2024年中考数学压轴题专项
训练28填空压轴题（函数篇）
一．填空题（共40小题）
1．（2023 上虞区模拟）已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰直角三角形，则AB的长为 2或2 ．
【答案】2或2．
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】解：当AO＝AB时，此时∠OAB＝90°；
∵A在函数y（x＞0）上，
∴S△OAB＝12，
∴OA×AB＝12，
即AB2＝12，
∴AB2；
当AB＝BO时，此时∠ABO＝90°；
∵A在函数y（x＞0）上，
∴S△AOB6，
∴OB×AB＝6，
即AB ＝6，
∴AB＝2，
当OA＝OB时，A点落在y轴上，故不合题意，
综上所述，AB的长为2或2．
故答案为：2或2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．
2．（2023 姑苏区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P'的坐标为（ka+b，a）（其中k为常数且k≠0），则称点P'为点P的“k—关联点”．已知点A在函数y（x＞0）的图象上运动，且A是点B的“3—关联点”，若C（﹣1，0），则BC的最小值为 ．
【答案】．
【分析】由A是点B的“3—关联点”，可设点B坐标，表示出点A坐标，由点A在函数y（x＞0）的图象上，就得到点B在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M、N，过C作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段CB，此时CB最小，由题中的数据，可以证明出△MON∽△MBC，进而得出，进而求出BC．
【详解】解：过点B作QB⊥MN，垂足为B，
设B（x，y），
∵A是点B的“3—关联点”，
∴A（3x+y，x），
∵点A在函数y（x＞0）的图象上，
∴（3x+y）（x）＝3，
即：3x+y＝3或2x+y＝﹣3（舍去x＜0，y＜0），
∴y＝﹣3x+3，
∴点B在直线y＝﹣3x+3上，
直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴相交于点M、N，
则M（1，0）、N（0，3），
∴MN，MC＝MO+OC＝1+1＝2，
当CB⊥MN时，线段BC最短，
∵∠CBM＝∠NOM＝90°，∠CMB＝∠NMO，
∴△MON∽△MBC，
∴，即，
解得：BC，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识，合理地把“坐标与线段的长”互相转化是解决问题的关键．
3．（2023 海门市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，n），B（m+4，n﹣2）是函数y（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线OA交于点C．若BC＝8，则k的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】作AD⊥x轴于点D，设直线CB与x轴交于点E，根据AD∥CE，得，所以nm，即可得到点A（m，m），B（m+4，m﹣2），代入y（k＞0，x＞0）即可求出答案．
【详解】解：如图，作AD⊥x轴于点D，设直线CB与x轴交于点E，
∵点A（m，n），B（m+4，n﹣2），BC＝8，
∴点D（m，0），E（m+4，0），CE＝n+6，
∵AD∥CE，
∴，
∴，
∴nm，
∴点A（m，m），B（m+4，m﹣2），
∵点A，B是函数y（k＞0，x＞0）图象上的两点，
∴k＝m（m+4） （m﹣2），
解得m＝2，
∴k＝m6，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，关键是根据AD∥CE，得，求出nm．
4．（2023 建昌县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，AB＝AC，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，若点A的横坐标为5，BD＝3CD，则k值为 ．
【答案】．
【分析】延长BD交x轴于点E，过点B作BG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥x轴于点F，设B（m，n），可得BD＝3m，AD＝5﹣m，根据勾股定理求出m＝1，进一步得出AF＝n﹣3，再根据n＝5（n﹣3）求出即可得出结论．
【详解】解：延长BD交x轴于点E，过点B作BG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥x轴于点F，
则四边形BGCD，COED，ADEF均为矩形，
∴BG＝CD，AF＝DE，CD＝OE，
设B（m，n），则有BG＝CD＝OE＝m，BE＝n，
∵AC＝AB＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，
∵BD＝3CD＝3m，
∴AF＝DE＝n﹣3m，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m1＝1，m2＝0（不符合题意，舍去），
∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，
∴B（1，n），A（5，n﹣3），
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴n＝5（n﹣3），解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式是解答本题的关键．
5．（2023 碑林区校级模拟）如图，等腰直角△ABC的顶点A坐标为（﹣3，0），直角顶点B坐标为（0，1），反比例函数的图象经过点C，则k＝ ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】先利用等角的余角相等证明∠CBD＝∠BAO，则可根据“AAS”判断△AOB≌△BDA，所以OB＝CD＝1，OA＝BD＝3，则OD＝OC+CD＝4，从而得到点C的坐标，代入即可求得k的值．
【详解】解：作CD⊥y轴于D，
∵A（3，0），B（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDA（AAS），
∴OB＝CD＝1，OA＝BD＝3，
∴点C的坐标（﹣1，4），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k＝﹣1×4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，有一定难度．
6．（2023 宁波模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等腰直角三角形，且∠A＝90°，点B的坐标为（4，0）．反比例函数y（k≠0）的图象交AB于点C，交OA于点D．若C为AB的中点，则 ．
【答案】．
【分析】由等腰直角三角形的性质得到A（2，2），直线OA为y＝x，进一步求得点C（3，1），利用待定系数法求得反比例函数的解析式，与直线OA的解析式联立，解方程组求得点D的坐标，从而求得．
【详解】解：∵点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵△OAB为等腰直角三角形，且∠A＝90°，
∴A（2，2），
∴直线OA为y＝x，
∵C为AB的中点，
∴C（3，1），
∵反比例函数y（k≠0）的图象交AB于点C，交OA于点D，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数为y，
由，解得或，
∴D（），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，求得交点的坐标是解题的关键．
7．（2023 龙港市二模）如图，Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，∠ABO＝Rt∠，A的坐标为（﹣4，0）．将△ABO绕点O顺时针旋转得到△A′B′O，使点B落在边A′O的中点．若反比例函数的图象经过点B'，则k的值为 ．
【答案】．
【分析】连接BB′，交y轴于D，由题意可知OB，得出∠A′OB′＝∠AOB＝60°，证得△BOB′是等边三角形，然后证得BB′垂直于y轴，BD＝B′D，从而求得BD＝B′D＝1，OD，得到B′（1，），代入即可求得k的值．
【详解】解：连接BB′，交y轴于D，
由题意可知OB，
∴∠OAB＝30°，
∴∠A′OB′＝∠AOB＝60°，
∵BO＝B′O，
∴△BOB′是等边三角形，
∵∠BOD＝90°﹣60°＝30°，
