2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区重点学校七年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.世界文化遗产长城总长约为米，将用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
2.将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是( )
A.
B.
C.
D.
3.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4.九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程( )
A. B. C. D.
5.已知，，则式子的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中是正方形，，，，都是长方形，这五个四边形的周长分别用，，，，表示，则下列各式的值为定值的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.计算： ______ ．
8.已知是关于的一元一次方程，则方程的解为______．
9.北京首个全向十字路口设于石景山区，为行人带来了很多便利其俯视示意图如图所示若想走近路，从位置到位置的两条路径“”和“”中，你会选择路径______ ，选择的依据是______ ．
10.如图，点在直线上，于点，若，则的度数为______ ．
11.如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起，，则______
12.如图，，，是线段上的三点，为中点，，，，则 ______ ．
13.点，，在同一条直线上，如果，，那么 ______ ．
14.如图，，，平分，平分，则 ______ ．
15.已知线段，在直线上取一点，使得若，分别为线段，的中点，则 用含的式子表示．
16.有一些含有代数式具有这样的特点：当增大时，代数式的值也跟着增大，当减小时，代数式的值也跟着减小，我们把这样的代数式叫做“关于递增代数式”，下列是“关于递增代数式”的是______ 填序号
；；；
三.解答题（共11小题，共计68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
17.（本小题6分）计算：
；
．
18.本小题分
解方程：
；
．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
20.本小题分
有理数、、在数轴上的位置如图所示．
比较大小： ______ ； ______ ； ______ 直接在横线上填“”，“”，“”中的一个；
化简：．
21.本小题分
如图，是直线上一点，平分，，求的度数．
补充完成下面的解答过程．
解：因为是直线上一点，
所以．
因为平分，
所以 ______ ，
所以与互为余角．
因为，
所以______ 与______ 互为余角．
所以依据是：______
因为，
所以 ______
22.本小题分
如图，一长方体的长、宽、高分别如图所示．注：、两小题中每个小正方形的边长均为个单位
在如图的方格纸中分别画出该长方体的主视图、左视图和俯视图；
在方格纸中画出该长方体的表面展开图；
如果一个长方体的表面积为如图，求图中的值．
23.本小题分
如图，已知三点，，．
请读下列语句，并分别画出图形：
画直线；画射线；连接；
尺规作图：在射线上取一点，使得保留作图痕迹．
24.本小题分
如图，线段，点在线段的延长线上，且若点是的中点，求的长．
25.本小题分
已知一个两位数，它的十位上的数字是，个位上的数字是．
写出这个两位数．
若，把这个两位数十位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的和能被整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？
26.本小题分
某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为．
每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______；
若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？
在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过元 不优惠
超过元，但不超过元 按总售价打九折
超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额．
27.本小题分
给出如下定义：如果，且为正整数，那么称是的“倍锐角”．
下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是______填写序号；
；；是的角平分线；
如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；
如图，当时，射线绕点旋转，每次旋转，可得它的“倍锐角”______；
当且存在它的“倍锐角”时，则______
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选B．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2.【答案】
【解析】解：将下列平面图形绕轴旋转一周，
A.能得到图中所示的立体图形，故A符合题意；
B.能得到圆台，故B不符合题意；
C.能得到圆柱，故C不符合题意；
D.能得到圆锥，故D不符合题意；
故选：．
根据每一个几何体的特征判断即可．
本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据图形可以得到：
；
所以：、、都是错误的；
故选：．
利用数轴得与实数得关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设乙出发日，甲乙相逢，则甲出发日，故可列方程为：
．
故选：．
根据题意设乙出发日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出两人所走路程所占比是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：第一个等式减去第二个等式的倍，得，
，
故选：．
先利用等式的性质，再整体求解．
本题考查了代数式求值，整体求解是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设大长方形的长为，宽为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，
则为定值，
长方形的宽为，长为，
长方形的宽为，长为，
长方形的长，宽为，
不是定值，
故A不符合题意；
是定值，
故B符合题意；
不是定值，
故C不符合题意；
，不是定值，
故D不符合题意，
故选：．
设大长方形的长为，宽为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，分别表示出长方形、、的周长，再进一步判断即可．
本题考查了列代数式，理解题意并根据题意表示出相应的周长是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
将化为，再根据度、分、秒的换算方法进行计算即可．
本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算方法以及单位之间的进率是正确解答的前提．
8.【答案】
