26.1 反比例函数
知识点
1、定义
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ．
2、反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0
图 象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
性 质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
3、反比例函数的k的几何意义
由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.
巩固练习
一、选择题
1．下列函数是反比例函数的是（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=x2﹣1
2．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数 的图象上，则不在这个函数图象上的点是 （ ）
A．（5，1） B．（－1，5）
C．（ ，3） D．（－3， ）
3．关于反比例函数y＝ 图象，下列说法正确的是（ ）
A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称
4．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝ （k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．反比例函数y= （x<0）的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先增大后减小
6．两个反比例函数和，且，交点个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
7． 已知点、、在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y= （k>0，x>0）的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH=2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
9．是反比例函数，则的值为 ．
10．在函数中，自变量的取值范围是 .
11．如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，那么k的取值范围为 ．
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点C在y轴的负半轴上，连接，.若的面积为5，则m的值为 .
三、解答题
14．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积．
15．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2.
（1）求这个反比例函数的表达式.
（2）若点P在反比例函数图象上，且在直线的下方（不与点A，B重合），求点P横坐标的取值范围.
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标.
（3）根据图象直接写出不等式的解集.
17.如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，2），B（2，c）两点，一次函数与x轴交于点C，
（1）求一次函数的解析式和点C的坐标；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；
（3）点P为x轴上的一点，连接BP，若S△BCP＝2S△AOB，请求出点P的坐标．
参考答案
1．B
2．B
3．D
4．A
5．B
6．A
7．B
8．D
9．-2
10．
11．
12．3
13．-10
14．（1）解：在双曲线上，
，
，
又在的图象上，
，
把两点代入直线解析式得，
解得：，
反比例函数的解析式为，
一次函数的解析式为．
（2）解：将一次函数与轴的交点命名为，则，
，
，
．
15．（1）解：当时，，
∴，
把代入，
得，
∴反比例函数表达式.
（2）解：列方程组，
解得，，
∴，，
∵点P在反比例函数图象上，且在直线的下方（不与点A，B重合），
∴由图象可知或.
16．（1）解：由题意可知：在上，
∴，即，
∵也在，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：联立与可得：，解得：或
∵，
∴；
（3）解：由图象可知：的解集为：或
17.解：（1）把B（2，c）代入，
∴，
∴B（2，﹣4），
把A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，
∴，
所以一次函数为：y＝﹣x﹣2．
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）；
（2）如图，连接OA，OB，
∴，
，
∴S△AOB＝2+4＝6．
（3）设P的坐标为（x，0），则PC＝|x+2|，
由（2）得S△AOB＝6，
∴S△BCP＝2S△AOB＝12，
∴，
∴x+2＝±6，
∴x＝4或﹣8，
∴P的坐标为（4，0）或（﹣8，0）．