∴OD平分∠BOB′，
∴BB′垂直于y轴，BD＝B′D，
∴BB′∥x轴，
∵A的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝4，
∴OB＝2，
∴等边△BOB′的边长为2，
∴BD＝B′D＝1，OD，
∴B′（1，），
∵反比例函数的图象经过点B'，
∴k＝1，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转，证得△BOB′是等边三角形以及BB′∥x轴，从而求得点B′的坐标是解题的关键．
8．（2023 温州二模）如图，点A在x轴上，以OA为边作矩形OABC，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过AB的中点E，交边BC于点D，连结OE．若OE＝OC，CD＝2，则k的值为 ．
【答案】．
【分析】设OC＝AB＝m，则AE，利用勾股定理求得OAm，即可得到D（2，m），E（m，），由k＝xy得到k＝2mm ，解得m，即可求得k＝2m．
【详解】解：设OC＝AB＝m，
∵点E是AB的中点，
∴AE
∵OE＝OC，CD＝2，
∴AE，
∴OAOEm，
∴D（2，m），E（m，），
∵反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点D、E，
∴k＝2mm ，
解得m1，m2＝0（舍去），
∴k＝2m，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示出点D、E的坐标是解题的关键．
9．（2023 石家庄二模）已知A，B，C三点的坐标如图所示．
（1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 C ；
（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 3≤k＜4或k ．
【答案】（1）C；
（2）3≤k＜4或k．
【分析】（1）根据反比例函数系数k＝xy判断即可；
（2）求得直线AC的解析式，与反比例函数解析式联立，整理得3x2﹣11x+2k＝0，当Δ＝0时，反比例函数的图象与直线AC有且只有一个公共点，求得此时k的值，根据k＝4时，反比例函数经过A、B两点，k＝3时，反比例函数经过C点，根据图象即可得出3≤k＜4时，反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点，从而得出3≤k＜4或k．
【详解】解：（1）由坐标系可知，A（1，4），B（2，2），C（3，1），
∵1×4＝2×2≠3×1，
∴反比例函数的图象过点A、B，点C不在反比例函数图象上，
故答案为：C；
（2）设直线AC为y＝kx+b，
代入A、C的坐标得，
解得，
∴直线AC为yx，
令x，整理得3x2﹣11x+2k＝0，
当反比例函数的图象与直线AC有且只有一个公共点时，Δ＝0，
∴（﹣11）2﹣4×3×2k＝0，
解得k，
由（1）可知k＝4时，反比例函数图象过A（1，4），B（2，2）两点，k＝3时，反比例函数图象过C点，
∴3≤k＜4时，反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点，
综上，当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是3≤k＜4或k．
故答案为：3≤k＜4或k．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
10．（2023 郫都区二模）定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1、W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m的取值范围为 m或﹣1＜m＜2 ．
【答案】m或﹣1＜m＜2．
【分析】先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【详解】解：令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，
∴m，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m或﹣1＜m＜2．
故答案为：m或﹣1＜m＜2．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
11．（2023 双阳区一模）如图，抛物线y＝﹣0.25x2+4与y轴交于点A，过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y＝x2于B、C两点（点B在C的左边），连接BO、CO，若将△BOC向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线y＝﹣0.25x2+4上，则点O平移后的坐标为 （0，1.5） ．
【答案】（0，1.5）．
【分析】先求得A的坐标，进而根据题意得到B、C两点的纵坐标为2，把y＝2代入y＝x2得x＝±，即可求得B（，2），进一步求得x时，函数y＝﹣0.25x2+4的值，即可求得平移的距离，得到点O平移后的坐标．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣0.25x2+4与y轴交于点A，
∴A（0，4），
∴OA＝4，
∵过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y＝x2于B、C两点（点B在C的左边），
∴B、C两点的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝x2得x＝±，
∴B（，2），
把x代入y＝﹣0.25x2+4得y＝﹣0.5+4＝3.5，
∴此时点B的坐标为（，3.5），
∴平移的距离为3.5﹣2＝1.5，
∴点O平移后的坐标为（0，1.5），
故答案为：（0，1.5）．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，平行线的性质，求得平移的距离是解题的关键．
12．（2023 衡水二模）如图，点是反比例函数图象上的一点，点M（m，0），将点A绕点M顺时针旋转90°得到点B，连接AM，BM．
（1）k的值为 ﹣3 ；
（2）当a＝﹣3，m＝0时，点B的坐标为 （1，3） ；
（3）若a＝﹣1，无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式．
【答案】（1）﹣3；
（2）（1，3）；
（3）点B始终在函数y＝x﹣2的图象上．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数反比例函数即可求得；
（2）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据旋转的性质得出△BDM≌△MCA，从而得出AC＝MD，CM＝BD，即可得出点B的坐标；
（3）由（2）可知AC＝MD，CM＝BD，根据题意得出B（3+m，m+1），从而得出点B始终在函数y＝x﹣2的图象上．
【详解】解：（1）∵点是反比例函数图象上的一点，
∴k＝a （）＝﹣3．
故答案为：﹣3；
（2）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵∠AMB＝90°，
∴∠AMC+∠BMD＝90°，
∵∠AMC+∠MAC＝90°，
∴∠BMD＝∠MAC，
∵∠BDM＝∠MCA＝90°，BM＝AM，
∴△BDM≌△MCA（AAS），
∴AC＝MD，CM＝BD，
∵a＝﹣3，m＝0，
∴A（﹣3，1），M（0，0），
∴AC＝1，MC＝3，
∴MD＝1，BD＝3，
∴B（1，3）；
故答案为：（1，3）；
（3）若a＝﹣1，则A（﹣1，3），
由（2）可知AC＝MD，CM＝BD，
∵M（m，0），
∴B（3+m，m+1），
∴点B始终在函数y＝x﹣2的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，正确表示点B的坐标是解题的关键．
13．（2023 市中区二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标 （45，2） ．
【答案】（45，2）．
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标以0结束；据此求解即可．
【详解】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
∴横坐标以n结束的有n2个点，
∵452＝2025，
∴第2025个点的坐标是（45，0），
∴2023个点的纵坐标往上数2个单位为2，
∴2023个点的坐标是（45，2）；
故答案为：（45，2）．
