辽宁省2024年中考模拟考试卷01
数学·答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
22. （12分）
23. （12分）
A
·O
B
D
E
F
C
A
A
D
A
B
E
B
C
D
B
C
C
C
图1
图2
图3
←E/%
120
C
D
B
1
2243
4
5
6
t/h
C
B
y
D
NM
辽宁省2024年中考模拟考试卷01
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．学习完“有理数”一章后，小明、小强、小丽、小睿在交流研讨时，小明说“的相反数是6”；小强说“与3互为倒数”；小丽说“0既不是正数也不是负数”；小睿说“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等”，聪明的你判断一下这四位同学谁的观点（ ）是错误的．
A．小明 B．小强 C．小睿 D．小丽
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数，相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义以及0的意义，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：．的相反数是6，小明的说法正确，故本选项不符合题意；
．与3互为倒数，小强的说法正确，故本选项不符合题意；
．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或者互为相反数，小睿说法错误，故本选项符合题意；
．0既不是正数也不是负数，小丽的说法正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键在于理解俯视图的概念：由物体的上方向下做正投影所得视图，根据概念即可作答．
【详解】A、卯的主视图，不符合题意；
B、卯的左视图，不符合题意；
C、卯的俯视图，符合题意；
D、图中间的虚线和实线画反了，不符合题意；
故选：C．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意．
故选：B
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．根据合并同类项法则及去括号法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意；
B、，此选项错误，不符合题意；
C、，此选项错误，不符合题意；
D、，此选项正确，符合题意；
故选：D．
5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
根据配方法，将一元二次方程常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，得到答案．
【详解】解：根据题意得：
一元二次方程，
，
，
，
，，
，
故选：．
6．已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，再求出方程的解，然后根据增根求出k的值．
【详解】去分母，得，
移项，合并同类项得．
∵原方程有增根，
∴，
解得．
故选：C．
7．已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是图的（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据正比例函数的函数值y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：正比例函数函数值随x的增大而减小，
，
，
一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：B．
8．我国古代有一问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币 设这件衣服值枚银币，下面方程中错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这件衣服值x枚银币，根据“干满了个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和枚银币”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这件衣服值x枚银币，根据题意得：
．
即，，故D错误
故选：D
9．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，作直线的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案，准确构造辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点C作，
∵直线，
∴，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
10．如图，在中，，，，按如下步骤作图：
①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作 交于点，连接，．则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由根据题意得是的垂直平分线，即可得，，然后由，可证得，继而证得四边形是菱形，根据勾股定理逆定理可得，所以，可得是的中位线，再根据三角形中位线定理求出，进而求出菱形的周长．
【详解】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，，
∴，，，
又∵，
∴，即，
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴菱形的周长为．
故选：C．
【点睛】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，等边等对角，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握是解本题的关键，本题判断，再化简即可．
【详解】解：，
故答案为：
12．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，将沿轴向右平移得到，与交于点．若：：，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】作轴于点，由得，由，根据等腰三角形的性质得，所以，由平移得 ，，所以，则，即可求得点的坐标为．
【解答】解：如图，作轴于点，
，
，
，
，
，
由平移得 ，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质、图形与坐标等知识，正确理解和运用平移的性质是解题的关键．
13．如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列举法求概率，本题随机闭合开关，，中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，可以闭合、；、 ；、三种情况，其中闭合、 或，时，灯泡可以发光，
∴．
故答案为：．
14．如图，已知是一块含有角的直角三角板（），点A是函数的图象上点，点B是函数的图象上一点，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，根据反比例函数k值的几何意义得出，通过证明，得出，进而得出，则，最后根据函数的图象位于第四象限，即可求解．
【详解】解：过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，
∵点A是函数的图象上点，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∵函数的图象位于第四象限，
∴，
故答案为：．