【解析】解：由一元一次方程的定义得：，
，
或，
又，
，
，
把代入原方程得：，
解得．
故答案为：．
此题的关键是根据一元一次方程的定义确定的值，所以并且，确定的值后代入原方程即可求得方程的解．
本题的考点是一元一次方程的定义及其解法，只要能深刻理解一元一次方程的定义就能使问题变得简单．
9.【答案】 两点之间，线段最短
【解析】解：若想走近路，从位置到位置的两条路径“”和“”中，选择路径是：，选择的依据是两点之间，线段最短．
故答案为：，两点之间，线段最短．
根据线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案．
本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角的计算，能求出是解此题的关键．
根据已知求出，再根据求出，即可求出答案．
【解答】
解：因为，
所以，
因为
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：为中点，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据为中点，，得，所以，即，根据，可得，即可求出．
本题考查了两点间的距离，线段的和差定义，线段的中点等知识，解题的关键是掌握线段中点的性质，属于中考常考题型．
13.【答案】或
【解析】解：当在线段上时，，
；
当在线段的延长线上，，
．
故答案为：或．
分类讨论，在线段上或在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
本题主要考查两点间的距离，熟练掌握线段的和与差是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，平分，
，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的性质，平分，得出，再根据，平分，得出，进而求出的度数．
此题主要考查了垂线的性质以及角平分线的定义，得出是解决问题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：如图，当点在线段上时，
因为线段、的中点分别是、，
所以，，
又因为，，
所以
当点在线段的延长线上时，
因为线段、的中点分别是、，
所以，，
又因为，，
所以
故答案为：或
分两种情况进行讨论，先画图来确定、、三点的位置，然后根据这三点的位置来确定的长．
本题考查了两点间的距离，掌握平面上任意两点间的距离是指连接这两点的线段的长度是关键．
16.【答案】
【解析】解：是递增代数式，符合题意；
不是递增代数式，如当时，，当时，，即当的值增大时，的值减小，故不符合题意；
不是递增代数式，如当时，，结果是常数，的值不随的增大或减小而增大或减小，故不符合题意；
不是递增代数式，如当时，，当时，，即当的值增大时，的值减小，故不符合题意；
故答案为：．
根据递增代数式的定义分析即可．
本题考查了知识拓展，求代数式的值，掌握取合适的数值计算是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确利用有理数的混合运算的法则和运算律解答是解题的关键．
利用乘法的分配律运算即可；
先算乘方与括号内的，再算乘法，最后算减法．
18.【答案】解：
，
合并同类项得：
，
解得：；
去分母得：
，
去括号得：
，
移项、合并同类项得：
，
解得：．
【解析】直接移项、合并同类项，进而解方程得出答案；
直接去分母，再移项、合并同类项，进而解方程得出答案．
此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．
19.【答案】解：
，
，，
原式
．
【解析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将，的值代入即可求解．
本题主要考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：根据图示，可得：，
；；．
故答案为：，，．
；；，
．
根据图示，可得：，据此逐项判断即可；
根据绝对值的含义和求法，化简即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：当是正有理数时，的绝对值是它本身；当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
21.【答案】 同角的余角相等
【解析】解：是直线上一点，
．
平分，
，
与互为余角．
，
与互为余角．
依据是：同角的余角相等．
，
．
故答案为：，，，同角的余角相等，．
由角平分线的定义可求得，则有与互余，再结合，则有与互余，即有，从而得解．
本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
22.【答案】解：三视图如下图：
该长方体的表面展开图如下：
根据题意，得：，
解得：．
【解析】根据几何体的三视图的画法及长方体展开图即可得；
根据长方体表面积计算方法可得关于的方程，解方程即可得．
本题主要考查作三视图及几何体展开图、表面积的计算，熟练掌握三视图的定义及作法是关键．
23.【答案】解：如图，直线；射线；线段即为所求；
如图，线段即为所求．
【解析】根据直线，射线，线段定义画出图形即可；
在射线上截取，再截取，即可得到线段．
此题考查了基础作图，正确理解直线，射线，线段的定义及作图方法是解题的关键．
24.【答案】解：，，
，
，
点是的中点，
，
．
【解析】由，，求出的长，由线段中点定义求出，而，即可得到答案．
本题考查两点的距离，关键是掌握线段的中点定义；并由线段的和差表示出有关的线段．
25.【答案】解：一个两位数，它的十位上的数字是，个位上的数字是，
这个两位数是；
原两位数与新两位数的和能被整除，
理由：由题意可得，原来的两位数为，对调后的两位数为，
，
原两位数与新两位数的和能被整除；
其差又一定是的倍数，
理由：
，
其差又一定是的倍数．
【解析】根据题意，可以用含、的代数式表示出这个两位数；
根据题意可以写出原来的两位数和对调后的两位数，然后作差和作和即可．
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
26.【答案】解：，元．
设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得，，
解得：．
即购进种商品件，种商品件．
设小华打折前应付款为元，
打折前购物金额超过元，但不超过元，
由题意得，
解得：，
打折前购物金额超过元，
，
解得：，
故小华在购物打折前的总金额为元或者元．
【解析】解：每件种商品利润率为：
设种商品每件进价为元，根据题意得：，
解得：，
即种商品每件进价为元，
故答案为：元．
见答案；
见答案
种商品的利润率为，设种商品的进价为元件，则，解得故B种商品的进价为元件．
设购进种商品件，则购进种商品件，再由总进价是元，列出方程求解即可；
分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
27.【答案】解：；
，若，那么，
有以下两种情况：
或；
或．
【解析】解：，
若，那么，
是的倍锐角；
，若，那么，两个角不是整数倍关系，
不是的倍锐角；
平分，若，那么，
是的倍锐角；
能判断是的倍锐角的是；
故答案为：；
见答案；
，且射线绕点每次旋转，
的取值有，，，，，，，，，这几种，对每个可能的值进行分析可知，只有两种情况下，是的倍锐角：
当时，；
当时，；
可能的取值有和这两种情况；
故答案为：或；
若存在它的倍锐角，其几何图示有图中画出的的两种情况：
如图，当在的上方时，
；
如图，当在的下方时，
；
的取值有和这两种情况．
故答案为：或．
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