【点睛】本题考查了点坐标规律探究，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
14．（2023 沈阳二模）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降 5 元．
【答案】5．
【分析】设降价x元时，则日销售可以获得利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关系，根据关系式的性质就可以求出结论．
【详解】解：设该种商品的销售单价应降价x元时，日销售可以获得利润为W元，
由题意，得W＝（100﹣70﹣x）（20+x）
＝﹣x2+10x+600
＝﹣（x﹣5）2+625，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝5时，W最大＝625．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润＝（售价﹣进价）×销量的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键
15．（2023 贵港二模）如图，抛物线y1截得坐标轴上的线段长AB＝OD＝6，D为y1的顶点，抛物线y2由y1平移得到，y2截得x轴上的线段长BC＝9．若过原点的直线被抛物线y1，y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 y＝x ．
【答案】y＝x．
【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线y1，y2的解析式，设过原点的直线解析式为y＝kx，过原点的直线被抛物线y1，y2所截得的线段长相等，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y1截得坐标轴上的线段长AB＝OD＝6，D为y1的顶点，
∴A（﹣3，0），B（3，0），D（0，6），
设y1的解析式为y＝ax2+6，代入（3，0），得9a+6＝0，
解得：，
∴y1的解析式为，
∵抛物线y2由y1平移得到，y2截得x轴上的线段长BC＝9，
∴C（12，0），
则y2的解析式为，
即，
设过原点的直线解析式为y＝kx，与y1，y2分别交于点F，G，H，K，如图所示，
联立，
即，
∴，x1 x2＝﹣9，
∴F、G两点横坐标之差为|x1﹣x2|，
联立，
即，
∴，x1 x2＝36，
∴H、K两点横坐标之差为，
∵FG＝HK，
∴，
解得k＝1，
故直线解析式为y＝x．
故答案为：y＝x．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，将一次函数与二次函数联立求得交点横坐标之差是解决本题的关键．
16．（2023 江都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（3，4），（﹣1，1），点C在线段AB上，且，则点C的坐标为 ．
【答案】．
【分析】分别过点A，B，C作x轴的垂线垂足分别为E，D，F，过点B作BG⊥AE于点G，交CF于点H，则CF∥AE，BH⊥CF，BD＝HF＝EG，设点C的坐标为（m，n），则CF＝n，OF＝m，可得CH＝n﹣1，BH＝m+1，根据△BHC∽△BGA，可得，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线垂足分别为E，D，F，过点B作BG⊥AE于点G，交CF于点H，则CF∥AE，BH⊥CF，BD＝HF＝EG，
∵点A，B坐标分别为（3，4），（﹣1，1），
∴BD＝HF＝EG＝1，AE＝4，BG＝4，
∴AG＝3，
设点C的坐标为（m，n），则CF＝n，OF＝m，
∴CH＝n﹣1，BH＝m+1，
∵，
∴，
∵CF∥AE，
∴△BHC∽△BGA，
∴，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（2023 龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，OA＝3，将OA沿y轴向上平移3个单位至CB，连接AB，若反比例函数的图象恰好过点A与BC的中点D，则k＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】设A（m，n），则由题意B（m，n+3），进而求得D（，），根据反比例函数系数k＝xy，得到k＝mn ，解得n＝2，利用勾股定理求得m的值，得到A（，2），代入解析式即可求得k的值．
【详解】解：设A（m，n），则B（m，n+3），
∵点D是BC的中点，C（0，3），
∴D（，），
∵反比例函数的图象恰好过点A与BC的中点D，
∴k＝mn ，
解得n＝2，
∴A（m，2），
∵OA＝3，
∴m2+22＝32，
∴m（负数舍去），
∴A（，2），
∴k2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，能够根据题意表示出A、D的坐标是解题的关键．
18．（2023 乐至县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线上，若A（1，0），且△A1B1O、△A2B2A1…△AnBnAn﹣1都是等边三角形，则点Bn的横坐标为 1﹣3×2n﹣2（n为正整数） ．
【答案】1﹣3×2n﹣2（n为正整数）．
【分析】过点Bn作Bn n⊥x轴于点 n，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出该直线与y轴的交点，解直角三角形，可得出∠OAB1＝30°，利用等边三角形的性质及三角形的外角性质，可得出OA1的长度，结合B1C1OA1可得出B1C1的长，同理，可求出Bn n 2n﹣2（n≥2，且n为整数），再结合一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点Bn的横坐标．
【详解】解：过点Bn作Bn n⊥x轴于点 n，如图所示．
∵直线的解析式为，
∴该直线与y轴交于点（0，），
∴tan∠OAB1，
∴∠OAB1＝30°．
∵△A1B1O是等边三角形，
∴∠A1OB1＝60°，
∴∠AB1O＝30°＝∠OAB1，
∴OA1＝OB1＝OA＝1，
∴B1C1OA1；
同理：A1A2＝AA1＝2，A2A3＝AA2＝4，A3A4＝AA3＝8，…，
∴An﹣1An＝AAn﹣1＝2n﹣1（n≥2，且n为整数），
∴Bn nAn﹣1An 2n﹣2（n≥2，且n为整数），
∴点Bn的纵坐标为 2n﹣2（n为正整数）．
当y 2n﹣2时， 2n﹣2x，
解得：x＝1﹣3×2n﹣2，
∴点Bn的横坐标为1﹣3×2n﹣2（n为正整数）．
故答案为：1﹣3×2n﹣2（n为正整数）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、三角形的外角性质、解直角三角形以及规律型：点的坐标，根据各点的变化，找出“Bn n 2n﹣2（n≥2，且n为整数）”是解题的关键．
19．（2023 玄武区一模）已知函数y＝2x2﹣（m+2）x+m（m为常数），当﹣2≤x≤2时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当m＝ 2 时，a取得最大值．
【答案】2．
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【详解】解：由二次函数y＝2x2﹣（m+2）x+m（m为常数），得到对称轴为直线x，抛物线开口向上，
当2，即m≥6时，由题意得：当x＝2时，a＝8﹣2m﹣4+m＝4﹣m，a随m增大而减小，a的最大值为﹣2；
当﹣22，﹣10＜m＜6时，由题意得：当x时，a＝2×（）2﹣（m+2） （）+m（m﹣2）2，则m＝2时，a取得最大值；
当2，即m≤﹣10时，由题意得：当x＝﹣2时，a＝8+2m+4+m＝3m+12，a随m增大而增大，a的最大值为﹣18；
综上，当m＝2时，a取得最大值．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
20．（2023 萧山区一模）已知点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上．
（1）若，则 ．
（2）若x1＝x2+2，y1＝3y2，则当自变量x＞x1+x2时，函数y的取值范围是 y ．
【答案】（1）；
（2）y．
【分析】（1）把P、Q代入解析式得到y1，y2，进一步得到；
（2）由x1＝x2+2，y1＝3y2得到x1＝﹣1，x2＝﹣3，即可得到x1+x2＝﹣4，求得x＝﹣4时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到函数y的取值范围．
【详解】解：（1）∵点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上，
