，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点，、交于y轴上一点A．
(1)特征探究：求直线的表达式；
(2)坐标探究：过x轴上一点，作于点E，交y轴于点F，求E点坐标；
(3)规律探究：将将向左平移m个单位长度（）得到图2，与y轴交于点P（点P不与A点和C点重合），在的延长线上取一点Q，使，连接交x轴于M点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况？
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，用方向角和距离确定具体位置.
【详解】解：．祖庙附近，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
．教室第2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
．北偏东没有说明距离，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
．东经，北纬，是用经度、纬度来确定物体的位置．故本选项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了有理数和无理数的判断，熟练掌握有理数和无理数的概念是解答此题的关键．
【详解】解：A.是有理数，此选项不符合题意；
B. 3.1415926，是有理数，此选项不符合题意；
C.，是无理数，此选项符合题意；
D.，是有理数，此选项不符合题意；
故选C．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键在于正确的计算．计算每个选项中较小的两个数的平方和与最大数的平方，若二者相等，则三个数能构成直角三角形．
【详解】解：A中，不满足勾股定理，故不符合要求；
B中，满足勾股定理，故符合要求；
C中，不满足勾股定理，故不符合要求；
D中，不满足勾股定理，故不符合要求；
故选B．
4．A
【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质．
【详解】解：根据圆的周长可得：，是常数，，
可知r是自变量，C是因变量，且C随着r的增大而增大．
所以是正比例函数．且当..
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的性质、及立方根的意义，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：A．不能合并，原计算错误，不符合题意；
B．，计算正确，符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵他们的平均成绩都是，方差分别是，，，且，
∴甲的成绩最稳定，
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了真假命题，平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质一一判断即可.
【详解】解：．若，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意；
．若，根据两直线平行，内错角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意；
．若，根据同位角相等，两直线平行，则，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意；
．若，根据内错角相等，两直线平行，则，无法推出, 是假命题, 故本选项符合题意；
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据鸡的数量加上兔的数量等于35，鸡的脚的数量加上兔子的脚的数量等于94可列方程组．
【详解】解：若设兔子有x只，鸡有y只，则兔有条腿，鸡有只脚，
根据题意，可列方程组为，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选B．
10．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，分类讨论求解出的值是解题的关键．根据一次函数与y轴交于，结合与坐标轴围成的三角形的面积为2，分与x轴的交点坐标或两种情况讨论，求出k的值，结合一次函数的图象与性质判断是解题的关键．
【详解】、当 时，随的增大而增大；当时， 随的增大而减小；故错误；
、当时，该函数图象一定经过第一、 二、 四象限；当时，该函数图象一定经过第一、 二、 三象限；故错误；
、时，，所以直线与y轴的交点坐标为，
当时，该函数图象一定经过第一、 二、 四象限，又直线与坐标轴围成的三角形的面积为2，
∴该直线与轴的交点坐标为
即解得 ；
当 时，该函数图象一定经过第一、二、三象限，
此时该直线与x轴的交点坐标为，
∴，
解得，故正确；
、当时，当时，取最大值，当时，当时，取最大值，故错误；
故选：．
11．
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了极差的概念；理解极差的概念是解题的关键．根据极差的概念，表示最大数据与最小数据的差值进行求解即可．
【详解】解：这周每天的最高气温的极差为
（）
故答案为：10．
13．
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
14．##31度
【分析】本题考查角平分线的定义和平行线的性质，先根据角平分线得到的度数，然后根据平行线的性质得到是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．3
【分析】本题主要考查的是二元一次方程的解的定义，得到关于的一元一次方程是解题的关键．
将方程的解代入方程得到关于的一元一次方程，从而可求得的值．
【详解】将代入方程得：
解得．
故答案为：3．
16．1
【分析】该题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是求出解析式；
先求出①和②的函数解析式，再将代入解析式求出，，作差即可求解；
【详解】设①的函数解析式为，②的函数解析式为，
将代入中、代入中解得：
故，，
当乘客为1万人时，将分别代入得：，，
故提高票价后的收支差额较提价前增加万元，
故答案为：1．
17．
【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，先根据二次根式的性质化简二次根式，然后再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18．
【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握消元的思想和消元的方法是解题的关键，消元的方法有：代入消元法与加减消元法；
方程②中的系数是，用代入消元法进行消元比较简便．
【详解】解：，
由②，得，
代入①，得，
解得．
将代入③，得．
故原方程组的解为．
19．见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，由平行线可得，再根据线段的和差得到，运用证明全等是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
20．(1)
(2)见详解
【分析】本题主要考查了网格的基本作图以及算术平方根的应用．
（1）先求出一个小正方的面积，再求出5个正方形的面积，然后根据算术平方根的定义即可求的大正方形的边长；
（2）根据大正方形边长截得四个三角形和一个正方形即可拼接为大正方形．
【详解】（1）解：∵小正形的边长为1，
∴小正方形的面积为1，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为．
故答案为：．
（2）剪贴示意图如图所示：
剪贴后拼接示意图如图所示：
21．(1)
(2)人
(3)见解析
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
（2）根据表格中的数据可以解答本题；
（3）根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
【详解】（1）本次调查的学生有：(名)， 背诵4首的有：(人).
∵，
∴这组数据的中位数是：(首)，
故答案为：；
（2）解：大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的有：(人)，
答：大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的有人．
（3）活动启动之初的中位数是首，众数是首，
大赛后一个月时的中位数是首，众数是首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次活动举办后的效果比较理想．
22．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）也考查了最短路径问题．
（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点连线即可；
（2）利用网格特点和轴对称的性质画出点、、关于直线的对称点，描点连线即可；
（3）先表示出点到直线的距离为，然后利用对称点为列等式即可得到m的值，即可求解．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）∵点的坐标是，
∴点到直线的距离为，
∴点关于直线的对称点坐标为
∵点关于直线l的对称点为，
∴或
解得：（舍去）或
∴点的坐标是．
23．（1）作图见解析，，二 （2）， （3）
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．
（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小；
（3）构造方程即可得到结论．
【详解】（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为，
此时最短路程是厘米，
∵
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
故答案为：，二；
（2）解：，
∵，
∴表格中b表示的大小关系是，
故答案为：，；
（3）解：根据题意可得，
即，
∴，
故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
24．(1)在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方
(2)14
(3)13
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组，三角形面积，根据题意运用赵爽弦图是解题的关键．
（1）写出勾股定理即可；
（2）连接，由点、、分别是、、的中点可得，即可得出即可求解．
（3）根据图形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，得二元一次方程组，即可求出和，进一步求解即可．
【详解】（1）“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方；
（2）解：如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，
∵，
∴，
解得，
∴小正方形的边长为．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式．
（2）根据题意，设点，然后根据坐标轴两点之间的距离公式分别求出，和，然后根据勾股定理列出关于x的一元二次方程，解出x即可．
（3）过点P作，交于点N，则和，根据，得，有，即可证明，得到，利用，得，则有．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，
又直线与x轴交于点
设直线的解析式为，则：
，
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）根据题意，点E在直线上，
设点，
∵，
∴，，，
∵
∴
即，
整理得：，
即，
解得：（舍去），，
则，
∴点E的坐标为．
（3）的长度不会发生变化．
过点P作，交于点N，如图，
则，，
平移前由于，，则，
∴，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程和全等三角形的判定和性质．解题的关键是作辅助线并证明三角形全等．