15．如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．连接，过点作于，交于．证明垂直平分线段，推出点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，求出即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H，
四边形是矩形，点是的中点，
点在对角线，的交点，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）1；（2）无解．
【分析】（1）根据平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂分别计算；
（2）方程两边乘以各分母的最小公分母，化为整式方程后求解，最后进行检验．
【详解】（1）
；
（2）
方程两边同乘，得：，
化简，得：，
解得：，
检验：时，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程无解．
【点睛】本题考查平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，解分式方程，熟练掌握平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，解分式方程是解题的关键．
17．超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
【答案】(1)A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元；
(2)至少购进A种商品100件．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用：
（1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
（2）设购进A种商品件，则B种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元，
根据题意，得，解得：，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
（2）解：设A种商品购进a件，则乙种商品件，
根据题意，得，
解得：，
答：至少购进A种商品100件．
18．近年来，太原市各中小学对劳动教育日益重视，许多学校因地制宜，创造条件，精心设计花样劳动作业，让学生们多参与劳动，形成家校共育，为培养学生的自主意识，提高学生的劳动本领，某校组织全校学生开展了劳动技能大赛，通过以赛促学、以赛促育的方式，感受劳动之趣，体验劳动之美，赛后从中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将结果绘制成如图所示的统计图和统计表：
组别 成绩（分） 频率
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明说频数分布直方图中有一组的数据画错了，你知道是哪一组吗？该组正确的数据应该是多少？
(2)参与本次问卷调查的总人数为______ 名；
(3)若该校共有名学生，请估计本次劳动技能大赛中成绩在分及以上的学生人数；
(4)针对此次劳动技能大赛，请结合上述调查数据，写出一条你获取的信息．
【答案】(1)组画错了，该组正确的数据应该是人
(2)150
(3)1680名
(4)本次劳动技能大赛中成绩不低于分的学生占（答案不唯一）
【分析】（1）分别用频数分布直方图中各组数据除以频数分布表中频率，不相等的哪组就是出错的组，再求出正确数据即可；
（2）用正确的一组频数除以其频率即为参与本次问卷调查的总人数；
（3）用本次劳动技能大赛中成绩在分及以上的频率乘以即可作出估计；
（4）写出一条信息即可．
【详解】（1）解：根据各组所占频率，可求出总人数，
组：，
组：，
组：，
组：，
出错的是组，该组正确的数据应该是 人，
答：组画错了，该组正确的数据应该是人；
（2）解：由（1）知：参与本次问卷调查的总人数为名，
（3）解： 名，
答：估计本次劳动技能大赛中成绩在分及以上的学生人数为名；
（4）解：答案不唯一，比如：本次劳动技能大赛中成绩不低于分的学生占．
【点睛】本题考查频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
19．随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段对应的函数表达式；
【答案】(1)
(2)当时，第二部手机电量超过第一部手机电量
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段对应的函数表达式为，根据，得出，求出t的范围即可．
【详解】（1）解：设线段对应的函数表达式为，
由图象知，经过，
，
解得：，
∴线段对应的函数表达式为．
（2）解：设线段对应的函数表达式为，由图像知，经过．
，
解得：，
∴线段对应的函数表达式为，
方法一：当时，，
解得，
由图象可知，当时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
方法二：当时，，
解得．
∴当时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问题的能力．
20．小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）
【答案】塔吊的高度为：，塔吊没有违规操作.
【分析】如图，过作于，交于，则，，，，，，，可得，再分别求解，，，从而可得答案.
【详解】解：如图，过作于，交于，则，
∵，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴塔吊的高度为：，
而，
∴塔吊没有违规操作.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是解本题的关键．
21．如图，为四边形的外接圆，若、，延长至点F，连接并延长至点E，恰好使得．
(1)证明：为的切线
(2)连接，若的半径为4，，求的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据弧，弦之间的关系，推出为直径，，进而得到，根据同角的余角相等，得到，再根据平角的定义，推出，即，即可得证；
（2）设交于点，垂径定理得到，勾股定理求出的长，等积法求出，再用勾股定理和等积法求出的长，即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，，
∴， ，
∴为半圆，
∴为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，即：；
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）设交于点，
则：，，
∵的半径为4，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握弧，弦，角之间的关系，得到是的直径．
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边 方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度．每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案
【答案】任务一：；任务二：，这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；任务三：方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条
【分析】任务一：用待定系数法求解即可；
任务二：先求出点D的纵坐标，代入解析式求出点C和点D的横坐标，求出开口宽度，然后可求出每边这样的图案最多可以摆放几个；
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，可得（m，n为正整数，且），然后讨论即可．