∴y1，y2，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上，
∴y1，y2，
∵y1＝3y2，
∴3，
∴x2＝3x1，
∵x1＝x2+2，
∴x1＝3x1+2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴x1+x2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y，
∵反比例函数中k＞0，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当自变量x＞x1+x2时，函数y的取值范围是 y，
故答案为：y．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质，熟知反比例函数图象和性质是解答此题的关键．
21．（2023 灞桥区校级模拟）如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在BC延长线上，CE＝BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数的图象于点P，记△BEF的面积为S，若，则k的值为 8 ．
【答案】8．
【分析】作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA＝b，OB＝a．首先利用全等三角形的性质求出D、C两点坐标，再证明a＝b，再构建方程求出k的值．
【详解】解：如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA＝b，OB＝a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠DAM+∠BAO＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
∵∠AOB＝∠DAM＝90°，
∴△AOB≌△BNC（AAS），
同理△BNC≌△DMA，
∴DM＝OA＝BN＝b，AM＝OB＝CN＝a，
∴D（b，a+b），C（a+b，a），
∵点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，
∴b（a+b）＝a（a+b），
∵a+b≠0，
∴a＝b，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝45°，∠EBF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BC＝EC，
∴可得E（3a，2a），F（5a，0），
∴4a×2a12，
∴4a212，
∵D（a，2a），
∴2a2＝k，
∴2k12，
∴k＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数图象的点的特征，正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
22．（2023 东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上．以AB为边长作正方形ABCD，S正方形ABCD＝50，点C在反比例函数y＝k/x（k≠0，x＞0）的图象上，将正方形沿x轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D刚好落在该函数图象上，则k的值是 8 ．
【答案】8．
【分析】作DF⊥y轴于点F，CE⊥x轴于点E，通过证得△OAB≌△EBC≌△FDA可得出BE＝OA＝DF，CE＝OB＝AF，设OA＝a，OB＝b，即可得出C（a+b，b），D（a，a+b），进而把点C和平移后的D点坐标代入反比例函数的解析式求出k的值即可．
【详解】解：作DF⊥y轴于点F，CE⊥x轴于点E，
正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
Rt△ABO中，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO，
在△OAB与△EBC中
，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴BE＝OA，CE＝OB，
同理△OAB≌△FDA，
∴DF＝OA，AF＝OB，
设OA＝a，OB＝b，则C（a+b，b），D（a，a+b），
∵点C在反比例函数y＝k/x（k≠0，x＞0）的图象上，将正方形沿x轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D刚好落在该函数图象上，
∴k＝b（a+b）＝（a﹣6） （a+b），
∴a﹣6＝b，
∵S正方形ABCD＝50，
∴AB2＝50，
∵OA2+OB2＝AB2，
∴a2+b2＝50，即a2+（a﹣6）2＝50，
解得a＝7（负数舍去），
∴b＝a﹣6＝1，
∴k＝b（a+b）＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判断和性质，勾股定理的应用，正方形的面积等，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（2023 长春一模）如图，正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线y上，点B、C、E均在y轴上．若点O是BC边的中点，则正方形CEFG的边长为 1 ．
【答案】1．
【分析】设OB＝OC，且a＞0，即可得D（﹣2a，﹣a），根据D（﹣2a，﹣a）在抛物线y上，可得a，设正方形CEFG的边长为b，且b＞0，同理可得F（b，），代入y中，问题得解．
【详解】解：∵点O是BC边的中点，
∴设OB＝OC，且a＞0，
在正方形ABCD中，DC＝BC＝2a，DC⊥BC，
∴D（﹣2a，﹣a），
∵D（﹣2a，﹣a）在抛物线y上，
∴﹣a，
解得：a，
设正方形CEFG的边长为b，且b＞0，
∴CE＝EF＝b，
∴OE＝OC+CE，
∴结合正方形的性质，可知F（b，），
∵F（b，）在抛物线y上，
∴，
解得：b＝1（负值舍去），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握正方形的性质，二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
24．（2023 成都模拟）如图，在△AOB中，AO＝AB，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线y）于点B，C，连接OB，OC，当OB平分∠DOC时，AO与AC满足，若△OBD的面积为4，则k＝ ．
【答案】．
【分析】通过证得△AOD∽△ACO，得到，即可求得△AOB的面积为12，进一步求得△BOC的面积为6，根据S△BOC＝S梯形BMNC得出k的值即可．
【详解】解：作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵AO＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，
∴∠AOD+∠BOD＝∠OCB+∠BOC，
∵∠BOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠ACO，
∵∠OAD＝∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴，
∴，
∵△OBD的面积为4，
∴△AOB的面积为12，
∵，
∴，
∴△BOC的面积为6，
∴COD的面积为10，
∴，
∴设B（2x，），则C（5x，），
∵S△BOC＝S△BOM+S梯形BMNC﹣S△CON，S△BOM＝S△CON|k|，
∴S△BOC＝S梯形BMNC，
解得k，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判断和性质，三角形的面积，求得△BOC面积是解题的关键．
25．（2023 北仑区二模）如图，将矩形OABC的顶点O与原点重合，边AO、CO分别与x、y轴重合．将矩形沿DE折叠，使得点O落在边AB上的点F处，反比例函数上恰好经过E、F两点，若B点的坐标为（2，1），则k的值为 10﹣2 ．
【答案】10﹣2．
【分析】连结OF，过E作EH⊥OA于H，由B点坐标为（2，1），即可得出E点的坐标为（k，1），F点的坐标为，证得△EHD∽△OAF，得到，求得，进而求得，，由折叠可得，利用勾股定理得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【详解】解：连结OF，过E作EH⊥OA于H．
∵B点坐标为（2，1），
∴E点的纵坐标为1，F点的横坐标为2，
∵反比例函数上恰好经过E、F两点，
∴E点的坐标为（k，1），F点的坐标为，
∵∠EDH+∠AOF＝∠EDH+∠HED＝90°，
∴∠AOF＝∠HED，
又∠EHD＝∠OAF＝90°，
∴△EHD∽△OAF，
∴，即，
∴，
∴，，
由折叠可得，
在Rt△DAF中，由勾股定理可得，
解得，（舍）．
∴k的值为10﹣2．
故答案为：10﹣2．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，坐标与图形性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，以及折叠的性质，正确表示出线段的长度是解本题的关键．
26．（2023 合肥二模）已知函数y＝x2+mx（m为常数）的图形经过点（﹣5，5）．
（1）m＝ 4 ．
（2）当﹣5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 n＝﹣3或 ．
【答案】（1）4；
（2）n＝﹣3或．
【分析】（1）把已知坐标代入解析式计算即可．
（2）根据抛物线额性质，分类计算．
【详解】解：（1）∵函数y＝x2+mx（m为常数）的图形经过点（﹣5，5），
∴5＝（﹣5）2﹣5m，
解得m＝4，
故答案为：4；
（2）由（1）得m＝4，
∴函数的解析式为y＝x2+4x，
∴y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，
故抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，二次函数的最小值为﹣4，
∵（﹣5，5）的对称点为（1，5），
当﹣5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，
当﹣5≤n＜﹣2时，最大值为5，x＝n时，取得最小值，且为y＝n2+4n，
根据题意，得n2+4n+5＝2，
解得n＝﹣3，n＝﹣1（舍去），
故n＝﹣3；
当﹣2≤n≤1时，最大值为5，x＝﹣2时，取得最小值，且为﹣4，
根据题意，得5﹣4＝1，不符合题意；
当n＞1时，x＝﹣2时，取得最小值，且为﹣4，x＝n时，取得最大值，且为y＝n2+4n，
根据题意，得n2+4n﹣4＝2，
解得（舍去），
故；
故答案为n＝﹣3或．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
27．（2023 仓山区校级模拟）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的6组对应值，
x … ﹣5 x1 x2 1 x3 3 …
y … m 0 2 0 n m …
其中﹣5＜x1＜x2＜1＜x3＜3．根据表中信息，当x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为 2＜k ．
【答案】2＜k．
【分析】由抛物线经过（﹣5，m），（3，m）可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，再将（1，0）代入解析式可得二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】解：∵抛物线经过（﹣5，m），（3，m），
∴抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝2a，y＝ax2+2ax+2，
将（1，0）代入y＝ax2+2ax+2得0＝a+2a+2，
解得a，
∴yx2x+2（x+1）2，
∴x＝﹣1时，y为函数最大值，
将x代入yx2x+2得y，
将x＝0代入代入yx2x+2得y＝2，
∴2＜k满足题意．
故答案为：2＜k．
【点睛】本题考查二次函数的应用和二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握待定系数法求二次函数解析式．
28．（2023 西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．
【详解】解：过点C作CH⊥x轴于点H．
∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∵OB∥CH，
∴△AOB∽△AHC，
∴，
∴1，
∴OA＝OH＝1，
∴CH＝2OB＝2，
∴C（﹣1，2），
∵点C在y的图象上，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
29．（2023 龙泉驿区模拟）在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当t≤x≤t+1时，一次函数y＝kx+1（k＞0）的界值大于3，则k的取值范围是 k＞3 ；当t≤x≤t+2时，二次函数y＝x2+2tx﹣3的界值为2，则t＝ ﹣1或 ．
【答案】k＞3；﹣1或．
【分析】y＝kx+1：根据k＞0时，y随x的增大而增大，根据最大值﹣最小值＞3列不等式可解答；
y＝x2+2tx﹣3：先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，分情况讨论，根据二次函数y＝x2+2tx﹣3的界值为2列方程可解答．
【详解】解：当t≤x≤t+1时，一次函数y＝kx+1（k＞0）的界值大于3，
∴y最大值﹣y最小值＞3，
∵k＞0，y随x的增大而增大，
∴x＝t时，y最小值＝tk+1，x＝t+1时，y最大值＝k（t+1）+1，
∴k（t+1）+1﹣（tk+1）＞3，
∴k＞3；
y＝x2+2tx﹣3＝（x+t）2﹣3﹣t2，
当x＝﹣t时，y最小值＝﹣3﹣t2，当x＝t时，y＝3t2﹣3，当x＝t+2时，y＝3t2+8t+1，
①当﹣t≤t≤t+2时，t≥0，
此时，当x＝t时，y取最小值，当x＝a+2时，y取最大值，
∴y最大值＝3t2+8t+1，y最小值＝3t2﹣3，
∴3t2+8t+1﹣（3t2﹣3）＝2，
解得t（舍去）；
②当t≤﹣t≤t+2时，﹣1≤t≤0，
当t≤0时，y最大值＝3t2+8t+1，y最小值＝﹣3﹣t2，
∴3t2+8t+1﹣（﹣t2﹣3）＝2，解得t＝﹣1或t＝﹣1（舍）；
当﹣1≤t时，y最大值＝3t2﹣3，y最小值＝﹣3﹣t2，
3t2﹣3﹣（﹣t2﹣3）＝2，解得t或t（舍）；
③当t≤t+2≤﹣t时，t≤﹣1，
y最小值＝3t2+8t+1，y最大值＝3t2﹣3，
∴3t2﹣3﹣（3t2+8t+1）＝2，解得t（舍去）；
综上所述，t的值为﹣1或．
故答案为：k＞3；﹣1或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．
30．（2023 姑苏区一模）如图①，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＞AD．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数图象如图②所示，则AB＝ 15 cm．
【答案】15．
【分析】结合图象可知当t＝13时，点P到达点D，此时y＝90，AQ＝13cm，从而可求出此时△APQ的高DE＝12cm，当t＝18时，点P到达点C，点Q已经停止，此时y＝90，AQ＝AB．由AB∥DC，可知此时△APQ的高也为12cm，再根据三角形的面积公式即可求出AB的长．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
当t＝13时，P到达D点，即AD＝AQ＝13cm，此时y＝78，
∴AQ DE13 DE＝78，
∴DE＝12，
当t＝18时，点P到达点C，此时点Q已停止运动，此时y＝90cm2，AQ＝AB，
∵AB∥DC，
∴此时△APQ的高也为12cm，
∴S△APQAB DEAB×12＝90，
∴AB＝15（cm），
故答案为：15．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，平行线间的距离，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
31．（2023 宁波模拟）如图，点B是反比例函数（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．则k＝ 2 ；△BDF的面积＝ 3 ．
【答案】2，3．
【分析】连接OD，表示出点M的坐标，即可求得k的值，根据△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求得．
【详解】解：连接OD，
设点B（m，n），则点M（m，），
∵点B是反比例函数（x＞0）图象上一点，
∴mn＝8，
∵反比例函数（x＞0）的图象经过OB的中点M，
∴kmn2，
∴△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD3．
故答案为：2，3．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、面积的计算等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