【详解】任务一：由题意得：，点B坐标为，
设抛物线解析式为，将点代入解析式得：
解得，
∴抛物线解析式为
任务二：时，点D的纵坐标为：，
当时，代入，得
解得，，
∴，
∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个．
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，
由以上条件可知：，．
（m，n为正整数，且），
①，，（不能对称摆放，舍去）
②，（中间摆1个较大的，左右各摆2个较小的，两边各余20米，符合题意）
③，（中间摆2个较大的，左右各摆2个较小的，两边没有空余，符合题意）
④，（中间摆3个较大的，左右各摆1个较小的，两边各余10米，符合题意）
⑤，（不能对称摆放，舍去）
综上可知，方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条；
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
23．【问题探究】
（1）如图1，已知，点D是的中点，连接，则 （填“”“”或“”）
（2）如图2，在梯形中，，请过点A作一条直线平分梯形的面积，点P是与的交点，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3是某公园的一块空地，由和四边形组成，，，米，，，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中确定点M的位置，并计算小路的长．（结果保留根号）
【答案】（1）=；（2）图、理由见解析；（3）图见解析，AM长度为米
【分析】（1）根据中点的定义得出，则和等底同高，推出；
（2）在上取点K，使，作的中点P，则直线即为所求；设直线，之间的距离为h，则，，推出，即可求证；
（3）过E作于T，过A作于P，交于Q，易得四边形，四边形都是矩形，是等腰直角三角形．求出（米），（米）；米，米；米，则（平方米），由等腰直角三角形和矩形的对称性可知：（平方米）；在中，，即，求出米，进而得出（平方米），则（平方米）；即可求出（平方米），（平方米），根据三角形面积公式求出，即可求解．
【详解】解：（1）∵点D是的中点，
∴，
∴和等底同高，
∴；
故答案为：=；
（2）如图：
在上取点K，使，作的中点P，则直线即为所求；
理由如下：
设直线，之间的距离为h，
∴，，
∵，P为中点，
∴，
∴；
（3）过E作于T，过A作于P，交于Q，如图：
理由如下：
∵，，，，
∴四边形，四边形都是矩形，
∵米，，
∴是等腰直角三角形．
∴（米），（米）；
∵，
∴米，米；
∴米，
∴（平方米），
由等腰直角三角形和矩形的对称性可知：（平方米）；
在中，，即，
∴米，
∴（平方米），
∴（平方米）；
∵将这块空地分成面积相等的两部分，
∴（平方米），
∴（平方米），
∴，
解得，
∴，．
∴M到C的距离为米，长度为米．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
辽宁省2024年中考模拟考试卷01
（时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．学习完“有理数”一章后，小明、小强、小丽、小睿在交流研讨时，小明说“的相反数是6”；小强说“与3互为倒数”；小丽说“0既不是正数也不是负数”；小睿说“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等”，聪明的你判断一下这四位同学谁的观点（ ）是错误的．
A．小明 B．小强 C．小睿 D．小丽
2．我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是图的（ ）
A．B． C． D．
8．我国古代有一问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币 设这件衣服值枚银币，下面方程中错误的是( )
A． B．
C． D．
9．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
第9题图 第10题图
10．如图，在中，，，，按如下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作 交于点，连接，．则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，且，将沿轴向右平移得到，与交于点．若：：，则点的坐标为 ．
13．如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
14．如图，已知是一块含有角的直角三角板（），点A是函数的图象上点，点B是函数的图象上一点，则k的值为 ．
15．如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：
（2）解方程：．
17．（8分）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
18．（9分）近年来，太原市各中小学对劳动教育日益重视，许多学校因地制宜，创造条件，精心设计花样劳动作业，让学生们多参与劳动，形成家校共育，为培养学生的自主意识，提高学生的劳动本领，某校组织全校学生开展了劳动技能大赛，通过以赛促学、以赛促育的方式，感受劳动之趣，体验劳动之美，赛后从中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将结果绘制成如图所示的统计图和统计表：
组别 成绩（分） 频率
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明说频数分布直方图中有一组的数据画错了，你知道是哪一组吗？该组正确的数据应该是多少？
(2)参与本次问卷调查的总人数为______ 名；
(3)若该校共有名学生，请估计本次劳动技能大赛中成绩在分及以上的学生人数；
(4)针对此次劳动技能大赛，请结合上述调查数据，写出一条你获取的信息．
19．（8分）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段对应的函数表达式；
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
20．（8分）小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）
21．（8分）如图，为四边形的外接圆，若、，延长至点F，连接并延长至点E，恰好使得．
(1)证明：为的切线
(2)连接，若的半径为4，，求的长
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放
素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边 方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余
任务 问题解决
一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式
二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度．每边这样的图案最多可以摆放几个？
三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案
23．（12分）【问题探究】
（1）如图1，已知，点D是的中点，连接，则 （填“”“”或“”）
（2）如图2，在梯形中，，请过点A作一条直线平分梯形的面积，点P是与的交点，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3是某公园的一块空地，由和四边形组成，，，米，，，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在边上），分别种植两种不同的花卉，请在图中确定点M的位置，并计算小路的长．（结果保留根号）