32．（2023 青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x与反比例函数的图象交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图象上的一点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若，△BCD的面积为30，则k＝ 6 ．
【答案】6．
【分析】作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C（a，），可证明tan∠CAE＝tan∠CBF，则∠CAE＝∠CBF，即可推导出∠CDM＝∠CMD，则CD＝CM，所以，则CI＝4FI，所以a＝4m，C（4m，），由tan∠CMD＝tan∠CBF，得DI＝MI＝3m，则DM＝6m，于是得6m×m6m×4m＝30，则m2＝2，所以k＝3m2＝6．
【详解】解：作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，
∵直线y＝3x经过原点，且与双曲线y交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，
设点C的横坐标为a，则C（a，），F（﹣m，），
∵tan∠CAE，tan∠CBF，
∴tan∠CAE＝tan∠CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，
∵AE∥BF∥DM，
∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，
∴∠CDM＝∠CMD，
∴CD＝CM，
∵，
∴CI＝4FI，
∴a＝4m，
∴C（4m，），
∵tan∠CMD＝tan∠CBF，
∴DI＝MICI4m＝3m，
∴DM＝DI+MI＝6m，
∵DM FIDM CI＝S△BCD＝30，
∴6m×m6m×4m＝30，
∴m2＝2，
∴k＝3m2＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点睛】此题重点考查正比例函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
33．（2023 锦江区模拟）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足a2+2ac+c2＜b2.若当x＝t+2和x＝﹣t+2（t为任意实数）时ax2+bx+c的值相同；当x＝﹣2时，ax2+bx+c的值为2，则二次项系数a的取值范围是 x ．
【答案】a．
【分析】先根据二次函数的对称性可得其对称轴是：2，得b与a的关系：b＝﹣4a，将（﹣2，2）代入y＝ax2+bx+c中可得：c＝2﹣12a，代入a2+2ac+c2＜b2中可解答．
【详解】解：∵当x＝t+2和x＝﹣t+2（t为任意实数）时ax2+bx+c的值相同，
∴2，
∴b＝﹣4a，
∵当x＝﹣2时，ax2+bx+c的值为2，
∴函数y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，2），
∴4a﹣2b+c＝2，
∴4a+8a+c＝2，
∴c＝2﹣12a，
∵a2+2ac+c2＜b2，
∴（a+c）2＜b2，
∴（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，
∵b＝﹣4a，c＝2﹣12a，
∴（a+2﹣12a﹣4a）（a+2﹣12a+4a）＜0，
∴（2﹣15a）（2﹣7a）＜0，
∴a．
故答案为：a．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解不等式，掌握二次函数的对称性，解不等式的方法是关键．
34．（2023 江北区一模）如图，菱形ABCO的顶点A与对角线交点D都在反比例函数的图象上，对角线AC交y轴于点E，CE＝2DE，且△ADB的面积为15，则k＝ 8 ；延长BA交x轴于点F，则点F的坐标为 ．
【答案】8，．
【分析】通过构造延长线得到直角三角形EOM，再用射影定理求出ED、DA、DO之间的数量关系，在通过△ODA面积为15求出ED、DA、DO实际长度，再通过求D点到y轴的距离求出D点坐标，也解出k，进而得出B点坐标．再过点A作AH⊥ND于H，然后通过相似求出A点坐标，进而得出AB直线解析式，最后得出F点坐标．
【详解】解：延长DA交x轴于点M，
设DE＝a，则CE＝2a，CD＝AD＝3a，
∵ED＝a，
∴AM＝a，
∴Rt△MOE中，OD⊥EM，OD2＝ED DM，
∴OD＝2a，
∵，
∴，
∴
过D作DN⊥y轴，则，
即ON＝2DN，
∵，
∴D（2，4），即k＝8．
∵D（2，4），
∴B（4，8），过点A作AH⊥ND于H，
∵∠OND＝∠H＝90°，
∠EDN+∠NDO＝90°，∠NDO+∠HDA＝90°，
∴∠NDO＝∠HDA，
∴△DHA∽△OND，
∵，
∴DH＝6，AH＝3，
∴A（8，1），
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数解析式求解、相似三角形的应用、射影定理应用、菱形的性质、一次函数应用，掌握这些是本题关键．
35．（2023 吴兴区一模）如图1，点A是反比例函数的图象上一点，连接OA，过点A作AA1∥y轴交的图象于点A1，连接OA1并延长交的图象于点B，过点B作BB1∥y轴交的图象于点B1，已知点A的横坐标为1，，连接OB1，小明通过对△AOA1和△BOB1的面积与k的关系展开探究，发现k的值为 4 ；如图2，延长OB1交的图象于点C，过点C作CC1∥y轴交的图象于点C1，依此进行下去．记，，…则S2023＝ ．
【答案】4 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，得到，，进而得到，又因为，得到OB＝2OA1，再根据反比例函数的性质，得到A1（1，1），从而得到，，证明△A1OA'∽△BOB'，得到OB'＝BB'，利用勾股定理求出OB＝BB'＝2，得到点B的坐标，即可求出k的值，将k的值代入，得到，同理可得，推出规律，面积S恒等于，即可得到答案．
【详解】解：延长AA1交x轴于点A'，延长BB1交x轴于点B'，
∵点A是的图象上一点，A1是的图象上一点，AA1∥y轴，
∴，，
∴，
∵点B是的图象上一点，B1是的图象上一点，BB1∥y轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴OB＝2OA1，
∵A1是的图象上一点，且点A的横坐标为1，
∴A1（1，1），
∴，
∴，
∵AA1∥y轴，BB1∥y轴，
∴AA1∥BB1，
∴△A1OA'∽△BOB'，
∴，
∴OB'＝BB'，
在 Rt△BOB'中，，
∴B（2，2），
∵点B是的图象上一点，
∴k＝2×2＝4，
∴，
同理可证，，，
∴，，
∴，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题关键．
36．（2023 徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果BD＝CD，那么抛物线C2的表达式是 yx2x ．
【答案】yx2x．
【分析】先利用抛物线C1求出A，B，C的坐标，再利用BD＝CD，以及勾股定理求出点D的坐标，最后用待定系数法求出C2的表达式即可．
【详解】解：令x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，
∴D（0，c），
∴CD＝c+3，
在Rt△BDO中，
BD，
∵BD＝CD，
∴c+3，
解得c，
∴抛物线C2：y＝ax2+bx，
将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx，
得
解得，
∴抛物线C2的表达式是：yx2x．
故答案为：yx2x．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，解答时涉及抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
37．（2023 蜀山区校级模拟）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差）．
（1）m＝ 10 ，n＝ 15 ；
（2）当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．
【答案】（1）10，15；
（2）5≤w≤20．
【分析】（1）利用待定系数法求得m、n；
（2）由（1）得出抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
【详解】解：（1）∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴m＝10，n＝15，
故答案为：10，15；
（2）∵抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：5≤w≤20．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
38．（2023 南充模拟）如图，平移抛物线y＝ax2+bx+c，使顶点在线段AB上运动，与 x轴交于C，D两点．若A（﹣2，﹣3），B（4，﹣3），四边形ABDC的面积为15，则a＝ ．
【答案】．
【分析】由四边形ABDC的面积为15，求得CD＝4，设C（x1，0），D（x2，0），根据二次函数和方程的关系得出x1+x2，x1x2，从而得出|x1﹣x2|＝4，经过变形即可求得a的值．
【详解】解：∵顶点在线段AB上运动，A（﹣2，﹣3），B（4，﹣3），
∴AB＝6，抛物线顶点的纵坐标为﹣3，
∵四边形ABDC的面积为15，
∴（AB+CD）×3＝15，
∴CD＝4，
设C（x1，0），D（x2，0），
∴x1+x2，x1x2，
∴|x1﹣x2|4，
∵顶点的纵坐标为3，
∴b2﹣4ac＝12a，
∴4，
∴16a＝12，解得a．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，梯形的面积，理解题意并根据二次函数和方程的关系列出关系式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．
39．（2023 通州区一模）某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案 A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆（答案不唯一） ，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是 2600 元．
【答案】A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆（答案不唯一）；2600元．
【分析】设A、B、C三种型号客车分别租x辆、y辆、z辆，由题意得关于x、y、z的等式，求出x、y、z的所有正整数解，即得出满足要求所有租车方案，选择一种填空即可；由题意可知：租用每种型号客车的人均费用，得出“多租B型号客车且少租C型号客车费用较低”，从而得出结论，也可把每种方案的费用都算出来，比较大小即得．
【详解】解：设A、B、C三种型号各车分别租x辆、y辆、z辆，
由题意得40a+30y+10z＝150，即4a+3y+z＝15，
∵学校同时租用A、B、C三种型号客车去农场，要求每辆车必须满载，
∴x，yz都是正整数，
∴满足条件的x，y，z有：
或或或，
∴写出一种满足要求的租车方案可以是：A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆（答案不唯一）；
∵租用A、B、C三种型号客车每人的费用分别（元）、（元）、20（元），
而20，
∴多租B型号客车且少租C型号客车费用较低，
若A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆，
则费用为700×1+500×3+200×2＝2600（元）；
若A、B、C三种型号客车分别租2辆、2辆、1辆，
则费用为700×2+500×2+200×1＝2600（元），
∴满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是2600元．
故答案为：A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆（答案不唯一）；2600元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是得出A、B、C三种型号车辆的关系式．
40．（2023 武侯区模拟）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足函数关系式h＝﹣5t2+mt+n，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为 h＝﹣5t2+30t+10 （不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示．那么在这次投球过程中，球入筐前L的取值范围是 5≤L≤40 ．
【答案】h＝﹣5t2+30t+10，5≤L≤40．
【分析】用待定系数法可得球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为h＝﹣5t2+30t+10；求出抛物线顶点为（3，55），由“投射矩”概念，分别求出L的最大值和最小值，即可得到答案．
【详解】解：由题意知，发射点的坐标为（0，10），球框中心的坐标为（5，35），
∴，
解得，
∴球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为h＝﹣5t2+30t+10；
∵h＝﹣5t2+30t+10＝﹣5（t﹣3）2+55，
∴抛物线顶点为（3，55），
由“投射矩”概念可知，当2≤t≤4时，L最小，最小为55﹣[﹣5×（2﹣3）2+55]＝5，
当0≤t≤2时，L最大，最大为[﹣5×（2﹣3）2+55]﹣10＝40，
∴球入筐前L的取值范围是5≤L≤40．
故答案为：h＝﹣5t2+30t+10，5≤L≤40．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法，理解“投射矩”的概念．
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2024年中考数学压轴题专项
训练28填空压轴题（函数篇）
一．填空题（共40小题）
1．（2023 上虞区模拟）已知点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰直角三角形，则AB的长为 ．
2．（2023 姑苏区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P'的坐标为（ka+b，a）（其中k为常数且k≠0），则称点P'为点P的“k—关联点”．已知点A在函数y（x＞0）的图象上运动，且A是点B的“3—关联点”，若C（﹣1，0），则BC的最小值为 ．
3．（2023 海门市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，n），B（m+4，n﹣2）是函数y（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线OA交于点C．若BC＝8，则k的值为 ．
4．（2023 建昌县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，AB＝AC，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，若点A的横坐标为5，BD＝3CD，则k值为 ．
5．（2023 碑林区校级模拟）如图，等腰直角△ABC的顶点A坐标为（﹣3，0），直角顶点B坐标为（0，1），反比例函数的图象经过点C，则k＝ ．
6．（2023 宁波模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等腰直角三角形，且∠A＝90°，点B的坐标为（4，0）．反比例函数y（k≠0）的图象交AB于点C，交OA于点D．若C为AB的中点，则 ．
7．（2023 龙港市二模）如图，Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，∠ABO＝Rt∠，A的坐标为（﹣4，0）．将△ABO绕点O顺时针旋转得到△A′B′O，使点B落在边A′O的中点．若反比例函数的图象经过点B'，则k的值为 ．
8．（2023 温州二模）如图，点A在x轴上，以OA为边作矩形OABC，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过AB的中点E，交边BC于点D，连结OE．若OE＝OC，CD＝2，则k的值为 ．
9．（2023 石家庄二模）已知A，B，C三点的坐标如图所示．
（1）若反比例函数的图象过点A，B，C中的两点，则不在反比例函数图象上的是点 ；
（2）当反比例函数的图象与线段AC（含端点）有且只有一个公共点时，k的取值范围是 ．
10．（2023 郫都区二模）定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”．若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1、W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m的取值范围为 ．
11．（2023 双阳区一模）如图，抛物线y＝﹣0.25x2+4与y轴交于点A，过AO的中点作BC∥x轴，交抛物线y＝x2于B、C两点（点B在C的左边），连接BO、CO，若将△BOC向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线y＝﹣0.25x2+4上，则点O平移后的坐标为 ．
12．（2023 衡水二模）如图，点是反比例函数图象上的一点，点M（m，0），将点A绕点M顺时针旋转90°得到点B，连接AM，BM．
（1）k的值为 ；
（2）当a＝﹣3，m＝0时，点B的坐标为 ；
（3）若a＝﹣1，无论m取何值时，点B始终在某个函数图象上，这个函数图象所对应的表达式．
13．（2023 市中区二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2023个点的坐标 ．
14．（2023 沈阳二模）某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降 元．
15．（2023 贵港二模）如图，抛物线y1截得坐标轴上的线段长AB＝OD＝6，D为y1的顶点，抛物线y2由y1平移得到，y2截得x轴上的线段长BC＝9．若过原点的直线被抛物线y1，y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 ．
16．（2023 江都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（3，4），（﹣1，1），点C在线段AB上，且，则点C的坐标为 ．
17．（2023 龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，OA＝3，将OA沿y轴向上平移3个单位至CB，连接AB，若反比例函数的图象恰好过点A与BC的中点D，则k＝ ．
18．（2023 乐至县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线上，若A（1，0），且△A1B1O、△A2B2A1…△AnBnAn﹣1都是等边三角形，则点Bn的横坐标为 ．
19．（2023 玄武区一模）已知函数y＝2x2﹣（m+2）x+m（m为常数），当﹣2≤x≤2时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当m＝ 时，a取得最大值．
20．（2023 萧山区一模）已知点P（x1，y1）Q（x2，y2）在反比例函数图象上．
（1）若，则 ．
（2）若x1＝x2+2，y1＝3y2，则当自变量x＞x1+x2时，函数y的取值范围是 ．
21．（2023 灞桥区校级模拟）如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数的图象上，点E在BC延长线上，CE＝BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数的图象于点P，记△BEF的面积为S，若，则k的值为 ．
22．（2023 东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上．以AB为边长作正方形ABCD，S正方形ABCD＝50，点C在反比例函数y＝k/x（k≠0，x＞0）的图象上，将正方形沿x轴的负半轴方向平移6个单位长度后，点D刚好落在该函数图象上，则k的值是 ．
23．（2023 长春一模）如图，正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线y上，点B、C、E均在y轴上．若点O是BC边的中点，则正方形CEFG的边长为 ．
24．（2023 成都模拟）如图，在△AOB中，AO＝AB，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线y）于点B，C，连接OB，OC，当OB平分∠DOC时，AO与AC满足，若△OBD的面积为4，则k＝ ．
25．（2023 北仑区二模）如图，将矩形OABC的顶点O与原点重合，边AO、CO分别与x、y轴重合．将矩形沿DE折叠，使得点O落在边AB上的点F处，反比例函数上恰好经过E、F两点，若B点的坐标为（2，1），则k的值为 ．
26．（2023 合肥二模）已知函数y＝x2+mx（m为常数）的图形经过点（﹣5，5）．
（1）m＝ ．
（2）当﹣5≤x≤n时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 ．
27．（2023 仓山区校级模拟）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的6组对应值，
x … ﹣5 x1 x2 1 x3 3 …
y … m 0 2 0 n m …
其中﹣5＜x1＜x2＜1＜x3＜3．根据表中信息，当x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为 ．
28．（2023 西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 ．
29．（2023 龙泉驿区模拟）在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当t≤x≤t+1时，一次函数y＝kx+1（k＞0）的界值大于3，则k的取值范围是 ；当t≤x≤t+2时，二次函数y＝x2+2tx﹣3的界值为2，则t＝ ．
30．（2023 姑苏区一模）如图①，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＞AD．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数图象如图②所示，则AB＝ cm．
31．（2023 宁波模拟）如图，点B是反比例函数（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．则k＝ ；△BDF的面积＝ ．
32．（2023 青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x与反比例函数的图象交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图象上的一点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若，△BCD的面积为30，则k＝ ．
33．（2023 锦江区模拟）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足a2+2ac+c2＜b2.若当x＝t+2和x＝﹣t+2（t为任意实数）时ax2+bx+c的值相同；当x＝﹣2时，ax2+bx+c的值为2，则二次项系数a的取值范围是 ．
34．（2023 江北区一模）如图，菱形ABCO的顶点A与对角线交点D都在反比例函数的图象上，对角线AC交y轴于点E，CE＝2DE，且△ADB的面积为15，则k＝ ；延长BA交x轴于点F，则点F的坐标为 ．
35．（2023 吴兴区一模）如图1，点A是反比例函数的图象上一点，连接OA，过点A作AA1∥y轴交的图象于点A1，连接OA1并延长交的图象于点B，过点B作BB1∥y轴交的图象于点B1，已知点A的横坐标为1，，连接OB1，小明通过对△AOA1和△BOB1的面积与k的关系展开探究，发现k的值为 ；如图2，延长OB1交的图象于点C，过点C作CC1∥y轴交的图象于点C1，依此进行下去．记，，…则S2023＝ ．
36．（2023 徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果BD＝CD，那么抛物线C2的表达式是 ．
37．（2023 蜀山区校级模拟）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差）．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．
38．（2023 南充模拟）如图，平移抛物线y＝ax2+bx+c，使顶点在线段AB上运动，与 x轴交于C，D两点．若A（﹣2，﹣3），B（4，﹣3），四边形ABDC的面积为15，则a＝ ．
39．（2023 通州区一模）某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案 ，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是 元．
40．（2023 武侯区模拟）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足函数关系式h＝﹣5t2+mt+n，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示．那么在这次投球过程中，球入筐前L的取值范围是 ．
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